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\title{
\textbf{\huge{ANNALES}} \\
\textbf{de}\\
\textbf{\huge{MATHEMATIQUES}}\\
Btn hôtellerie}

\author{Michel Charrier\\
Professeur Agrégé
\and
Juin 1997}

\date{}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\setcounter{secnumdepth}{-1}
%\maketitle
\setcounter{exercice}{0}

\section{Btn 1997}

\exo{(10 points)}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
    	\item Dans un repère orthonormé où 1 cm représente 50 unités, construire (on se limitera aux points d'abscisses positives) les droites $D_1$ , $D_2$ et $D_3$ d'équations respectives :

\[x+y=500\]

\[x+2y=750\]

\[x+1,5y=600\]
    	\item Déterminer par un calcul les coordonnées du point d'intersection I des droites $D_1$ et $D_3$.
	\end{enumerate}
\item Un service de restauration rapide propose deux types de sandwiches au fromage :
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
    	\item le \textbf{mini} composé de : 1 pain rond, 40 g de steak hache et 1 tranche de fromage de 20 g,
    	\item le \textbf{maxi} composé de 1 pain rond, 60 g de steak haché et 2 tranches de fromage de 20 g chacune.
	\end{enumerate}

On note $x$ le nombre de mini sandwiches et $y$ celui de maxi sandwiches vendus par jour.
\item 
	\begin{enumerate}
    	\item Exprimer à l'aide d'inégalités la contrainte suivante :

\textbf{on dispose chaque jour au maximum de 500 pains, de 24 kg de steak et de 15 kg de fromage.}
    	\item Déterminer graphiquement l'ensemble des points vérifiant ces inégalités. Justifier la démarche.
    	\item Peut-on vendre chaque jour :
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
    		\item 350 mini sandwiches et 125 maxi?
    		\item 300 mini sandwiches et 200 maxi?
    		\item 250 mini sandwiches et 250 maxi?
		\end{enumerate}
		\item On réalise un bénéfice de 6 F sur un mini sandwich et de 8 F sur la vente d'un maxi. Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ le bénéfice total réalisé par jour $B(x,y)$.
		\item Représenter les droites correspondant respectivement à un bénéfice de : \np{2400} F ; \np{3400} F ; \np{3600} F.

En déduire en justifiant le nombre de mini sandwiches et de maxi sandwiches à vendre par jour pour obtenir un bénéfice maximal que l'on calculera.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreD1}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 1}}}
\newpage
\exo{(10 points)}

On veut réaliser dans l'angle d'un plan de travail un rangement ayant la forme d'un parallélépipède droit selon le plan ci-dessous où les longueurs sont en dm.
\begin{center}
\begin{pspicture}*(-2,-5)(8,6)
\psset{unit=1cm}
\psline(0,0)(0,3)
\psline(0,0)(2,0)
\psline(2,0)(2,3)
\psline(0,3)(2,3)
\pspolygon(2,0)(3,1)(3,4)(2,3)
\pspolygon(2,3)(3,4)(1,4)(0,3)
\psline(-2,-2)(4,-2)
\psline(-2,-2)(-2,-3)
\psline[linestyle=dashed](4,-2)(4,-3)
\psline(1,4)(1,5)
\psline(3,1)(7,1)
\psline(0,0)(-2,-2)
\rput(0.3,1.5){$\bigcirc$}
\psline[linestyle=dashed](4,-2)(7,1)
\psline{<->}(-.5,-.5)(1.5,-.5)
\psline{<->}(2.5,0)(3.5,1)
\psline{<->}(-.5,0)(-.5,3)
\rput(.5,-.8){$12-x$}
\rput(-.7,1.5){$x$}
\rput(3.7,.5){$12-x$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
    \item Justifier que l'expression du volume du rangement est :
    
\[f(x) = x^3 - 24x^2 + 144x.\]

Quel est l'intervalle dans lequel on doit prendre les valeurs de x ?
    \item Étudier la fonction f définie par \, $f(x)=x^3-24x^2+144x$ \, sur l'intervalle $[0 \,; \,12]$. On étudiera la dérivée, les variations et on donnera une table numérique.
    \item Tracer la courbe représentative $C_f$
    \item Quelle est la tangente au point $\bf A$ d'abscisse $x_0 = 8$ ? Tracer cette tangente en indiquant les points utilisés.
    \item À l'aide de l'étude de $f$ , déterminer en cm la valeur de $x$ pour laquelle le rangement a un volume maximal. Quel est ce volume maximal en $\text{cm}^3$ ?
    \item En traçant les pointillés utiles, indiquer pour quelles valeurs de $x$ le rangement a un volume de $180$ $\text{dm}^3$. Donner les lectures graphiques à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 2. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreD2}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 2}}}
\newpage
\section*{Corrigé Btn 1997}
\setcounter{exercice}{0}

\hypertarget{ancreD1}{\exo}
\begin{enumerate}
    \item
	\begin{enumerate}
    	\item
Représentation graphique de l'exercice :
\vs

\begin{center}
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}*(-2,-2)(16,12)
\pspolygon[fillstyle=hlines*,hatchsep=12pt,hatchcolor=gray](10,0)(6,4)(3,6)(-2,8.5)(-2,12)(16,12)(16,-2)(12,-2)
\pspolygon[fillstyle=hlines*,hatchsep=12pt,hatchcolor=gray](-2,-2)(-2,8.5)(0,7.5)(0,0)(10,0)(12,-2)
\uput[d](1,0){\colorbox{white}{$\bf 50$}}
\uput[d](5,0){\colorbox{white}{$\bf 250$}}
\uput[d](10,0){\colorbox{white}{$\bf 500$}}
\uput[l](0,1){\colorbox{white}{$\bf 50$}}
\uput[l](0,5){\colorbox{white}{$\bf 250$}}
\uput[l](0,10){\colorbox{white}{$\bf 500$}}
\uput[l](0,11.4){\colorbox{white}{$\bf y$}}
\rput(-.45,-.4){\colorbox{white}{$\bf O$}}
\uput[d](15.4,0){\colorbox{white}{$\bf x$}}
\uput*[d](6,4){$\bf I$}

\psline[linecolor=blue,linewidth=1pt](-2,12)(12,-2)
\psline[linecolor=red,linewidth=1pt](-2,8.5)(19,-2)
\psline[linecolor=green,linewidth=1pt](-2,9.3333)(15,-2)
\psline[linecolor=gray,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](0,6)(8,0)
\psline[linecolor=magenta,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](0,8.5)(11.333,0)
\psline[linecolor=black,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](12,0)(0,9)
\rput(6,4){$\bullet$}
\rput(7,2.5){$\bullet$}
\rput(6,4){$\bullet$}
\rput(5,5){$\bullet$}
\showgrid
\psaxes[linewidth=1.6pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-2,-2)(16,12)
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
    \item On résoud :
        $$(S) \q\left\{
\begin{array}{l}
x+y = 500\q \; (L_1)\\
x+1,5y = 600\q (L_2)
\end{array}
\right.$$
Par soustraction $L_2-L_1$ on obtient presque directement la solution : $S=\left\{\left(~300~;~200~\right)\right\}$.
\item
	\begin{enumerate}
    	\item On obtient :

\[(S) \q\left\{
\begin{array}{l}
x+y\leqslant 500 \\
40x+60y\leqslant 24000\\
20x+40y\leqslant 15000
\end{array}
\right.\]

On simplifie :

\[(S) \q\left\{
\begin{array}{l}
x+y\leqslant 500 \\
x+1,5y\leqslant 600\\
x+2y\leqslant 750
\end{array}
\right.\]

\item La démarche du cours conduit à hachurer \og au dessus des droites \fg.
\item On place les points $(350~;~125)$ ; $(300~;~200)$ et $(250~;~250)$. Les réponses sont donc : oui, oui et non.
\item $B(x,~y)= 6x+8y$
\item La droite $6x+ 8y= \np{2400}$ passe par :$(0~;~300)$ et $(400~;~0)$.

La droite $6x+8y= \np{3400}$ passe par $(300~;~200)$ et $(0\dots;\dots425)$.

La droite $6x+8y= \np{3600}$ passe par $(600,0)$ et $(200~;~300)$.

Ces trois droites sont parallèles. Un bénéfice de \np{2400} F est possible et un bénéfice de \np{3400} F aussi (au point I). Un bénéfice de \np{3600} F ne l'est pas (dans la zone hachurée). Le graphique montre que le maximum est obtenu au point I, soit $x = 300$ et $y = 200$ pour un bénéfice maximal de \np{3400} F.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{ancreD2}{\exo}
\begin{enumerate}
    \item Le volume du rangement est : $(12 - x)\times (12 - x)\times x = x\left(12 - x\right)^2 = x\left(144 - 24x + x^2\right) = x^3 - 24x^2 + 144x$
    
c'est bien l'expression $f(x)$.
     \item
     \begin{enumerate}[$\bullet$]
    \item $f'(x) = 3x^2 - 48x + 144 = 3(x^2 - 16x - 48)$ ; le trinôme \,$(x^2-16x+48)$ a deux racines : $\Delta=64$ et \,$x_1=4$ ; $x_2=12$.\\
\item Il se factorise : $3(x^2 - 16x - 48)=3(x - 4)(x - 12)$.\\
\es On peut utiliser les résultats du {\bf Chapitre 4.} ou construire le tableau de signes du produit : $(x - 4)(x -12)$.
\end{enumerate}

    \es On obtient le tableau de variations suivant et la table numérique sur $[\,0\,;\,12\,]$ :
    \vs

    \parbox{6cm}{
    $$
\begin{array}{|c|*{5}{c}|}
\hline
\vrule height.4cm width0pt depth.2cm x&0&&4&&12\\
\hline
&&&\vline&&\\
\vrule height.4cm width0pt depth.2cm f'(x)&&+&0&-&\\
&&&\vline&&\\
\hline
&&&256&&\\
&&&max&&\\
f(x)&&\cro&&\dec&\\
&0&&&&0\\
&&&&&\\
\hline
\end{array}
$$
}
\parbox[h]{12cm}{
    $$
\begin{array}{|c|*{13}{c}|}
\hline
&&&&&&&&&&&&&\\
x&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
&&&&&&&&&&&&&\\
\hline
&&&&&&&&&&&&&\\
f(x)&0&121&200&243&256&245&216&175&128&81&40&11&0\\
&&&&&&&&&&&&&\\
\hline
\end{array}
$$
}
\item Courbe et tangente:
\vs

\parbox{9cm}
{
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}*(-2,-2)(13,14)
\psaxes[linewidth=1pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-2,-2)(13,14)
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1pt,linecolor=blue]{-2}{13}{512 x 48 mul sub 20 div}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{0}{12}{x 3 exp x 2 exp 24 mul sub x 144 mul add 20 div}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.8pt](0,12.8)(4,12.8)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.8pt](4,12.8)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.8pt](0,9)(8,9)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.8pt](1.695,0)(1.695,9)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.8pt](6.888,0)(6.888,9)
\rput(8,6.4){$\bullet$}
\uput[l](2.2,10){$\bf C_f$}
\uput[r](5.5,13){$\bf T$}
\uput[d](1,0){$\bf 1$}
\rput(4,12.8){$\bullet$}
\uput[u](4,12.8){$\bf B$}
\uput[r](8,6.4){$\bf A$}
\uput[d](4,0){$\bf 4$}
\uput[d](10,0){$\bf 10$}
\uput[d](12.7,0){$\bf x$}
\uput[l](0,1){$\bf 20$}
\uput[l](0,5){$\bf 100$}
\uput[l](0,10){$\bf 200$}
\uput[l](0,12.8){$\bf 256$}
\uput[l](0,9){$\bf 180$}
\uput[l](0,13.6){$\bf y$}
\rput(-.4,-.4){$\mathcal O$}
\uput[d](1.695,0){$\bf \alpha$}
\uput[d](6.888,0){$\bf \beta$}
\end{pspicture}
}
\parbox[]{6cm}
{
Équation de la tangente au point $\bf A$  d'abscisse $8$ :

\[y = f'(8)\times (x - 8) + f(8)\]

avec : $f'(8)=-48$ \, et\, $f(8) = 128$ \, ce qui donne :

\[\boxed{y=-48x+512}\]

$T$ est tracée avec $(8~;~128)$ et $(10~;~32)$.
}
\vs

\item L'étude des variations de $f$ montre que $f$ présente sur l'intervalle un maximum pour $x=4$ soit $f(4)=256$. \textbf{En cm} : une valeur de $40$ cm soit un volume: $V= \np{256000}$ $\text{cm}^3$. Ce qui s'obtient aussi par : $V=40\times 80\times 80= \np{256000}$ $\text{cm}^3$.
\item Les pointillés tracés montrent que les valeurs de la variable $x$ donnant un volume de $180$ $\text{dm}^3$ sont : $\alpha \approx 1,7$ dm et $\beta\approx 6,9$ dm.
\end{enumerate}
\end{document}
