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\title{
\textbf{\huge{ANNALES}} \\
\textbf{de}\\
\textbf{\huge{MATHEMATIQUES}}\\
Btn hôtellerie}

\author{Michel Charrier\\
Professeur Agrégé
\and
Juin 1998}

\date{}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\setcounter{secnumdepth}{-1}
%\maketitle
        \setcounter{exercice}{0}

\section{Btn 1998}
\exo{(8 points)}
\begin{enumerate}
    \item Un menu proposé par un restaurant comporte une entrée, un plat et un dessert. Les clients ont le choix entre deux entrées, trois plats et deux desserts. Combien de menus différents peut-on constituer ?
    \item Les clients peuvent, s'ils le désirent, prendre seulement un plat et un dessert notés $P_1$, $P_2$, $P_3$, $D_1$ et $D_2$.

\begin{enumerate}
    \item On a constaté que :		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
    		\item 30\,\% des clients ont choisi $P_2$,
    		\item 40\,\% des clients ont choisi $D_2$ et parmi eux, 25 \% ont choisi $P_2$.
		\end{enumerate}
Recopier et compléter :
\vs

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
\rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}\\
       &$D_1$&$D_2$&Total\\
&&&\\\hline
&&&\\
$P_1$&14&&20\\
&&&\\\hline
&&&\\
$P_2$&&&\\
&&&\\\hline
&&&\\
$P_3$&&&\\
&&&\\\hline
&&&\\
Total&&&100\\
&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
    \item On considère au hasard un client. Déterminer les probabilités des événements suivants :\\
    A : le client a choisi $P_2$;\\
    B : le client a choisi $D_1$;\\
    C : le client a choisi $P_3$ et $D_1$;\\
    D : le client a choisi $P_1$ ou $P_2$;\\
    E : le client a choisi $P_3$ ou $D_2$.
    \item Définir par une phrase les événements : $A\cup B$, $A\cap B$, $\overline A$ et $\overline{A\cup B}$ puis déterminer la probabilité de chacun de ces événements.
    \item On considère au hasard un client qui a choisi $P_2$. Quelle est la probabilité de l'événement F : le client a choisi $D_2$?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreE1}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 1}}}
\exo{(12 points)}
\begin{enumerate}
    \item Soit $f$ la fonction définie sur $]~0~;~+\infty~[$ par :

\[f(x)= x - 100 + \frac{\np{6400}}{x}.\]

	\begin{enumerate}
    	\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ puis sa limite en $0$.
    	\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et montrer qu'elle peut s'écrire :
    
\[f'(x) = \frac{x^2 - \np{6400}}{x^2}.\]
    
		\item Étudier sur $]~0~;~+\infty~[$ le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau des variations de $f$.
		\item Montrer que sur $]~0~;~+\infty~[$, la fonction $F$ définie par $F(x)=\frac{x^2}{2}-100x+ \np{6400}\ln x$ est une primitive de la fonction $f$.
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal pour $x\in [~40~;~160~]$. On prendra 1 cm pour 10 unités sur les deux axes.
	\end{enumerate}
\item Le coût, exprimé en F, de $x$ repas préparés, par service, dans un restaurant peut s'écrire pour $x\in [~40~;~160~]$ :

\[C(x) = x^2 - 100x + \np{6400}.\]

	\begin{enumerate}
    	\item Recopier et compléter le tableau :
    \vs

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
\rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}\\
Nombre de repas &40&50&100\\
&&&\\\hline
&&&\\
Coût de $x$ repas&&&\\
&&&\\\hline
&&&\\
Coût moyen d'un repas&&&\\
&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
    	\item Écrire le coût moyen d'un repas en fonction du nombre $x$ de repas préparés. On notera ce coût moyen unitaire $C_m(x)$.
    	\item Déduire de la première question le nombre de repas que ce restaurant doit servir pour que le coût moyen d'un repas soit minimal.
    	\item Trouver, à l'aide du graphique, à quel intervalle doit appartenir $x$ pour que le coût moyen unitaire soit inférieur ou égal à 90 F. Mettre la réponse en évidence sur le graphique à l'aide de pointillés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 2. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreE2}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 2}}}
\newpage
\section*{Corrigé Btn 1998}
        \setcounter{exercice}{0}

\hypertarget{ancreE1}{\exo}
 \begin{center}

 \pstree[treemode=D,treesep=3mm,linecolor=blue,levelsep=1.5cm]
    {\Tc*{1mm}}
    {\pstree{\Tcircle{$E_1$}}
            {\pstree{\Tcircle{$P_1$}}
                    {\Tcircle{$D_1$}
                     \Tcircle{$D_2$}}

             \pstree{\Tcircle{$P_2$}}
                    {\Tcircle{$D_1$}
                     \Tcircle{$D_2$}}

             \pstree{\Tcircle{$P_3$}}
                     {\Tcircle{$D_1$}
                     \Tcircle{$D_2$}}}
     \pstree{\Tcircle{$E_2$}}
            {\pstree{\Tcircle{$P_1$}}
                    {\Tcircle{$D_1$}
                     \Tcircle{$D_2$}}
             \pstree{\Tcircle{$P_2$}}
                    {\Tcircle{$D_1$}
                     \Tcircle{$D_2$}}
               \pstree{\Tcircle{$P_3$}}
                    {\Tcircle{$D_1$}
                     \Tcircle{$D_2$}}}}
                 \end{center}
\vs

\begin{enumerate}
    \item L'arbre ci-dessus montre qu'il y a $2\times 3\times 2=12$ menus différents possibles.
    \item
On obtient :
        \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}\\
        &$D_1$&$D_2$&Total\\
        &&&\\
            \hline
            &&&\\
            $P_1$&14&6&20\\
            &&&\\
            \hline
            &&&\\
            $P_2$&20&10&30\\
            &&&\\
            \hline
            &&&\\
            $P_3$&26&24&50\\
            &&&\\
            \hline
            &&&\\
            Total&60&40&100\\
            &&&\\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    \vs

    \item P(A) = $\frac{30}{100}=0,3$ ~;~ P(B) = $\frac{60}{100}=0,6$ ~;~ P(C) = $\frac{26}{100}=0,26$ ~;~ P(D) = $\frac{50}{100}=0,5$ ~;~ P(E) = $\frac{66}{100}=0,66$.
    \item Voir les définitions du cours : P(A$\cup$B) = $\frac{70}{100}=0,7$ ~;~ P(A$\cap$B) = $\frac{20}{100}=0,2$ ~;~ P($\overline{\text A}$) = $1-0,3=0,7$ ~;\\ P($\overline{\text{A}\cup\text{B}}$) = $1-0,7=0,3$.
    \item P(F) = $\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$.
\end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{ancreE2}{\exo}
\begin{enumerate}
    \item
\begin{enumerate}
    \item $\lim_{x \to+\infty}f(x)=+\infty$ ; en effet : $\lim_{x \to+\infty}(x-100)=+\infty$ et : $\lim_{x \to+\infty}\frac{6400}{x}=0$.\\
    $\lim_{x \to 0}f(x)=+\infty$ ; en effet :
    $\lim_{x \to+ 0}(x-100)=0$ et : $\lim_{x \to 0}\frac{6400}{x}=+\infty$.
\item $$f'(x)=1-\frac{6400}{x^2}=\frac{x^2}{x^2}-\frac{6400}{x^2}=\frac{x^2-6400}{x^2}$$
\item
On obtient donc le tableau :
\vs

    $$
\begin{array}{|c|llcccr|}
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm x&0&&&80&&+\infty\\
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm f'(x)&\vline \, \vline&&-&0&+&\\
\hline
&\vline \, \vline&+\infty&&&&+\infty\\
&\vline \, \vline&&&&&\\
f(x)&\vline \, \vline&&\dec&&\cro&\\
&\vline \, \vline&&&60&&\\
\hline
\end{array}
$$
\item $$F'(x)=x-100+6400\times\frac{1}{x}=x-100+\frac{6400}{x}=f(x)$$
\item Représentation graphique :
\vs

\begin{center}
    \psset{xunit=.8cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}*(-1,-1)(17,11)
\showgrid
\psaxes[linewidth=1pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(17,11)
\uput*[d](16.7,0){$\bf x$}
\uput*[l](0,10.7){$\bf y$}
\uput*[d](14.6,0){$\bf 146$}
\uput*[d](8,0){$\bf 80$}
\uput*[d](1,0){$\bf 10$}
\uput*[d](16,0){$\bf 160$}
\uput*[l](0,1){$\bf 10$}
\uput*[l](0,10){$\bf 100$}
\uput*[l](0,5){$\bf 50$}
\uput*[l](0,9){$\bf 90$}
\uput*[l](0,6){$\bf 60$}
\uput*[l](0,10){$\bf 100$}
\rput(-.3,-.3){$\mathcal O$}
\uput*[d](4.4,0){$\bf 44$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt,linecolor=blue](0,9)(17,9)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt,linecolor=green](0,6)(8,6)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt,linecolor=green](8,0)(8,6)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt,linecolor=magenta](4.3765,0)(4.3765,9)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt,linecolor=magenta](14.6235,0)(14.6235,9)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt]{<->}(4.3765,-.8)(14.6235,-.8)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt]{<->}(6.5,6)(9.5,6)
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{4}{16}{x 10 sub 64 x div add}
\rput(8,6){$\bullet$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage
\item
\begin{enumerate}
    \item On obtient aisément :
    \vs     \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}\\
    Nombre de repas &40&50&100\\
        &&&\\
            \hline
            &&&\\
Coût de $x$ repas&4000&3900&6400\\
            &&&\\
            \hline
            &&&\\
Coût moyen d'un repas&100&78&80\\
            &&&\\
            \hline

        \end{tabular}
    \end{center}
    \item $$C_m(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{x^2-100x+6400}{x}=x-100+\frac{6400}{x}=f(x)$$
    \item En utilisant la courbe ou le tableau de variations, on observe que le coût moyen est minimal pour \textbf{80 repas} servis et vaut : $C_m(80)=f(80)=60$ F.
    \item On trace la droite $y=90$ (voir graphique) et les pointillés montrent que l'intervalle de rentabilité est environ : $[~44~;~146~]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
