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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat Hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole~\decofourright\\septembre 2008}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.} 

\emph{La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}
 
\emph{L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé. }

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  Statistiques à 2 variables  \hfill 8 points}

\medskip

Entre 2002 et 2007, on a mesuré l'effet de la pollution sur le nombre de poissons d'une rivière.
 
Les résultats présentés dans le tableau suivant donnent au jour de l'ouverture de la pêche une estimation du nombre $y_{i}$ de poissons, exprimé en milliers, correspondant à l'année dont le rang est $x_{i}$. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 \\ \hline
Rang : $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 \\ \hline
Nombre de poissons en milliers : $y_{i}$& 141,3& 136,7 &116,5&103,2 &79 &49,4 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points correspondant à cette série statistique dans un repère orthogonal (O ; I, J).
 
On prendra sur l'axe des abscisses 2~cm pour 1~an et sur l'axe des ordonnées 1~cm pour 10~milliers. 
\item Calculer les coordonnées du point moyen $G_{1}$, correspondant aux 3 années 2002, 2003, 2004, puis celles du moyen point $G_{2}$, correspondant aux 3 années restantes. 
\item Tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ dans le repère (O ; I, J). 
\item Déterminer une équation de cette droite. 
\item On suppose que la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ réalise un bon ajustement du nombre de poissons en fonction du rang de l'année jusqu'en 2010.
 
À l'aide d'une lecture graphique, en laissant apparents les traits de construction, donner une estimation de : 
	\begin{enumerate}
		\item la population de cette rivière en 2008 ;
		\item l'année à partir de laquelle cette population sera strictement inférieure à \np{30000}.
	\end{enumerate} 
\item  Vérifier le résultat du 5. b. par un calcul. 
\end{enumerate}

\newpage

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2}  Étude d'une fonction  \hfill 12 points} 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Cette partie a pour objet l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~18] par
 
\[ f(x) = 0,5 + \ln (2x + 1)\]
 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal (O~;~I,~J).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On appelle $f'$ la dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$. 
\item  Montrer que $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de l'intervalle [0 ~;~ 18]. 
\item  Dresser le tableau de variations de $f$ sur [0~;~ 18]. 
\item  Démontrer que le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est égal à $2$. 
\item  Compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à $10^{-1}$ : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 0& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &9 &12 &18\\ \hline 
$f(x)$&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Tracer sur une feuille de papier millimétré, dans le repère orthogonal (O~;~I,~J) la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente (T). 

On prendra comme unités graphiques :

1 cm sur l'axe des abscisses,
 
2 cm sur l'axe des ordonnées. 
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Pendant une année, une entreprise construit une quantité $x$ de bâtiments pour l'hôtellerie ($0 \leqslant  x \leqslant 18$) dont le coût de production est donné par
 
\[f(x) = 0,5 + \ln(2x + 1)\]

en millions d'euros. Chaque bâtiment est vendu au prix de \np{400 000}~\euro ;  la recette totale en millions d'euros peut donc s'écrire sous la forme $g(x) = 0,4x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Exprimer le bénéfice de l'entreprise en fonction de $x$. 
\item  Tracer la droite D représentant $g$ dans le repère de la partie A. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  En examinant le graphique, dire si l'entreprise est bénéficiaire quand elle vend :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  5 bâtiments ; 
\item  15 bâtiments. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		
Mettre en évidence les tracés utiles. 
		\item  Vérifier par le calcul les deux résultats précédents.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer graphiquement la quantité minimale de bâtiments que l'entreprise doit vendre pour être bénéficiaire. 
\end{enumerate}
\end{document}