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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat anticipé Mathématiques-informatique }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Mathématiques-informatique
 Métropole  juin 2012~\decofourright}}
 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} Étude de deux types de régime\hfill 12 points}

\medskip

\emph{Dans l'énoncé ci-dessous, le mot \og poids \fg{} est utilisé dans sa signification en langage courant, c'est-à-dire comme un synonyme du terme \og masse \fg.}

\medskip
 
Au XVII\up{e} siècle, le scientifique belge Adolphe Quételet invente l'Indice de Masse Corporelle (IMC). Cet indice permet de mesurer la corpulence d'un individu à partir de son poids et de sa taille.
 
Il se calcule ainsi : \fbox{$\text{IMC} = \dfrac{P}{T^2}$} où $P$ représente le poids exprimé en kilogrammes (kg) et $T$ la taille en mètres (m).

\medskip
 
L'Organisation Mondiale de la Santé (OMS) a choisi l'indice IMC comme standard permettant d'évaluer les risques liés au surpoids et à la maigreur chez l'adulte.

\medskip
 
Un individu, âgé de plus de 18 ans, est de corpulence \og normale\fg{} si son IMC est compris entre $18,5$ et $25$.

\medskip
 
Alice et Bob ont plus de $18$~ans et surveillent leur poids.
 
Alice pèse $65$~kg pour une taille de $1,66$~m. Bob mesure $1,80$~m et son poids est de $85$~kg.

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 1 : État initial}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Alice pense ne pas être de corpulence normale : elle se trouve trop grosse.
 
Qu'en pensez-vous? Justifier votre réponse. 
\item  Bob est-il de corpulence normale ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 2 : Le régime d'Alice}

\medskip
 
Alice souhaite faire baisser son IMC à 20. À partir du 1\up{er} juin elle surveille son alimentation et pratique une activité physique quotidienne. Elle se pèse presque tous les soirs et suit l'évolution de son poids sur un graphique. Celui-ci est représenté en annexe 1.
 
On peut y lire que le soir du 31 mai elle pèse $65$~kg et que le soir du 1\up{er} juin elle pèse $65,2$~kg. Le poids maximum, sur la période considérée, est atteint le 2 juin.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel poids souhaite atteindre Alice? (On donnera la réponse à $0,1$kg près.) 
\item A-t-elle atteint son objectif au bout d'un mois ? 
\item Quel a été le poids minimum relevé par Alice au cours du mois de juin ? (On donnera la réponse à $0,1$~kg près.) 
\item Alice ne s'est pas pesée le 15 juin.
 
Par interpolation linéaire, estimer son poids à cette date avec la précision permise par le graphique de l'\textbf{annexe 1}. Laisser apparents sur le graphique les traits de construction justifiant votre réponse. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 3 : Le régime de Bob}

\medskip
 
Bob fait appel à un nutritionniste, son objectif est de perdre au moins 5 kilos. Celui-ci lui préconise un régime alimentaire et une activité physique adaptés pour une période de six semaines.
 
Bob décide de commencer régime et activités physiques le lundi 31 mai. Ce matin-là, il pèse toujours $85$kg puis il se pèse alors chaque matin.
 
Il consigne tout cela dans une feuille de tableur donnée en annexe 2.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Choisir parmi les formules ci-après toutes celles qui, écrites en cellule D6, permettent de calculer, par recopie vers le bas, l'IMC de Bob durant son régime :
 
(\emph{$+ 0,5$ point par réponse exacte, $- 0,25$ point par réponse fausse, minimum $0$}.)

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}} 
\fbox{$\text{C}6/\text{E}3\verb+^+2$}& 
\fbox{$\text{C}6/\$\text{E}\$3\verb+^+2$}&
\fbox{$(\text{C}6/\text{E}3)\verb+^+2$}& 
\fbox{$(\text{C}6/\$\text{E}\$3)\verb+^+2$}& 
\fbox{$\text{C}6/1,8\verb+^+2$}\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Le premier jour, Bob perd $200$~grammes. Il se dit alors qu'il va perdre $200$~grammes chaque jour.
 
Quel serait alors son poids $5$~jours après le début de son régime ? 

Quel serait son poids six semaines après le début de son régime ? 
\item D'après le nutritionniste, en suivant ses recommandations pendant deux mois, Bob devrait perdre chaque jour $0,2$\,\% de son poids de la veille.
 
Pour $n$ entier positif, on note $b_{n}$ le poids (en kg) que devrait ainsi atteindre Bob au bout de $n$ jours de régime.
 
On pose $b_{0} = 85$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel devrait être alors le poids $b_{1}$, de Bob le 1\up{er} juin ?
		 
Cela correspond-il, à $100$~grammes près, au poids réel de Bob ce jour-là ? 
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(b_{n}\right)$ ? Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Donner une formule qui, placée en cellule E7, permet de calculer les termes de la suite $\left(b_{n}\right)$ par recopie vers le bas. 
		\item Que devient en cellule E9 la formule choisie précédemment ? Vérifier la cohérence de la formule proposée avec la valeur $84,491$ contenue dans la cellule E9.
	\end{enumerate} 
\item Au bout de six semaines : 
	\begin{enumerate}
		\item L'objectif de Bob est-il atteint ? 
		\item Les prévisions du spécialiste sont-elles vérifiées? 
Expliquer votre réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} Variations des prix de l'immobilier\hfill 8 points}

\medskip

\textbf{PARTIE 1 : Variations régionales}

\medskip
 
La série de l'annexe 3, donne le prix moyen au m$^2$ d'un appartement ancien (de plus de 5 ans) dans les différentes régions de France métropolitaine, hormis l'Île de France.
 
Ainsi, en Languedoc-Roussillon, le prix moyen d'un appartement ancien de $100$ m$^2$ est de \np{228000}~\euro.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur médiane de cette série de prix moyens au m2. 
		\item On sait que le premier quartile est $Q_{1} = \np{1750}$ et le troisième quartile est $Q_{3} = \np{2270}$.
		 
Calculer l'écart interquartile, noté $EQ$.
	\end{enumerate} 
\item Nous dirons d'une valeur de cette série statistique qu'elle est \og aberrante\fg si elle est inférieure ou égale à $Q_{1} - 1,5 EQ$ ou supérieure ou égale à $Q_{3} + 1, 5 EQ$. 

Citer toutes les régions de cette liste qui ont un prix moyen au m$^2$ considéré comme \og aberrant\fg{} selon la définition ci-dessus. Justifier votre réponse. 
\item Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? Justifier. 
\og Dans plus de la moitié des régions françaises étudiées, le prix moyen au m$^2$ d'un appartement ancien est inférieur à \np{2150}~euros. \fg 
\og Au moins 25\,\% des régions françaises étudiées ont un prix moyen au m$^2$ d'un appartement supérieur \`a \np{2300}~euros. \fg 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE 2 : Variations topographiques}

\medskip
 
VILLEBELLE est une ville universitaire et le prix des loyers est élevé. On trouve des loyers plus modérés à VILLEHAUTE en périphérie de VILLEBELLE.
 
VILLEHAUTE est un petit village situé à \np{1300}~m d'altitude, à $12$~km de VILLEBELLE à vol d'oiseau.
 
Parmi les points A, B, C, D, E de l'\textbf{annexe 4}, lequel peut représenter l'emplacement de VILLEHAUTE ? Expliquer votre choix. 

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie}

\vspace{3cm}

\psset{xunit=0.3cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(35,10) 
\rput(16.5,9.5){Annexe 1 : Graphique obtenu par Alice} 
\rput{90}(-4,8.5){Poids en kg} 
\rput(16.5,-0.9){Durée de mon régime en jours} 
\multido{\n=0+1}{36}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,9)} 
\multido{\n=0.0+0.2}{46}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(35,\n)}
\psaxes[linewidth=0.2pt,Oy=57,Dx=5](0,0)(35,9)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.3](0,8)(1,8.2)(2,8.5)(3,8.5)(4,8.1)(6,7.3)(7,6.8)(8,6.7)(9,7)(10,6.7)(13,6)(14,6)(17,5.4)(18,5)(19,4.7)(20,4.3)(24,2.5)(27,0.9)(28,0.6)(29,0.7)(30,1)(30,8)
\rput(33,8){Série 1}
\end{pspicture}
\newpage

\textbf{ANNEXE 2}

\vspace{0,5cm} 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E\\ \hline 
1& \multicolumn{5}{l|}{L'histoire de mon régime :}\\ \hline 
2&\multicolumn{5}{l|}{Date de départ : lundi 31 mai}\\ \hline  
3&\multicolumn{2}{l|}{Poids de départ en kilos =}& 85 &Taille en mètres = &
1,8\\ \hline 
4&&&&&\\ \hline 
5&&\textbf{Nombre de jours} &\textbf{Mon poids} &\textbf{Mon IMC} &\textbf{Prévisions :}\boldmath $b_{n}$ \unboldmath\\ \hline 
6 &31-mai 	&0 	&85,000	&&  85,000\\ \hline 
7 &01-juin 	&1 	&84,800 &&\\ \hline
8 &02-juin 	&2 	&84,500 &&  84,660\\ \hline 
9 &03-juin 	&3 	&84,300	&&  84,491\\ \hline 
10 &04-juin &4 	&84,100	&&  84,322\\ \hline 
11 &05-juin &5 	&84,000	&&  84,153\\ \hline 
12 &06-juin &6 	&83,800	&&  83,985\\ \hline 
13 &07-juin &7 	&83,700	&&  83,817\\ \hline 
14 &08-juin &8 	&83,700	&&  83,649\\ \hline 
15 &09-juin &9 	&83,600	&&  83,482\\ \hline 
16 &1O-juin &10 &83,300	&&  83,315\\ \hline 
17 &11-juin &11 &83,200	&&  83,149\\ \hline 
18 &12-juin &12 &83,100	&&  82,982\\ \hline 
19 &13-juin &13 &83,000	&&  82,816\\ \hline 
20 &14-juin &14 &82,600	&& 	82,651\\ \hline 
21 &15-juin &15 &82,300	&& 	82,485\\ \hline 
22 &16-juin &16 &81,900	&& 	82,320\\ \hline 
23 &17-juin &17 &81,700	&& 	82,156\\ \hline 
24 &18-juin &18 &81,500	&& 	81,991\\ \hline 
25 &19-juin &19 &81,600	&& 	81,827\\ \hline 
26 &20-juin &20 &81,600	&& 	81,664\\ \hline 
27 &21-juin &21 &81,800	&& 	81,501\\ \hline 
28 &22-juin &22 &81,700	&& 	81,338\\ \hline 
29 &23-juin &23 &81,600	&& 	81,175\\ \hline 
30 &24-juin &24 &81,400	&& 	81,012\\ \hline 
31 &25-juin &25 &81,200	&& 	80,850\\ \hline 
32 &26-juin &26 &80,900 &&	80,689\\ \hline 
33 &27-juin &27 &80,900 &&	80,527\\ \hline 
34 &28-juin &28 &80,800 &&	80,366\\ \hline 
35 &29-juin &29 &80,700 &&	80,206\\ \hline 
36 &30-juin &30 &80,500 && 	80,045\\ \hline 
37 &01-juil &31 &80,000 &&	79,885\\ \hline 
38 &02-juil &32 &79,900 && 	79,725\\ \hline 
39 &03-juil &33 &79,800 && 	79,566\\ \hline 
40 &04-juil &34 &79,600 && 	79,407\\ \hline 
41 &05-juil &35 &79,400 && 	79,248\\ \hline 
42 &06-juil &36 &79,400 && 	79,089\\ \hline 
43 &07-juil &37 &79,600 && 	78,931\\ \hline 
44 &08-juil &38 &79,300 && 	78,773\\ \hline 
45 &09-juil &39 &79,200 && 	78,616\\ \hline 
46 &10-juil &40 &79,000 && 	78,459\\ \hline 
47 &11-juil &41 &79,300 && 	78,302\\ \hline 
48 &12-juil &42 &79,000 && 	78,145\\ \hline 
\end{tabularx}

\newpage
\textbf{ANNEXE 3}

\vspace{0,5cm}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
	&Régions					& Prix moyen au m$^2$ d'un appartement ancien\\ \hline 
1 	&Alsace 					&\np{1900}~\euro\\ \hline
2 	&Aquitaine 					&\np{2460}~\euro\\ \hline 
3 	&Auvergne 					&\np{1450}~\euro\\ \hline
4 	&Basse Normandie 			&\np{2270}~\euro\\ \hline
5 	&Bourgogne 					&\np{1750}~\euro\\ \hline
6 	&Bretagne 					&\np{1900}~\euro\\ \hline 
7 	&Centre 					&\np{1800}~\euro\\ \hline 
8 	&Champagne-Ardennes 		&\np{1750}~\euro\\ \hline 
9 	&Corse 						&\np{2200}~\euro\\ \hline 
10 	&Franche-Comté 				&\np{1530}~\euro\\ \hline
11 	&Haute-Normandie 			&\np{1960}~\euro\\ \hline
12 	&Languedoc-Roussillon 		&\np{2280}~\euro\\ \hline 
13 	&Limousin 					&\np{1370}~\euro\\ \hline 
14 	&Lorraine 					&\np{1500}~\euro\\ \hline 
15 	&Midi -Pyrénées 			&\np{2090}~\euro\\ \hline
16 	&Nord-Pas-de-Calais			&\np{2190}~\euro\\ \hline 
17 	&Pays de la Loire 			&\np{2180}~\euro\\ \hline 
18 	&Picardie 					&\np{2120}~\euro\\ \hline 
19 	&Poitou-Charentes 			&\np{2270}~\euro\\ \hline 
20 	&Provence-Alpes-Côte d'Azur &\np{3410}~\euro\\ \hline 
21 	&Rhône-Alpes 				&\np{2430}~\euro\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{ANNEXE 4}

\vspace{0,5cm} 

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11.2,9.2)
%\psgrid
\pscurve(1.7,9.2)(2,9)(3,8.7)(3.9,9.1)
\pscurve(0.4,9.2)(1,8)(2,7.4)(3,7.3)(4,7.35)(5,8)(5.5,9)
\pscurve(0,9.2)(1,6.7)(2,6)(3,5.85)(4,5.8)(5,6.6)(6,9)
\pscurve(0.4,0.2)(1,2)(2,3.85)(3,4.4)(4,4.45)(5,4.7)(6,6)(7,9)
\pscurve(0.8,0.2)(1,0.9)(2,2.5)(3,3)(4,3.05)(5,3.35)(6,4.7)(7,8)(7.3,9)
\pscurve(1.9,0.2)(2,0.4)(3,1.45)(4,1.65)(5,1.7)(6,2.5)(7,4.8)(8,8.6)(8.1,9)
\pscurve(5.9,0.1)(7,3)(8,7.6)(8.2,9)
\pscurve(6.2,0.1)(7,2.6)(8,6.7)(8.5,9)
\pscurve(7.2,0)(8,2.4)(9,5.2)(10.3,7)(11,6)(11.2,5)
\pscurve(8,0)(9,2.5)(10.1,4.1)(11.2,2.2)
\rput(2.8,8.6){\np{1500}~m}
\rput(4,1.4){\np{1000}~m}
\rput(10,3.8){600~m}
\rput(10,0.2){VilleBelle}
\psline[linewidth=2pt](0,3.5)(1.4,3.5)
\uput[u](0.7,3.5){2~km}
\psdots[dotstyle=+](1.1,4.1)(3.8,5.95)(2,6)(3.1,7.4)(2.85,5.05)
\uput[ur](1.1,4.1){A} \uput[ur](3.8,5.95){B} \uput[ur](2,6){C} \uput[ur](3.1,7.4){D} \uput[ur](2.85,5.05){E} 
\end{pspicture} 
\end{document}