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\title{
\textbf{\huge{ANNALES}} \\
\textbf{de}\\
\textbf{\huge{MATHEMATIQUES}}\\
Btn hôtellerie}

\author{Michel Charrier\\
Professeur Agrégé
\and
Juin 1996}

\date{}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\setcounter{secnumdepth}{-1}
%\maketitle
        \setcounter{exercice}{0}


\section{Btn 1996}
\exo{(8 points)}
\subsubsection*{Équation}
\es Résoudre l'équation d'inconnue réelle $x$ : \quad $\boxed {-2x^2+43x-230=0}$ \quad On donnera les détails de la résolution.
\subsubsection*{Application}
\es Le plan d'une salle de restaurant est donné ci-dessous. Les dimensions sont en m et la partie centrale, réservée aux tables a une aire de $230m^2$.
\begin{center}
\begin{pspicture}*(-2,-2)(12,3)
\psset{unit=1cm}

\psframe[fillstyle=vlines,hatchangle=0,hatchcolor=magenta](2,0)(8,2)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchangle=90,hatchcolor=cyan](0,0)(2,2)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchangle=90,hatchcolor=cyan](8,0)(10,2)
\psline{<->}(-0.5,0)(-0.5,2)
\psline{<->}(0,-0.5)(2,-0.5)
\psline{<->}(10.5,0)(10.5,2)
\psline{<->}(8,-0.5)(10,-0.5)
\rput(-1,1){$x$}
\rput(1,-1){$x$}
\rput(9,-1){$x$}
\rput(11,1){$x$}
\rput(1,1){\colorbox{white}{$\bf bar$}}
\rput(9,1){\colorbox{white}{$\bf buffet$}}
\rput(5,1.5){\colorbox{white}{$\bf restaurant$}}
\rput(5,0.5){\colorbox{white}{$\bf S=230m^2$}}
\psline{<-}(0,2.5)(4,2.5)
\psline{->}(6,2.5)(10,2.5)
\rput(5,2.5){$L=43m$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
    \item À l'aide du plan, déterminer une équation du second degré que doit vérifier la dimension $x$.
    \item En déduire les largeurs possibles de la salle.
    \item Quelle largeur doit-on choisir si on veut que l'aire réservée aux tables occupe plus de $50$ \% de l'aire totale ?
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreC1}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 1}}}
\exo{(12 points)}
\subsection*{Enoncé actualisé en \eu
}
\subsubsection*{Partie A}
\es Un restaurateur a effectué des placements afin de financer des travaux dans son restaurant. Le tableau suivant présente les sommes disponibles (capitaux et intérêts) au 31 décembre de chaque année :
\vs

\parbox{6cm}{
    \begin{center}
    $$
    \begin{array}{|c|*{2}{c|}}
    \hline
    &&\\
    \text{années}&\text{rangs} \, x_i&\text{sommes en \eu} \,C_i\\
    &&\\
    \hline
     &&\\
     1998&1&4900\\
     &&\\
     1999&2&6000\\
     &&\\
     2000&3&9900\\
     &&\\
     2001&4&12100\\
     &&\\
     2002&5&22000\\
     &&\\
     2003&6&40100\\
     &&\\
        \hline
    \end{array}
    $$
    \end{center}
    }
    \hfill
    \parbox{9cm}{

\begin{enumerate}
    \item Construire dans un repère les six points de coordonnées $(x_i;C_i)$. Un ajustement affine du nuage obtenu est-il indiqué ?
    \item Calculer pour chacune des six années le logarithme népérien de la somme disponible, arrondi au dixième : on posera $y_i= \ln C_i$.
    \item Représenter dans un autre repère le nuage des six points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$. Réaliser un ajustement affine de ce nuage par la méthode des points moyens : placer les points moyens, tracer la droite d'ajustement et déterminer son équation.
\item On admet que l'équation trouvée permet de faire des prévisions et on se place en 2005. Quel est le montant de la somme disponible que le restaurateur peut espérer en 2005 ? Donner la réponse à 100 \eu près.
\end{enumerate}
}
\hfill\hfill
\subsubsection*{Partie B}
\es On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[\, 0 \, ; \, 8 \, ]$ par :
$$f(x)=e^{\displaystyle{0,4x+8}}$$
\begin{enumerate}
    \item Déterminer la fonction $f'$ dérivée de $f$. Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle.
    \item Représenter graphiquement $f$ dans le repère de la première question de la partie {\bf A}. Que dire de l'ajustement obtenu par la courbe représentative de $f$ ?
        \end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 2. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreC2}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 2}}}
\newpage
\section*{Corrigé Btn 1996}
        \setcounter{exercice}{0}

\hypertarget{ancreC1}{\exo}
\subsubsection*{Equation}
\es On calcule $\Delta=43^2-4\times(-2)\times(-230)=9$\quad l'équation a deux solutions : $x_1=\frac{-43-3}{-4}=\frac{23}{2}=11,5$\\
et $x_2=\frac{-43+3}{-4}=\frac{-40}{-4}=10$ \quad soit\quad  $S=\left\{11,5;10\right\}$
\subsubsection*{Application}
\begin{enumerate}
    \item Le plan montre que $x$ vérifie :\q  $43x=2x^2+230$\q ce qui s'écrit:\q $-2x^2+43x-230=0$
    \item D'après la première question, les largeurs possibles de la salle sont :\q $10$ m et $11,5$ m
    \item L'aire totale est :\q $43x$.\, On veut donc que : \q $\frac{43x}{2}\leqslant 230$\q soit encore : \q $x\leqslant \frac{460}{43}$ \q ou :\, $x\leqslant (\approx 10,7)$\\Seule la largeur $10$ m convient.
\end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{ancreC2}{\exo}
    \subsubsection*{\ud{Partie A}}
\begin{enumerate}
    \item
\parbox[t]{8cm}{

\begin{center}
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}*(-2.5,-1)(9,8)
\psaxes[linewidth=1.2pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-2.5,-1)(9,8)
\psdots[linecolor=blue,linewidth=5pt,dotstyle=+,dotscale=.7,dotangle=45,fillstyle=solid](1,.49)(2,.6)(3,.99)(4,1.21)(5,2.2)(6,4.01)
\uput[u](7.8,0){rangs $x_i$}
\uput[r](0,7){sommes $C_i$ en \eu}
\uput[d](1,0){$1$}
\uput[d](5,0){$5$}
\uput[l](0,1){$10000$}
\uput[l](0,5){$50000$}
\end{pspicture}
\end{center}
}
\hfill
\parbox[t]{9cm}{
\item On obtient les $y_i=\ln C_i$ dans le tableau :
    $$
    \begin{array}{|c|*{1}{c|}}
    \hline
    &\\
    x_i&y_i\\
     &\\
     1&8,5\\
     2&8,7\\
     3&9,2\\
     4&9,4\\
     5&10\\
     6&10,6\\
     &\\
        \hline
    \end{array}
    $$

    }
    \hfill\hfill
    \vs

    \item
\parbox[t]{6cm}{
La méthode proposée donne : $G_1(2;8,8)$ et $G_2(5;10)$. La droite d'ajustement $(G_1G_2)$ a pour équation :$$y=0,4x+8$$
}
\hfill
\parbox[t]{8cm}{
On obtient graphiquement :
\vs

\begin{center}
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}*(-2.5,-1)(9,5)
\psaxes[linewidth=1.2pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-2.5,-1)(9,5)
\uput[u](7.8,0){rangs $x_i$}
\psplot[plotpoints=800,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{0}{9}{x .4 mul 1 add}
\psdots[linecolor=blue,linewidth=5pt,dotstyle=+,dotscale=.7,dotangle=45,fillstyle=solid](1,1.5)(2,1.7)(3,2.2)(4,2.4)(5,3)(6,3.6)
\uput[r](0,4.7){$y_i=\ln C_i$}
\uput[u](2,1.8){$\bf G_1$}
\rput(2,1.8){$\bullet$}
\uput[u](5,3){$\bf G_2$}
\rput(5,3){$\bullet$}
\uput[d](1,0){$1$}
\uput[d](5,0){$5$}
\uput[l](0,1){$8$}
\uput[l](0,3){$10$}
\end{pspicture}
\end{center}
}

\vs

\item En 2005 le rang de l'année est $x=8$. D'où l'estimation : \, $\hat{y}=0,4\times 8+8=11,2$.\\
On cherche ensuite le capital $\hat{C}$ tel que : $\ln \hat{C}=11,2$ \, soit \,
\fbox{
\parbox{3.5cm}{
$\hat{C}=e^{11,2}\approx 73100$ \eu.}}
\end{enumerate}
    \subsubsection*{\ud{Partie B}}
    \vs

    \begin{enumerate}
    \item
\parbox[t]{8cm}{
 On a : $f'(x) =0,4\times \text{e}^{0,4x+8}$. Cette expression est strictement positive sur l'intervalle, d'où :

     $$
\begin{array}{|c|*{3}{c}|}
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm x&0&&8\\
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm f'(x)&&+&\\
\hline
&&&\approx \np{73100}\\
f(x)&&\cro&\\
&\approx \np{3000}&&\\
\hline
\end{array}
$$
}
\hfill
\parbox[t]{8cm}{
\item On représente la fonction $f$ dans le même repère qu'à la première question de la {\bf Partie A}.

\begin{center}
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}*(-2.5,-1)(9,8)
\psaxes[linewidth=1.2pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-2.5,-1)(9,8)
\psplot[plotpoints=800,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{0}{9}{2.71828 x .4 mul 8 add exp 10000 div}
\psdots[linecolor=blue,linewidth=5pt,dotstyle=+,dotscale=.7,dotangle=45,fillstyle=solid](1,.49)(2,.6)(3,.99)(4,1.21)(5,2.2)(6,4.01)
\uput[u](7.8,0){rangs $x_i$}
\uput[r](0,7){sommes $C_i$ en \eu}
\uput[d](1,0){$1$}
\uput[d](5,0){$5$}
\uput[l](0,1){$10000$}
\uput[l](0,5){$50000$}
\end{pspicture}
\end{center}

L'ajustement par la courbe est de bonne qualité.
}
\hfill\hfill
\end{enumerate}
\end{document}
