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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole ~\decofourright\\juin 2002}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points}

\medskip

La responsable du tourisme d'une station balnéaire fait le bilan de la fréquentation touristique de 1994 à 2001 :

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3cm}|*{8}{c|}}\hline
Année&1994&1995&1996&1997&1998&1999&2000&2001\\\hline
Rang $x_i$& 1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline
Nombre de touristes $y_i$ en milliers&24,4&26,3&27,8&29,5&30,7&32,8&34,4&35,7\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Représenter le nuage de points $(x_i,y_i)$ dans un repère orthogonal du plan.
	\item Calculer les coordonnées des points moyens $G_1$ et $G_2$ des deux sous-nuages.
	\item Placer ces points et tracer la droite d'ajustement du nuage $(G_1G_2)$.
	\item Déterminer une équation de cette droite sous la forme $y= ax + b$
	\item On suppose que l'ajustement du nuage par la droite permet de formuler des prévisions.
	
Déterminer le nombre de touristes que l'on peut prévoir en 2004.

À partir de quelle année la fréquentation touristique dépassera 45000 touristes ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreI1}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 1}}}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[\np{5000} \,;\, \np{15000}]$ par :
 
\[f(x)=9+\frac{63000}{x}\]

\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\item Etudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[\np{5000} \,;\,\np{15000}]$.
	\item Construire dans un même repère la représentation graphique $C_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[\np{5000}\,;\,\np{15000}]$ et la droite $\bf D$ d'équation : $y = 16$. On prendra les unités graphiques suivantes : $1$ cm pour $1000$ sur l'axe des abscisses et $1$ cm pour $1$ sur l'axe des ordonnées.
	\item Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection de la courbe $C_f$ avec la droite $\bf D$. On tracera les pointillés utiles à la lecture.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
\subsubsection*{Partie B}

\medskip

Un restaurateur propose un menu unique.
	
\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Les charges fixes sont estimées pour une année à $63000$ \euros.
	\item Le coût de préparation d'un repas est estimé à $9$ \euros.
	\item Le prix du menu est de $16$ \euros.
\end{enumerate}
Dans cette partie on suppose que tous les repas préparés sont vendus. On désigne par $x$ le nombre de repas servis en un an et on suppose que $x$ appartient à l'intervalle $[\np{5000}\,;\,\np{15000}]$.
\begin{enumerate}
	\item On note $g(x)$ le coût total annuel en \eu de ces $x$ repas. Déterminer $g(x)$.
	\item Montrer que le coût de revient d'un repas est :
	
\[9+\frac{\np{63000}}{x}\]

	\item À l'aide du graphique, déterminer le seuil de rentabilité du restaurant, c'est-à-dire le nombre minimum de repas qu'il faut servir annuellement pour que l'exploitation du restaurant dégage un bénéfice. Justifier.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le bénéfice total annuel pour $x$ repas s'exprime en \eu par :
	
\[B(x) = 7x - \np{63000}\]

		\item Écrire et résoudre l'inéquation qui permet de retrouver par le calcul le seuil de rentabilité du restaurant.
		\item L'objectif du restaurateur est de réaliser un bénéfice annuel de $35000$ \eu minimum.
	
Sachant que le restaurant est ouvert $300$ jours dans l'année, quel nombre de repas doit-il servir, en moyenne, au minimum par jour pour atteindre cet objectif ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 2. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreI2}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 2}}}
\newpage
\section*{Corrigé Btn 2002}
		\setcounter{exercice}{0}

\hypertarget{ancreI1}{\exo}
\begin{enumerate}
\item Points moyens :

$G_1(2,5~;~27)$ et $G_2(6,5~;~33,4)$ ces coordonnées sont obtenues en calculant les moyennes arithmétiques des coordonnées respectives des points de chaque sous-nuage.

La droite d'ajustement et la représentation graphique : $(G_1G_2)$ a une équation : $y = 1,6x + 23$ \, cette équation est obtenue en utilisant la méthode classique des points moyens.
\item Estimations :
\begin{enumerate}
	\item En 2004, $x=11$ et en remplaçant dans l'équation, on obtient $\hat{y}=1,6\times 11+23=40,6$ soit \np{40600} touristes. On remarque la notation $\hat{y}$ de l'estimation.
	\item  $\hat{y}\geqslant 45$ soit: $1,6\hat{x}+23 \geqslant 45$ donne après résolution : $ \hat{x}\geqslant 13,75$ soit en 2007.
\end{enumerate}
\item Représentation du nuage et de la droite d'ajustement :

\hfill
\parbox{8cm}{
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}*(-1,-1)(10,8)
\psaxes[linewidth=1.2pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(10,8)
\uput[d](8.5,0){rangs $x_i$}
\uput[d](1,0){\bf $1$}
\uput[d](5,0){\bf $5$}
\uput[l](0,2){\bf $26$}
\uput[l](0,1){\bf $24$}
\uput[l](0,3){\bf $28$}
\uput[l](0,4){\bf $30$}
\uput[l](0,5){\bf $32$}
\uput[l](0,6){\bf $34$}
\uput[r](0,7.5){\bf $y_i$}
\rput(1,1.2){$\blacktriangle$}
\rput(2,2.15){$\blacktriangle$}
\rput(3,2.9){$\blacktriangle$}
\rput(4,3.75){$\blacktriangle$}
\rput(5,4.35){$\blacktriangle$}
\rput(6,5.4){$\blacktriangle$}
\rput(7,6.2){$\blacktriangle$}
\rput(8,6.85){$\blacktriangle$}
\end{pspicture}
}
\hfill
\parbox{8cm}{
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}*(-1,-1)(10,8)
\psaxes[linewidth=1.2pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(10,8)
\uput[d](8.5,0){rangs $x_i$}
\uput[d](1,0){\bf $1$}
\uput[d](5,0){\bf $5$}
\uput[l](0,2){\bf $26$}
\uput[l](0,1){\bf $24$}
\uput[l](0,3){\bf $28$}
\uput[l](0,4){\bf $30$}
\uput[l](0,5){\bf $32$}
\uput[l](0,6){\bf $34$}
\uput[r](0,7.5){\bf $y_i$}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.2pt,linestyle=dashed](0,0.5)(9,7.7)
\rput(1,1.2){$\blacktriangle$}
\rput(2,2.15){$\blacktriangle$}
\rput(3,2.9){$\blacktriangle$}
\rput(4,3.75){$\blacktriangle$}
\rput(5,4.35){$\blacktriangle$}
\rput(6,5.4){$\blacktriangle$}
\rput(7,6.2){$\blacktriangle$}
\rput(8,6.85){$\blacktriangle$}
\rput(2.5,2.5){$\bigstar$}
\rput(6.5,5.7){$\bigstar$}
\uput[r](2.6,2.3){\bf $G_1$}
\uput[r](6.6,5.6){\bf $G_2$}
\end{pspicture}
}
\hfill\hfill
\vspace{.3cm}

\medskip

On remarque la forme \og allongée \fg{} du nuage de points, ce qui permet d'envisager l'ajustement réalisé et la corrélation de $y$ en $x$.
\end{enumerate}

\newpage
\hypertarget{ancreI2}{\exo}
\subsubsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
	\item En utilisant : $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\left(\frac{1}{x^2}\right)$, on a :
	 
\[f'(x) = -\frac{\np{63000}}{x^2}.\]

	\item Il est clair que la dérivée est strictement négative sur l'intervalle :

\[\begin{array}{|c|*{3}{c}|}
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm x&5000&&15000\\
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm f'(x)&&-&\\
\hline
&&&\\
&21,6&&\\
f(x)&&\dec&\\
&&&13,2\\
\hline
\end{array}\]

\item Courbe représentative :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}*(-2,-1)(16,11)
\showgrid
\psaxes[linewidth=1.2pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-2,-1)(16,11)
\uput[d](15.6,-0.1){$\bf x$}
\uput[l](0,10.6){$\bf y$}
\rput(-0.5,-0.5){$\mathcal O$}
\uput[l](0,5){$\bf 10$}
\uput[l](0,8){$\bf 16$}
\uput[l](0,1){$\bf 2$}
\uput[d](1,0){$\bf 1000$}
\uput[d](5,0){$\bf 5000$}
\uput[d](9,0){$\bf 9000$}
\psplot[plotpoints=800,linewidth=1pt,linecolor=red]{5}{15}{8}
\psplot[plotpoints=800,linewidth=1pt,linecolor=blue]{5}{15}{31.5 x div 4.5 add}
\rput(7,9){\colorbox{yellow}{$\bf C_f$}}
\psline[linewidth=.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](9,0)(9,8)
\rput(9,8){$\bullet$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Une lecture graphique donne clairement : $(\np{9000}~;~16)$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
	\item Le coût total est la somme des charges fixes et des charges variables :

\[g(x) = \np{63000} + 9x\]

	\item Le coût de revient d'un repas est : $\frac{g(x)}{x}$. Donc : $\frac{\np{63000} + 9x}{x}=9+\frac{\np{63000}}{x}=f(x)$.
	\item L'étude graphique précédente montre que le seuil de rentabilité, obtenu dès que : $f(x)\leqslant 16$, est de $\np{9000}$ repas annuels.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $B(x)=16x- g(x)=16x-(\np{63000}+9x)=7x- \np{63000}$.
		\item $B(x)\geqslant 0$, soit : $7x - \np{63000}\geqslant 0$, ce qui donne bien : $x\geqslant \np{9000}$.
		\item $B(x)\geqslant \np{35000}$ s'écrit : $7x- \np{63000}\geqslant \np{35000}$, soit : $7x\geqslant \np{98000}$, finalement :$x\geqslant \np{14000}$. Il faut donc servir par jour : $\frac{\np{14000}}{300}\approx 47$ repas.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}