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\title{
\textbf{\huge{ANNALES}} \\
\textbf{de}\\
\textbf{\huge{MATHEMATIQUES}}\\
Btn hôtellerie}
\author{Michel Charrier\\
Professeur Agrégé
\and
Juin 2001}

\date{}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\setcounter{secnumdepth}{-1}
%\maketitle
        \setcounter{exercice}{0}


\section{Btn 2001}
\exo{(10 points)}
\es Une culture microbienne est soumise à une température constante de $90$ °C. On étudie l'évolution du nombre $N$ de cellules microbiennes en fonction du temps $t$ écoulé depuis le début de l'expérience. Les résultats des six premières mesures sont consignées dans le tableau o\`{u} $i$ désigne le numéro de la mesure.
\vs

\begin{center}
\begin{tabular}{|*7{c|}}
\hline
\rule{3cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}\\
$i$&1&2&3&4&5&6\\
&&&&&&\\
\hline
&&&&&&\\
$t_i$ en minutes&0&5&10&15&20&25\\
&&&&&&\\
\hline
&&&&&&\\
$N_i$&328 000&180 000&73 000&40 000&18 000&11 000\\
&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
    \item On pose : $y_i=\ln N_i$.\\
    Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en donnant les valeurs à $10^{-1}$ près.
    \vs

\begin{center}
\begin{tabular}{|*7{c|}}
\hline
\rule{2.6cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}\\
$t_i$ en minutes&0&5&10&15&20&25\\
&&&&&&\\
\hline
&&&&&&\\
$y_i=\ln N_i$&&&&&&\\
&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vs
\item Construire dans un repère orthogonal, le nuage des points de coordonnées $(t_i;y_i)$. On prendra $2$ cm pour $5$ minutes sur l'axe des abscisses et $1$ cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G_1$ des trois premiers points du nuage, puis les coordonnées du point $G_2$ des trois derniers points du nuage. Placer ces points et tracer la droite $(G_1\, G_2)$.
\item Déterminer une équation de la droite $(G_1\, G_2)$ sous la forme $y=at+b$, les coefficients étant calculés à $10^{-2}$ près.
\item
\begin{enumerate}
    \item Quelle est l'ordonnée du point de la droite $(G_1\, G_2)$ ayant pour abscisse $40$.
    \item En supposant que l'ajustement du nuage par la droite $(G_1\, G_2)$ permet de formuler des prévisions, estimer le nombre de cellules microbiennes présentes dans la culture $40$ minutes après le début de l'expérience. Justifier la démarche et donner le résultat à la centaine près la plus proche.
\end{enumerate}
\item Déterminer, en supposant que l'ajustement est utilisable, le temps nécessaire pour que la culture ne contienne plus de cellule microbienne : on estime que ce temps est obtenu dès que le nombre de cellules est inférieur à $100$.
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreH1}{\textcolor{red}{\underline{\textbf{Corrigé exercice 1}}}}
\exo{(10 points)}
\subsubsection*{Étude fonctionnelle}
\es\ud{Remarque} : en 2001, sujet élaboré en 2000, les prix sont encore en Francs !
\begin{enumerate}
    \item Étude de la fonction $C$ pour $x$ réel dans l'intervalle $[\,0~;~120\,]$ :

Un traiteur propose des menus au prix unitaire de $80\,F$. Leur co\^{u}t total de fabrication s'exprime en fonction du nombre $x$ de repas fabriqués par :$$C(x)=\,0,5\,x^2\,+\,20x\,+\,550$$ o\`{u} $x$ est assimilé à un réel tel que : $x\,\leq\,120$\\
Calculer $C'(x)$ o\`{u} $C'$ désigne la dérivée de la fonction $C$.

\item Préciser le signe de $C'(x)$ pour $x\,\in\,[0,120]$.

\item Etablir le tableau de variation de $C$ sur l'intervalle.

\item Exprimer en fonction de $x$ la recette résultant de la vente de $x$ repas. On la notera $R(x)$.
\item \ud{Représentations graphiques}.

Dans un repère orthogonal d'unités graphiques $1$\, cm pour $10$ repas sur l'axe des abscisses et $1$\, cm pour $500$ F sur l'axe des ordonnées :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
    \item tracer la courbe représentative de $C$ sur l'intervalle;
  \item tracer la droite d'équation : $y=80\,x$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsubsection*{Etude économique, modélisation}
\begin{enumerate}
    \item Par lecture graphique, indiquer l'intervalle des valeurs de $x$ pour lesquelles le traiteur réalise un bénéfice. Justifier l'interprétation graphique.
    \item La fonction co\^{u}t moyen est définie pour $x$ strictement positif, par :$$C_{m}(x)=\frac{C(x)}{x}$$
Exprimer $C_{m}(x)$ en fonction de $x$.\\
Calculer la primitive de cette fonction qui s'annule pour $x=1$.
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 2. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreH2}{\textcolor{red}{\underline{\textbf{Corrigé exercice 2}}}}
\newpage
\section*{Corrigé Btn 2001}
        \setcounter{exercice}{0}

\hypertarget{ancreH1}{\exo}
\begin{enumerate}
    \item
    On obtient le tableau ci-dessous en donnant les valeurs à $10^{-1}$ près.
    \vs

\begin{center}
\begin{tabular}{|*7{c|}}
\hline
\rule{2.6cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}\\
$t_i$ en minutes&0&5&10&15&20&25\\
&&&&&&\\
\hline
&&&&&&\\
$y_i=\ln N_i$&12,7&12,1&11,2&10,6&9,8&9,3\\
&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Nuage et droite d'ajustement:
\vs

\begin{center}
    \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}*(-1,-1)(13,8)
\showgrid
\psaxes[linewidth=1pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(13,8)
\uput[d](10.7,0){$\bf x$}
\uput[l](0,7.7){$\bf z$}
\uput[d](1,0){$\bf 2$}
\uput[d](5,0){$\bf 10$}
\uput[l](0,1){$\bf 2$}
\uput[l](0,5){$\bf 10$}
\rput(-.3,-.3){$\mathcal O$}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=.8pt,linecolor=red]{-1}{13}{6.35 x .14 mul sub}
\psdots[linecolor=blue,linewidth=8pt,dotstyle=+,dotscale=.5,dotangle=45,fillstyle=solid](0,6.35)(2.5,6.05)(5,5.56)(7.5,5.3)(10,4.9)(12.5,4.65)
\rput(2.5,6){$\bullet$}
\rput(10,4.95){$\bullet$}
\uput[d](2.5,5.9){$\bf G_1$}
\uput[d](10,4.8){$\bf G_2$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item  On obtient facilement les points moyens. $G_1$ : $(5;12)$ et $G_2$ : $(20;9,9)$.
\item Une équation de la forme $y=at+b$ est obtenue en utilisant les coordonnées de $G_1$ et $G_2$ :
$$y=-0,14t+12,7$$
\item
\begin{enumerate}
    \item Le point de la droite d'ajustement d'abscisse $40$ est : $(40;7,1)$.
    \item D'après ce qui précède : $\hat y =7,1$, ce qui entra\^{\i}ne : $\ln \hat N=7,1$ puis : $\hat N=e^{7,1}\approx 1200$ cellules.
\end{enumerate}
\item On a d'après l'étude : $y=-0,14t+12,7=\ln N$. D'o\`{u} : $$N=e^{\displaystyle{-0,14t+12,7}}$$ On veut que : $N\leqslant 100$.
$$e^{\displaystyle{-0,14t+12,7}}\leqslant 100$$
$$-0,14t+12,7\leqslant \ln 100$$
$$t\geqslant \frac{12,7-\ln 100}{0,14}$$
finalement : $t\geqslant 57,8..$, soit environ après une heure.
\end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{ancreH2}{\exo}
\begin{itemize}
    \item {Etude de $C$ sur $[\,0;120\,]$}

\begin{enumerate}
    \item $C'(x)=x+20$
    \item $C'(x)$ est un binôme du premier degré qui est positif dès que $x\geq -20$\, donc positif strictement sur l'intervalle d'étude.
    \item On obtient donc le tableau de variation de $C$ :
    $$
\begin{array}{|c|*{3}{c}|}
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm x&0&&120\\
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm C'(x)&&+&\\
\hline
&&&10150\\
C(x)&&\cro&\\
&550&&\\
\hline
\end{array}
$$
\item La recette de \,$x$\, repas est :  $R(x)=80x$.
\end{enumerate}
\item{Représentation graphique}
\begin{center}
    \begin{pspicture}*(-2,-1)(12,11)
    \showgrid
    \psaxes[linewidth=1.2pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-2,-1)(12,11)
    \psline[linecolor=blue,linewidth=1.2pt](0,0)(12,9.6)
    \uput[d](1,0){$\bf 10$}
    \uput[d](11,0){$\bf 110$}
    \uput[l](0,1){$\bf 1000$}
    \uput[l](0,10){$\bf 10000$}
    \psplot[plotpoints=900,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{0}{12}{x 2 exp .05 mul x .2 mul add .55 add}
    \uput[l](0,.55){$\bf 550$}
    \uput[l](0,8.8){$\bf 8800$}
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt](1,0)(1,.8)
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt](11,0)(11,8.8)
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt](0,8.8)(11,8.8)
    \psline[linewidth=1.2pt]{<->}(1,0)(11,0)
    \uput[d](5.50,0){\bf intervalle de rentabilité}
    \uput[u](11.7,0){$\bf x$}
    \uput[r](0,10.7){$\bf y$}
    \uput[u](5.2,4.8){\bf Recette}
    \uput[d](7.5,4.4){\bf Co\^{u}t}
    \ori
    \end{pspicture}
    \end{center}
    \item {Modèle économique}
    \begin{enumerate}
    \item Un bénéfice est réalisé si $R(x)\,\geq\, C(x)$ soit graphiquement (pointillés) pour  $x\,\in\,[\,10\, ;\, 110\,]$
    \item $C_{m}(x)=\frac{0,5x^2+20x+550}{x}=0,5x +20 +\frac{550}{x}$
    \item Les primitives de $C_{m}(x)$\, s'écrivent pour $x>0$ :\,$F(x)=\frac{1}{4}x^2 +20x+550\ln x+k$ \\et \,$F(1)=\frac{1}{4}+20+550\ln 1+k\,=\,\frac{81}{4}+\,k$\, soit\, $k\,+\frac{81}{4}=0$ \,donc \,$k=-\frac{81}{4}$
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{document}
