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\title{
\textbf{\huge{ANNALES}} \\
\textbf{de}\\
\textbf{\huge{MATHEMATIQUES}}\\
Btn hôtellerie}

\author{Michel Charrier\\
Professeur Agrégé
\and
Juin 2005}

\date{}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\setcounter{secnumdepth}{-1}
%\maketitle
\setcounter{exercice}{0}

\section{Btn 2005}

\exo{(8 points)}

Un restaurateur a fait une étude statistique sur \np{8000} clients ayant séjourné dans son restaurant et ayant choisi l'une des trois formules proposées :

\begin{center}
\parbox{10 cm}{
\begin{enumerate}[$\bullet$]

    \item Formule $F_1$ : buffet et dessert
    \item Formule $F_2$ : buffet et plat
    \item Formule $F_3$ : plat et dessert

\end{enumerate}}
\end{center}

Il constate que :
\begin{center}
\parbox{10 cm}{
\begin{enumerate}[$\bullet$]
    \item \np{4500} clients sont des femmes,
    \item 43\,\% des femmes ont choisi $F_1$,
    \item \np{1575} femmes ont choisi $F_2$,
    \item 3 clients sur 10 ont choisi $F_3$,
    \item 32\,\% des clients ont choisi $F_1$.
\end{enumerate}}
\end{center}
\begin{enumerate}
    \item Reproduire et compléter le tableau :
    \vs

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\rule{2cm}{0cm}&\rule{2cm}{0cm}&\rule{2cm}{0cm}&\rule{2cm}{0cm}&\rule{2cm}{0cm}\\
&$F_1$&$F_2$&$F_3$&Total\\
&&&&\\\hline
&&&&\\
Femmes&&&&\\
&&&&\\\hline
&&&&\\
Hommes&&&&\\
&&&&\\\hline
&&&&\\
Total&&&&8 000\\
&&&&\\\hline\end{tabular}
    \end{center}
    \item On sélectionne un client au hasard. Déterminer les probabilités des évènements suivants (arrondies à 10$^{-2}$ près.\\
    A : le client a choisi $F_2$,\\
    B : le client est une femme,\\
    C : le client est un homme qui a choisi $F_1$.
    \item Définir par une phrase, puis déterminer les probabilités des évènements :

    \centerline{ $A\cap B$ ; $A\cup B$ ; $\overline A$}
    \item On sélectionne une femme au hasard.\\
     Déterminer la probabilité de l'évènement D : la cliente a choisi une formule comprenant un plat.


\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreL1}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 1}}}
\exo{(12 points)}
\subsection*{Partie A}
On considère les deux fonctions $U$ et $C$ définies sur $[~10~;~80~]$ par $U(x)=0,4~x^2 + 1$ et $C(x)=\ln (0,4~x^2 + 1)$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
\begin{enumerate}
    \item
\begin{enumerate}
    \item Calculer la dérivée $U'$ de la fonction $U$.
    \item En déduire que pour tout $x\in [~10~;~80~]$, $C'(x)=\frac{0,8~x}{0,4~x^2+1}$.
\end{enumerate}
\item Etudier sur $[~10~;~80~]$ le signe de $C'(x)$. En déduire le tableau de variations de la fonction $C$.
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant les résultats arrondis à 10$^{-1}$ près.
\vs

\begin{center}
\begin{tabular}{|*9{c|}}
\hline
&&&&&&&&\\
$x$ &10&15&20&25&30&40&60&80\\
&&&&&&&&\\
\hline
\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}\\
$C(x)$&&&&&&&&7,8\\
&&&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item
\begin{enumerate}
    \item On munit le plan d'un repère orthogonal : 1 cm pour 5 unités sur l'axe des abscisse et 1 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.\\
    Tracer dans ce repère la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $C$.
    \item Dans le même repère, tracer la droite $\Delta$ d'équation $y=7,5$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B}
Un industriel envisage la production de 10 à 80 fauteuils pour un hôtel. Le coût de production de $x$ fauteuils est égal, \textbf{en dizaines de milliers d'\eu}, à $C(x)=\ln (0,4~x^2+1)$ pour $x$ compris entre 10 et 80.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer, à l'aide du graphique précédent, le nombre maximum de fauteuils que l'industriel peut produire avec un budget de \np{75000} \eu. \textbf{Justifier}.
    \item Le prix de vente à l'hôtel d'un fauteuil est de 1 500 \eu.
	\begin{enumerate}
    	\item Donner l'expression $R(x)$ du chiffre d'affaires de l'industriel exprimé en dizaines de milliers d'\eu.
    	\item Représenter la fonction $R$ définie sur $[~10~;~80~]$ par : $R(x)= 0,15~x$ dans le même repère que précédemment.
    	\item L'hôtel passe une commande de 40 fauteuils. Est-ce rentable pour l'industriel? Justifier par un calcul puis graphiquement (on tracera les pointillés utiles).
    	\item Quel est le nombre minimal de fauteuils à vendre pour que l'opération soit rentable pour l'industriel? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 2. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreL2}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 2}}}
\newpage
\section*{Corrigé Btn 2005}
        \setcounter{exercice}{0}

\hypertarget{ancreL1}{\exo}
\begin{enumerate}
    \item On obtient le tableau :
    \vs

            \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \rule{2cm}{0cm}&\rule{2cm}{0cm}&\rule{2cm}{0cm}&\rule{2cm}{0cm}&\rule{2cm}{0cm}\\
&$F_1$&$F_2$&$F_3$&Total\\
&&&&\\\hline
&&&&\\
Femmes&1935&1575&990&4500\\
 &&&&\\\hline
&&&&\\
Hommes&625&1465&1410&3500\\
&&&&\\\hline
&&&&\\
Total&\np{2560}&\np{3040}&\np{2400}&\np{8000}\\
&&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
    \vs

    \item
P(A)= $\frac{3040}{8000}=0,38$\\

P(B)= $\frac{4500}{8000}\approx 0,56$\\

    P(C)= $\frac{625}{8000}\approx 0,08$

    \item Pour les définitions, voir le cours. P(A$\cap$B) =$\frac{1575}{8000}\approx 0,20$~~;~~P(A$\cup$B) =$\frac{1935+1575+990+1465}{8000}\approx 0,75$~~;~~\\P($\overline{\text A}$) = $1-$P(A) =$0,72$.
    \item P(D) =$\frac{1575+990}{4500}=0,57$.
    \end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{ancreL2}{\exo}
\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
    \item
\begin{enumerate}
    \item $$U'(x)=0,8~x$$
    \item On sait que : ~~$(\ln u)'=\frac{u'}{u}$~~ donc : $$C'(x)=\frac{0,8~x}{0,4x^2+1}$$
\end{enumerate}
\item $C'(x)$ est clairement positive sur l'intervalle. On en déduit :
\vs

         $$
\begin{array}{|c|*{3}{c}|}
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm x&10&&80\\
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm f'(x)&&+&\\
\hline
&&&\approx 7,8\\
f(x)&&\cro&\\
&\approx 3,7&&\\
\hline
\end{array}
$$
\vs

\item Le tableau de valeurs :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*9{c|}}
\hline
&&&&&&&&\\
$x$ &10&15&20&25&30&40&60&80\\
&&&&&&&&\\
\hline
\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}\\
$C(x)$&3,7&4,5&5,1&5,5&5,9&6,5&7,3&7,8\\
&&&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Représentation graphique :

    \begin{center}
    \begin{pspicture}*(-2,-1)(9,9)
        \showgrid
    \psaxes[linewidth=1.2pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-2,-1)(9,9)
\uput*[u](8.6,0){$\bf x$}
    \uput*[l](0,8.6){$\bf y$}
        \uput*[d](1,0){$\bf 10$}
        \uput*[d](5,0){$\bf 50$}
\uput*[d](4,0){$\bf 40$}
                \uput*[d](8,0){$\bf 80$}
\uput*[l](0,1){$\bf 1$}
\uput*[l](0,5){$\bf 5$}
\uput*[l](0,7.5){$\bf 7,5$}
\rput*(-.3,-.3){$\mathcal O$}
        \uput*[d](6.7213,0){$\bf 67$}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{1}{8}{x 2 exp 40 mul 1 add ln}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0}{9}{7.5}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1.2pt,linecolor=magenta]{1}{8}{x 1.5 mul}
\rput(6.7213,7.5){$\bullet$}
\psline[linestyle=dashed](6.7213,7.5)(6.7213,0)
\rput(4,6){$\bullet$}
\psline[linestyle=dashed](4,6)(4,0)
\rput(4,6.4630){$\bullet$}
\psline[linestyle=dashed](4,6)(4,6.4630)
\psline[linestyle=dashed](4,6)(0,6)
\psline[linestyle=dashed](4,6.4630)(0,6.4630)
\rput(4.4509,6.6764){$\bullet$}
\psline[linestyle=dashed](4.4509,6.6764)(4.4509,0)
        \uput*[d](4.4509,0){\small 45}
\uput*[l](0,6){\footnotesize R(40)}
\uput*[l](0,6.4630){\footnotesize C(40)}
        \rput(2.5,5.5){\colorbox{yellow}{coût}}
                \rput(2,3){\colorbox{yellow}{chiffre d'affaires}}
    \end{pspicture}
    \end{center}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B}
\begin{enumerate}
    \item Graphiquement, la courbe de coût doit rester \og en dessous \fg{} de la droite $y = 7,5$. On peut produire au maximum 67 fauteuils.
    \item

\begin{enumerate}
    \item $$R(x)=0,15x$$
    \item Voir graphique.
    \item $R(40)=6$ et $C(40)\approx 6,46$. On a :$R(40)<C(40)$. Ce n'est pas rentable, ce que le graphique confirme : pour $x=40$ la courbe de coût est \og au dessus \fg{} de la droite de chiffre d'affaires.
    \item Graphiquement, le seuil de rentabilité est environ de 45 fauteuils : pour $x\approx 45$, la droite de chiffre d'affaires passe \og au dessus \fg{} de la courbe de coût.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
