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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement fourni par Denis Le Fur
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm} 
\lhead{\small BaccalauréŽat 1\up{re} L mathŽématiques--informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
    
\begin{center}    {\Large \textbf{BaccalaurŽéat MathŽématiques--informatique\\Amérique du Sud novembre 2011}}

\vspace{1cm}

\textbf{Les deux pages support de l'exercice 1 et celle de l'annexe sont à rendre avec la copie} 
\end{center}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 10 points}

\medskip

\textbf{PARTIE 1 : Évolution du prix de l'immobilier à Paris de 1998 à 2008}

\medskip
 
Le tableau suivant indique le prix moyen, au mètre carré, d'un appartement de deux pièces à Paris.

Ces données, relevées de décembre 1998 à décembre 2008, sont incomplètes.
 
Il s'agit d'estimer le prix au mètre carré en décembre 2001 et en décembre 2005.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline 
Année&1998&1999&2000&2001&2002&2003&2004&2005&2006&2007&2008\\ \hline%
Prix au mètre carré (en \euro)&\np{2300}&\np{2475}&\np{2850}&&\np{3350}&\np{3825}&\np{4325}&&\np{5500}&\np{6000}&\np{6575}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe 1 sont représentées, par sept points, certaines données du tableau ci-dessus, compléter le nuage de points pour les années 2006 et 2007. 
\item On suppose que l'évolution des prix est linéaire entre deux dates pour lesquelles le prix au mètre carré est connu. En déduire une courbe représentant le prix au mètre carré en fonction du temps sur l'intervalle [1998~;~2008].
\item Par interpolation linéaire, calculer une estimation du prix au mètre carré en décembre 2001 et en décembre 2005, 

Retrouver graphiquement ces résultats. Laisser apparents les traits de construction. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'augmentation absolue, en euros, du prix au mètre carré entre 1999 et 2000, 
		\item Calculer le pourcentage d'augmentation du prix au mètre carré entre 1999 et 2000.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 2 : Modélisation de l'évolution}

\medskip
 
On souhaite prévoir l'évolution des prix pour les années suivantes.
 
Pour un entier positif $n$, on note $u_{n}$ le prix du mètre carré en euros à Paris en décembre de l'année $1998 + n$. 

Le tableau ci-dessus donne les valeurs de $u_{n}$ pour les années 1998 à 2008. 

Ainsi $u_{0} = \np{2300},\: u_{1} = \np{2475}$ et $u_{2} = \np{2850}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle arithmétique ? Justifier votre réponse. 
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle géométrique? Justifier votre réponse,
	\end{enumerate} 
\item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite géométrique de premier terme $v_{0} = \np{2300}$ et de raison $q = 1,11$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Justifier que : $v_{3} \approx  \np{3146}$. Calculer les valeurs, arrondies à l'unité des termes $v_{6}$ et $v_{10}$.
	\end{enumerate} 
\item On choisit de modéliser l'évolution annuelle du prix du mètre cané en euros à Paris à partir de décembre 1998, par la suite $\left(v_{n}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item À quel pourcentage d'augmentation annuelle des prix celle modélisation correspond-elle ? 
		\item Comparer les valeurs $v_{6}$ et $v_{10}$ calculées précédemment aux données figurant dans le tableau de la partie 1. Que pensez-vous du modèle choisi ? 
		\item En déduire une estimation du prix du mètre carré en euros à Paris en décembre 2013. 
		\item Ce modèle vous semble-t-il réaliste pour les années 2009 et 2010 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 10 points}

\medskip

On a étudié le nombre d'années de retard des élèves en classe de troisième en France au cours de l'année 2007.

Dans cette étude, le mot \og retard \fg{} sera pris au sens relatif : avoir un nombre d'années de retard égal à $- 1$ signifie avoir une année d'avance.
 
Une partie des résultats est présentée dans le tableau donné en \textbf{annexe 2}, on y trouve également une aide à la lecture du tableau.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau donné en \textbf{annexe 2}. 
		\item Calculer le nombre moyen d'années de retard des filles de troisième (arrondir au centième). 
		\item On admet que le nombre moyen d'années de retard des garçons est de $0,43$.
		 
Comparer les deux moyennes.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, les pourcentages attendus sont arrondis à 1\,\%. 
	\begin{enumerate}
		\item Sur l'ensemble des élèves de troisième, quel est le pourcentage de garçons qui avaient exactement une année de retard en 2007 ? 
		\item Parmi les élèves ayant deux années de retard en 2007, quel était le pourcentage de filles ? 
		\item Parmi les filles, quel était le pourcentage d'élèves ayant deux années de retard en 2007 ?
	\end{enumerate} 
\item Vous trouverez en \textbf{annexe 3} un tableau extrait d'une feuille de calcul.
 
Il complète les données de l'annexe 2 en calculant des pourcentages par ligne. La plage de valeurs B8-F10 est au format pourcentage arrondi à 0,1\,\%. 
	\begin{enumerate}
		\item Que signifie la valeur inscrite dans la cellule B8 ? 
		\item Que signifie la valeur inscrite dans la cellule D10 ? 
	\end{enumerate}
\item On désire placer une formule dans la cellule B8 pour obtenir automatiquement, par recopie vers le bas et vers la droite, tous les pourcentages inscrits dans la feuille de calcul de l'\textbf{annexe 3}.
 
Pour obtenir ce résultat on propose les quatre formules suivantes : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\fbox{= B3/F3}& \fbox{=B3/\$F\$3}& \fbox{=B3/\$F3}& \fbox{=B3/F\$3}\\
\end{tabularx} 
	
	\begin{enumerate}
		\item Que devient chacune de ces formules lorsqu'elle est ainsi recopiée dans la cellule C9 ? 
		\item Parmi les quatre propositions ci-dessus, quelle est la seule formule qui répond à la question? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{ANNEXES à rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}
\begin{flushleft}
\textbf{ANNEXE 2} 

\vspace{0,5cm}

\emph{Aide à la lecture du tableau :\\
Par exemple, $\np{139003}$ garçons de troisième avaient une année de retard en $2007$.\\ 
La colonne $- 1$ correspond aux élèves de troisième qui avaient une année d'avance en 2007.}
\end{flushleft}

\vspace{0,5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre d'années de retard	&$- 1$		& 0			&1 			&2 			&Total \\ \hline
Filles 						&\np{12386}	&\np{250340}&			&\np{17229}	&\np{389005}\\ \hline
Gar\c{c}ons					&\np{12088}	&			&\np{139003}&\np{20851}	&\\ \hline
Total						&			&\np{474367}&\np{248053}&\np{38080}	&\np{784974}\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{ANNEXE 3} 
\end{flushleft}

\vspace{0,5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
	&A			&B			&C			&D			&E			&F\\ \hline 
1 	&Nombre d'années de retard&$- 1$&0	&1			&2			& Total\\ \hline 
2	&			&			&			&			&			&\\ \hline
3	&Filles		&\np{12386}	&\np{250340}&			&\np{17229}	&\np{389005}\\ \hline 
4	&Gar\c{c}ons&\np{12088}	&			&\np{139003}&\np{20851}	&\\ \hline
5	&Total		&			&\np{474367}&\np{248053}&\np{38080}	&\np{784974}\\ \hline
6	&			&			&&&&\\ \hline

7	&\multicolumn{6}{|l|}{Pourcentages (valeurs approchées)}\\ \hline
8	&Filles		&3,2\,\%	&64,4\,\%	&28,0\,\%	&5,4\,\%	&100,0\,\%\\ \hline
9	&Gar\c{c}ons&3,0\,\%	&56,6\,\%	&35,1\,\%	&5,3\,\%	&100,0\,\%\\ \hline
10	&Total		&3,1\,\%	&60,4\,\%	&31,6\,\%	&4,9\,\%	&100,0\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}