\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{color} \usepackage{colortbl} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{slashbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit et corrigé : Jean-Claude Souque \usepackage{pstricks-add,multido,pst-plot,pst-tree,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \usepackage[left=2cm, right=2cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice\,\% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}\,\% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}\,\% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}\,\% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeatletter%graduations décimales \def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% \ifx#1\@emptyO\else#1\fi \ifx#2\@empty\else,#2\fi} \makeatother \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Baccalauréat 1L mathématiques--informatique} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{7 juin 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Baccalauréat Mathématiques--informatique\\Polynésie 7 juin 2011}} Corrigé \end{center} \vspace*{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points} \medskip Un journaliste veut écrire un article sur le niveau d'étude des personnes de 15 ans et plus, en France métropolitaine en 2007. Pour cela il récupère des données sur le site de l'INSEE reproduites en partie sur l'annexe 1 à l'aide d'un tableur. Il en a déduit les tableaux de pourcentages arrondis à 0,01\,\% près, reproduits dans les annexes 2 et 3. \medskip \textbf{PARTIE A \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item Le pourcentage de personnes ayant le BEPC seul, parmi celles qui sont dans la tranche d'âge des \og 20 à 24 ans \fg{} est de 6,30~\%, résultat que l'on peut lire sur l'annexe 2. On peut aussi calculer la proportion de personnes ayant le BEPC seul, parmi celles qui sont dans la tranche d'âge des \og 20 à 24 ans \fg{}. Celle-ci vaut \[ \frac{\np{254567}}{\np{4040751}} \approx \np{0.0630} \approx 6,30~\% \] \item Le pourcentage que représente les personnes de cinquante ans ou plus parmi celles qui ont un diplôme supérieur est de \np{30.75}~\%. En effet on lit dans l'annexe 3 pour les personnes entre 50 et 64 ans \np{21.10}~\% et pour les personnes ayant 65 ans ou plus \np{9.65}~\% ( \np{21.10}~\%+\np{9.65}~\%=\np{30.75}~\%). On peut aussi calculer la proportion des personnes de cinquante ans ou plus parmi celles qui ont un diplôme supérieur. Les personnes de cinquante ans ou plus ayant un dipl\^ome supérieur sont au nombre de \np{1135320} + \np{519190}, celles qui ont un diplôme supérieur \np{5380265}. La proportion est \[\frac{\np{1135320}+\np{519190}}{\np{5380265}}=\frac{\np{1654510}}{\np{5380265}} \approx \np{0.3075}\approx \np{30.75}~\%\] \item Le nombre de personnes âgées de 15 à 19 ans qui n'ont aucun diplôme ou un certificat d'étude primaire est \[ \np{4043213} - \left ( \np{64691} +\np{97037}+\np{24259}\np{3727843}\right ) = \np{129383}\] ou\[\np{14912123}- \left(\np{355586}+\np{3615506}+\np{4103709}+\np{6707939}\right)=\np{129383}\] ou sachant que les personnes âgées de 15 à 19 ans qui n'ont aucun diplôme ou un certificat d'étude primaire représente \np{3.20}~\% de cette classe d'âge, on a donc $\np{4043213} \times \frac{\np{3.2}}{100} \approx \np{129382.8}$ ou en arrondissant à l'unité \np{129383}. \item Calculons le pourcentage des personnes de 25 à 49 ans qui ont un diplôme supérieur. Ceux-ci sont au nombre de \np {3572206} sur un total de \np{21649736}.$\frac{\np{3572206}}{\np{21649736}}\approx \np{0.1650}\approx\np{16.50}~\%$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B \hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item Pour compléter la plage (B19 : B26) de l'annexe 2, le journaliste a inscrit une formule en B19 qu'il a recopiée jusqu'en B26 ; La formule inscrite en B19 est \fbox{~~ =B5 /\$B\$12 } \item La formule contenue en D22 indique \fbox{~~ = D8 / D\$12} ; en D2 on a calculé $\frac{\np{3896952}}{\np{21649736}}\approx \np{0.180}$ par conséquent le pourcentage qui va être lu en D22 est 18. C'est le pourcentage de personnes ayant le bac,brevet professionnel ou équivalent parmi celles qui sont dans la tranche d'âge des \og 25 à 49 ans \fg{}. \item Le pourcentage qui se trouve à l'intersection de la colonne \og 25 à 49 ans \fg{} et de la ligne \og Bac +2 \fg{} dans le tableau de l'annexe 3 est \np{68.33}~\%. Il représente le pourcentage des personnes de \og 25 à 49 ans \fg{} parmi celles qui ont \og Bac+2\fg{}. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \vspace*{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points} \medskip Le 1\up{er} janvier 2006, la population d'un pays s'élevait à 30~millions d'habitants. Le tableau suivant donne l'évolution du nombre d'habitants de ce pays sur 3 ans. \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{3.4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &1er janvier 2006&1er janvier 2007 &1er janvier 2008&1er janvier 2009\\ \hline Nombre d'habitants (en millions) &30,00 &31,80 &33,72 &35,75\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{PARTIE A \hfill 6 points} \medskip \begin{enumerate} \item Représentons graphiquement ces données. \medskip \begin{center} \psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-0.4,-0.35)(5,6) \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,Oy=30,Ox=2006,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.24,-0.24)(4,6) \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue,dotscale=1.5](0,0)(1,1.8)(2,3.72)(3,5.75) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2](0,0)(4,6) %\multido{\n=0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,6)} %\multido{\n=0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(4,\n)} \rput(-0.2,0.1){30}\rput(-0.01,-0.15){2006} \end{pspicture*} \end{center} \item L'augmentation du nombre d'habitants: \begin{enumerate} \item entre 2006 et 2007 est : $\frac{31,8-30}{30}=0,060=6~\%$ \item entre 2007 et 2008 est $\frac{33,72-31,8}{31,8}\approx 0,060 \approx6~\%$ \item entre 2008 et 2009 est :$\frac{35,75-33,72}{33,72}\approx 0,060 \approx6~\%$ \end{enumerate} \item Le coefficient multiplicateur est $(1+\frac{t}{100})$. Celui rendant compte de l'augmentation de la population : \begin{enumerate} \item entre 2006 et 2007 est 1,06 \item entre 2007 et 2008 est 1,06 \item entre 2008 et 2009 est 1,06 \item Ces données laissent supposer que la croissance de la population est exponentielle car le nombre d'habitants est multiplié par 1,06 ou croît de 6~\% par an. \item Le pourcentage d'évolution de la population entre le 1\up{er} janvier 2006 et le 1\up{er} janvier 2009 est $\frac{35,75-30,0}{30,0}\approx 0,1917 \approx 19,17~\%$ \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{PARTIE B \hfill 5 points} \medskip On estime que l'augmentation de la population pour les dix années à venir sera de 6 \,\% par an. On note $P_{0}$ le nombre d'habitants en millions au 1\up{er} janvier 2009 ; on a donc $P_{0} = 35,75$. On note $P_{n}$ le nombre d'habitants en millions au 1\up{er} janvier $2009 + n$. \begin{enumerate} \item $P_{1}=35,75\times 1,06 \approx 37,90$ et $P_{2}=37,90 \times 1,06 \approx 40,17$ ( valeurs arrondies au centième). \item La suite $\left(P_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme 35,75 et de raison 1,06 car on passe d'un terme au suivant en le multipliant par 1,06. \item Donnons une estimation du nombre d'habitants au 1\up{er} janvier 2014, prévue par ce modèle. Le terme général de la suite est $u_n=\np{35.75}\times 1,06^n$ par conséquent pour $n =2014-2009=5$ on a $u_5= 35,75\times 1,06^5\approx 47,84$. Une estimation du nombre d'habitants au 1\up{er} janvier 2014, prévue par ce modèle est 47,84 millions d'habitants. \item Selon ce modèle, on peut estimer que la population dépassera 58~millions d'habitants à partir de 2018. En dressant une table des valeurs de la fonction définie sur $\N$ par $x\mapsto 35,75\times 1,06^{x} $, on obtient pour $x=8$, un effectif de 56,98 millions d'habitants et pour $x=9$, un effectif de 60,40 millions d'habitants. \end{enumerate} \newpage \setlength\linewidth{13cm} \begin{center} \textbf{ANNEXES} \bigskip \footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.4cm}|m{2.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E&F&G\\ \hline 1&\multicolumn{7}{|l|}{Annexe 1 : Effectifs par niveau de formation et tranche d'âge}\\ \hline 3&&&&&&&\\ \hline 4& 2007& 15 à 19 ans& 20 à 24 ans& 25 à 49 ans &50 à 64 ans &65 ans ou plus&Ensem\-ble\\ \hline 5&Aucun diplôme ou certificat d'\'etude primaire&& \np{355586} &\np{3615506} &\np{4103709} &\np{6707939} &\np{14912123}\\ \hline 6 &BEPC seul &\np{64691} &\np{254567} &\np{1537131} &\np{1099841} &\np{768402} &\np{3724632}\\ \hline 7 &CAP, BEP ou équivalent& \np{97037} &\np{569746} &\np{5520683} &\np{3098478} &\np{1 256441} &\np{10542385}\\ \hline 8&Bac, brevet prof. ou équivalent &\np{24259} &\np{573787} &\np{3896952} &\np{1454629} &\np{861856}&\\ \hline 9 &Baccalauréat + 2 ans& 0 &\np{290934} &\np{3225811} &\np{934274} &\np{269979} &\np{4720998}\\ \hline 10 &Diplôme supérieur& 0 &\np{153549} &\np{3572206} &\np{1135320} &\np{519190} &\np{5380265}\\ \hline 11&En cours d'études initiales& \np{3727843} &\np{1842582} &\np{281447} &0 &0 &\np{5851872} \\ \hline 12&Total &\np{4043213} &\np{4040751} &\np{21649736} &\np{11826251} &\np{10383807} &\np{51943758}\\ \hline 13&\multicolumn{7}{|c}{}\\ \hline 15&\multicolumn{7}{|l|}{Annexe 2 : Pourcentages par tranches d'âge}\\ \hline 17&\multicolumn{7}{|l|}{}\\ \hline 18&2007 &15 à 19 ans &20 à 24 ans &25 à 49 ans &50 à 64 ans &65 ans ou plus&Ensemble\\ \hline 19&Aucun diplôme ou certificat d'étude primaire&3,20\,\% &8,80\,\% &16,70\,\% &34,70\,\% &64,60\,\% &28,71\,\%\\ \hline 20& BEPC seul &1,60\,\% &6,30\,\% &7,10\,\% &9,30\,\% &7,40\,\% &7,17\,\% \\ \hline 21&CAP, BEP ou équivalent &2,40\,\% &14,10\,\% &25,50\,\% &26,20\,\% &12,10\,\% &20,30\,\% \\ \hline 22&Bac, brevet prof. ou équivalent&0,60\,\% &14,20\,\% & &12,30\,\% &8,30\,\% &13,11 \,\%\\ \hline 23 &Baccalauréat + 2 ans &0,00\,\% &7,20\,\% &14,90\,\% &7,90\,\% &2,60\,\% &9,09\,\%\\ \hline 24&Diplôme supérieur &0,00\,\% &3,80\,\% &&9,60\,\% &5,00\,\% &10,36\,\%\\ \hline 25&En cours d'études initiales &92,20\,\% &45,60\,\% &1,30\,\% &0,00\,\% &0,00\,\% &11,27\,\% \\ \hline 26&Total &100,00\,\% &100,00\,\% &100,00\,\% &100,00\,\% &100,00\,\% &100,00\,\% \\ \hline 27&\multicolumn{7}{|l|}{}\\ \hline 28&\multicolumn{7}{|l|}{Annexe 3 : Pourcentages par niveau de formation}\\ \hline 30&\multicolumn{7}{|l|}{}\\ \hline 31&2007 &15 à 19 ans &20 à 24 ans &25 à 49 ans &50 à 64 ans &65 ans ou plus &Ensemble\\ \hline 32&Aucun diplôme ou certificat d'étude primaire&0,87\,\% &2,38\,\% &24,25\,\% &27,52\,\% &44,98\,\% &100,00\,\%\\ \hline 33&BEPC seul &1,74\,\% &6,83\,\% &41,27\,\% &29,53\,\% &20,63\,\% &100,00\,\%\\ \hline 34&CAP, BEP ou équivalent &0,92\,\% &5,40\,\% &52,37\,\% &29,39\,\% &11,92\,\% &100,00\,\%\\ \hline 35&Bac, brevet prof. ou équivalent&0,36\,\% &8,42\,\% &57,21\,\% &21,36\,\% &12,65\,\% &100,00\,\%\\ \hline 36& Baccalauréat + 2 ans &0,00\,\% &6,16\,\% &68,33\,\% &19,79\,\% &5,72\,\% &100,00\,\% \\ \hline 37&Diplôme supérieur &0,00\,\% &2,85\,\% &66,39\,\% &21,10\,\% &9,65\,\% &100,00\,\%\\ \hline 38&En cours d'études initiales &63,70\,\% &31,49\,\% &4,81\,\% &0,00\,\% &0,00\,\% &100,00\,\% \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document} \psset{xunit=3.0mm,yunit=3.0mm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(2005,29)(2010,36) \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=2006,Dx=1,Oy=30,Dy=1](2006,30)(2005.5,29)(2010,36) %\psaxes[xAxis=true,yAxis=true]{->}(2006,30)(2005.5,29.5)(2010,36) \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2006,30) %\rput[bl](-0.08,-0.2){\blue{$2006$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,1.8) %\rput[bl](-0.38,1.78){\blue{$31.86$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,3.72) %\rput[bl](-.4,3.68){\blue{$33.72$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,5.75) %\rput[bl](3.04,5.81){\blue{$D$}} \end{pspicture*}