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\title{
\textbf{\huge{ANNALES}} \\
\textbf{de}\\
\textbf{\huge{MATHEMATIQUES}}\\
Btn hôtellerie}

\author{Michel Charrier\\
Professeur Agrégé
\and
Juin 2003}

\date{}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\setcounter{secnumdepth}{-1}
\setcounter{exercice}{0}

\section{Btn 2003}
\exo{(8 points)}
\es Les $225$ élèves d'un lycée hôtelier sont répartis sur trois types de formation : le BEP, le Bac Professionnel et le Bac Technologique :
\begin{enumerate}[$\blacksquare$]
    \item $48$\,\% des élèves sont des filles ;
    \item $54$ élèves sont en BEP et $108$ en Bac Technologique ;
    \item la moitié des élèves de BEP sont des garçons ;
    \item il y a autant de garçons en Bac Professionnel qu'en BEP.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[1)]
    \item Compléter le tableau suivant (on ne demande pas de justifier) :
    \vs

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
\rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}&\rule{3cm}{0cm}\\
&Nombre de filles&Nombre de garçons&Totaux\\
&&&\\
\hline
&&&\\
BEP&&&\\
&&&\\
\hline
&&&\\
Bac professionnel&&&\\
&&&\\
\hline
&&&\\
Bac technologique&&&\\
&&&\\
\hline
&&&\\
Totaux&&&225\\
&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

    \item
\begin{enumerate}
    \item Dans le lycée, quel est le pourcentage d'élèves inscrits en BEP ?
    \item Parmi les filles, quel est le pourcentage d'élèves inscrits en BEP ?
\end{enumerate}

\item \centerline{{\it Dans la suite, les calculs seront arrondis à $10^{-2}$ près si nécessaire}}

On choisit au hasard un élève dans ce lycée. Tous les élèves ont la même probabilité d'être choisis.
\begin{enumerate}
    \item Calculer la probabilité des évènements suivants :
    \begin{enumerate}[$\blacksquare$]
    \item $A$ : "l'élève choisi est une fille"
    \item $B$ : "l'élève choisi est en Bac Technologique"
    \end{enumerate}
\item Traduire par une phrase l'évènement $\bar{B}$, puis calculer sa probabilité.
\item Traduire par une phrase l'évènement $A\cap B$, puis calculer sa probabilité.
\item Traduire par une phrase l'évènement $A\cup B$, puis calculer sa probabilité.
\end{enumerate}
\item On choisit au hasard un élève parmi ceux qui sont en Bac Technologique.\\
Quelle est la probabilité que ce soit une fille. On la notera : $P(A/B)$.
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreJ1}{\textcolor{red}{\underline{\textbf{Corrigé exercice 1}}}}
\exo{(12 points)}
\es Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[\, 0 \, ; \, 5\, ]$ par :
$$f(x)=\left(100x-500\right)e^{\dis 0,5x}+1200$$
\subsubsection*{\ud{Partie A : étude de la fonction}}
\begin{enumerate}
    \item
\begin{enumerate}
    \item Calculer $f'(x)$ o\`{u} $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$.
    \item Vérifier que pour tout $x\in \, [\, 0 \, ; \, 5\, ]$ on a :
    $$f'x)=\left(50x-150\right)e^{\dis 0,5x}$$
\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[\, 0 \, ; \, 5\, ]$.
\item Compléter le tableau suivant, dans lequel on donnera les valeurs arrondies à la dizaine la plus proche.
    $$
    \begin{array}{|c|*{7}{c|}}
    \hline
    \rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}\\
    x&0&1&1,5&2&3&4&5\\
  &&&&&&&\\
        \hline
        &&&&&&&\\
    f(x)&&&&&&&\\
    &&&&&&&\\
    \hline
    \end{array}
    $$
\item Construire la courbe $\mathcal C$ représentative de la fonction $f$ : $2$ cm pour $1$ unité en abscisses et $1$ cm pour $100$ unités en ordonnées.
\end{enumerate}
\subsubsection*{\ud{Partie B : application, exploitation du graphique}}
\es On admet que $f(x)$ représente en \eu le coût unitaire mensuel de fabrication de $x$ milliers d'articles produits par une entreprise. Cette entreprise peut au maximum fabriquer \np{5000} articles par mois. Tous les résultats seront donnés à la dizaine d'\eu la plus proche.
\begin{enumerate}
    \item Quel est le coût unitaire mensuel de fabrication de \np{3500} articles ?
    \item Combien d'articles l'entreprise doit-elle produire tous les mois pour que le coût unitaire soit minimum ? Quel est ce coût ? Justifier.
    \item À l'aide du graphique, et en faisant appara\^{\i}tre les constructions utiles, déterminer l'intervalle dans lequel doit se situer le nombre d'articles fabriqués mensuellement par l'entreprise pour que le coût unitaire n'excède pas $450$ \euros.
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 2. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreJ2}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 2}}}
\newpage
\setcounter{exercice}{0}
\section*{Corrigé Btn 2003}
\hypertarget{ancreJ1}{\exo{(8 points)}}
\begin{enumerate}
    \item {\bf tableau}
    \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &&&\\
        &Nombre de filles&Nombre de garçons&TOTAL\\
        &&&\\
            \hline
            &&&\\
            BEP&27&27&54\\
            &&&\\
            \hline
            &&&\\
            Bac professionnel&36&27&63\\
            &&&\\
            \hline
            &&&\\
            Bac technologique&45&63&108\\
            &&&\\
            \hline
            &&&\\
            TOTAL&108&117&225\\
            &&&\\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
\item {\bf pourcentages}
\begin{enumerate}
    \item le pourcentage d'élèves en BEP est:\quad $\frac{54}{225}=0,24$ \:soit 24\%
    \item parmi les filles, le pourcentage d'élèves en BEP est:\quad $\frac{27}{108}=0,25$\: soit 25\%
\end{enumerate}
\item {\bf probabilités}
\begin{enumerate}
    \item $$P(A)=\frac{108}{225}=0,48$$
$$P(B)=\frac{108}{225}=0,48$$
\item $\bar B$ est l'évènement:"l'élève choisi n'est pas en Bac technologique"
$$P(\bar B)=1-P(B)=1-0,48=0,52$$
\item$A \cap B$ est l'évènement:"l'élève choisi est une fille et est en Bac technologique"
$$P(A \cap B)=\frac{45}{225}=0,20$$
\item $A \cup B$ est l'évènement:"l'élève choisi est une fille ou est en Bac technologique"$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=0,48+0,48-0,20=0,76$$
\end{enumerate}
\item {\bf la probabilité} que ce soit une fille sachant que l'élève est en Bac technologique est:$$P(A/B)=\frac{45}{108}\approx 0,42$$
\end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{ancreJ2}{\exo{(12 points)}}
\subsection*{PARTIE A : Etude de la fonction $f$}
\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
    \item La dérivée $f'$ de la fonction $f$ est :$$f'(x)=100\times e^{0,5x}+(100x-500)\times0,5  e^{0,5x}$$
    \item On obtient après factorisation par  $\left(e^{0,5x}\right)$ :
    $$f'(x)=(100+50x-250)\times e^{0,5x}$$
    $$\boxed {f'(x)=(50x-150)\times e^{0,5x}}$$
\end{enumerate}
\item Le signe de $f'(x)$ sur $[0;5]$ est le signe de $(50x-150)$ car $e^{0,5x}$ est strictement positif. Or $(50x-150)$ est un binôme du premier degré, nul si $x=3$. D'o\`{u} le tableau de variations de $f$ sur $[0;5]$ :
\item Tableau de variations :
$$
\begin{array}{|c|*{5}{c}|}
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm x&0&&3&&5\\
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm f'(x)&&-&0&+&\\
\hline
&700&&&&1200\\
f(x)&&\dec&&\cro&\\
&&&300&&\\
\hline
\end{array}
$$
\item Tableau de valeurs :
\vspace{.5cm}
    \begin{center}
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&0&1&1,5&2&3&4&5\\
\hline
f(x)&700&540&460&380&300&460&1200\\
\hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    \vspace{0.5cm}
    \item  Courbe représentative $C_f$ :
    \vspace{.5cm}

    \begin{center}
    \begin{pspicture}*(-1,-1)(5,6)
    \psaxes[linewidth=1.2pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(5,6)
    \showgrid
    \uput[d](4.8,0){$\bf x$}
    \uput[l](0,5.8){$\bf y$}
        \uput[d](1,0){$\bf 1$}
        \uput[d](3,0){$\bf 3$}
        \uput[l](0,1){$\bf 200$}
            \uput[l](0,1.5){$\bf 300$}
                \uput[l](0,2.25){$\bf 450$}
\uput[u](3,1.52){$\bf A$}
\rput(3,1.52){$\bullet$}
\rput(4.3,4.6){$\bf C_f$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,1.52)(3,1.52)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](3,0)(3,1.52)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,2.25)(5,2.25)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{->}(4,2.25)(4,0)
\psline{<->}(1.55,0)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{->}(1.56,2.25)(1.56,0) \psplot[plotpoints=900,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{0}{5}{2.718 0.5 x mul exp x 100 mul 500 sub mul 1200 add 200 div}
    \end{pspicture}
    \end{center}
\end{enumerate}
\subsection*{PARTIE B : application}
\begin{enumerate}
    \item Coût unitaire : le coût unitaire mensuel de 3500 articles est : $f(3,5)\approx 340 $ \euros.
    \item Le coût unitaire minimum est obtenu pour 3000 articles et est de $300$ \euros  (voir le tableau de variations : minimum de $f$ sur $[0;5]$ ou bien lecture de la courbe $C_f$ au point $A$).
    \item Les constructions sur le graphique montrent que l'intervalle est environ (lecture à 0,1 près)   : $[1,6;4]$ et comme $x$ est en milliers d'articles :  $[1600;4000]$
\end{enumerate}
\end{document}
