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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat anticipé Mathématiques-informatique }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Mathématiques-informatique
 Métropole~\decofourright  \\septembre 2012}}

L'annexe  est à rendre avec la copie d'examen
 
Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Une course a été organisée en montagne. On a compté cinquante participants. Le tableau ci-dessous donne la répartition des temps (arrondis à la minute) obtenus par l'ensemble des coureurs.

\bigskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Temps en minutes&20 &21 &22 &23 &24 &25 &26 &27 &28 &29 &30\\ \hline 
Effectifs 		&3 &7 &10 &9 &12 &3 &2 &1 &0 &1 &2\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip
 
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le pourcentage de coureurs ayant réalisé un temps compris entre $21$~min (inclus) et $23$~min (inclus) ? 
\item On s'intéresse ici à la série statistique des temps obtenus par l'ensemble des coureurs. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le minimum de cette série ? Quel est son maximum ? 
		\item Calculer la moyenne de cette série. 
		\item Déterminer la médiane de cette série. 
		\item Déterminer les premier et troisième quartiles de cette série. 
		\item Tracer le diagramme en boîte de cette série sur une feuille de papier millimétré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
On suppose que chaque coureur est muni d'une fiche sur laquelle apparaissent les informations suivantes :

\begin{itemize}
\item son sexe (homme ou femme), représenté par l'une des lettres H ou F. 
\item sa catégorie (junior, senior ou vétéran), représentée par l'une des lettres J, S et V. 
\item son niveau (amateur ou professionnel), représenté par l'une des lettres A ou P.
\end{itemize}

\medskip
 
Par exemple, la fiche de Bernard qui est un vétéran amateur possède les inscriptions H-V-A. Cela constitue un type de fiche.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre représentant tous les types de fiches possibles. 
\item Combien de types de fiches existe-t-il ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

Une personne souhaitant acheter une voiture s'engage dans un prêt bancaire. Elle emprunte pour cela au premier mars 2011 un capital C de \np{10000}~euros auprès de sa banque. Le tableau ci-dessous permet de visualiser le capital restant dû par cette personne au début de chaque mois; il tient compte à la fois de la somme empruntée (ici, \np{10000}~euros), de la mensualité et du taux d'emprunt bancaire. Un tel tableau s'appelle un tableau de remboursement. Nous n'avons représenté ici que les sommes restant dues jusqu'au premier juillet 2011. 

Toutes les sommes sont exprimées en euros et arrondies au centime le plus proche.


\medskip
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Dates &Capital restant dû (en euros)\\ \hline 
1 mars 2011 &\np{10000}\\ \hline 
1 avril 2011 &\np{9700}\\ \hline 
1 mai 2011 &\np{9397}\\ \hline 
1 juin 2011 &\np{9090,97}\\ \hline 
1 juillet 2011 &\np{8781,88}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Ainsi, au premier mars 2011, l'emprunteur doit la somme de \np{10000}~euros: c'est celle qu'il a empruntée.
 
Au premier avril 2011, après un premier versement, il lui reste à payer \np{9700}~euros pour rembourser totalement son crédit. Au premier mai 2011, cette somme n'est plus que de \np{9397}~euros, et ainsi de suite.

\medskip
 
Le but de cet exercice est d'étudier la suite des capitaux restant dus au cours du temps. Pour cela, nous notons $u_{n}$ le capital restant dû au mois $n$, avec pour convention que le mois de mars 2011 est le mois $0$. Avec cette convention d'écriture, nous avons donc :
 
$u_{0} = \np{10000}, \: u_{1} = \np{9700}, \: u_{2} = \np{9397}$,  
etc.

\medskip
 
\textbf{Dans tout cet exercice, les résultats des calculs seront arrondis au centième.} 

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Dans cette partie, nous évaluons la pertinence de modéliser la suite $\left(u_{n}\right)$ par une suite arithmétique.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans le tableau 1 fourni dans l'annexe 1,  quelle formule faut-il saisir dans la cellule D3 pour obtenir par recopie vers le bas tous les termes jusqu'à la cellule D6 ? 
\item Compléter les cellules D3 à D6 de ce tableau. (arrondir à $0,01$ près) 
\item La suite semble-t-elle arithmétique? Justifiez votre réponse. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip
 
Nous envisageons maintenant une modélisation géométrique de la suite 
$\left(u_{n}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans le tableau 1 fourni dans l'annexe 1, quelle formule faut-il saisir dans la cellule E3 pour obtenir par recopie vers le bas tous les termes jusqu'à la cellule E6 ? 
\item Compléter les cellules E3 à E6 de ce tableau (arrondir à $0,01$~près). 
\item Quel type de progression la suite $\left(u_{n}\right)$ semble-t-elle suivre ? Justifiez votre réponse. 
\item On note $\left(v_{n}\right)$ la suite géométrique de raison $0,97$ et de premier terme \np{10000}.

Dans le tableau 1 de l'annexe 1, quelle formule faut-il saisir dans la cellule F3 pour obtenir par recopie vers le bas tous les termes jusqu'à la cellule F14 ? 
Compléter dans ce tableau les cellules F4 à F6. 
\item Pour $n$ entier naturel, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Au premier mars 2012, le capital restant dû s'élèvera à \np{6195,25}~euros. La modélisation géométrique de la suite $\left(u_{n}\right)$ vous parait-elle convenir ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip
 
Dans cette dernière partie de l'exercice 1, nous envisageons un autre modèle, dit arithmético-géométrique.
 
Pour $n$ entier naturel, on pose $w_{n} = u_{n} - \np{40000}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle formule faut-il écrire dans la cellule D2 du tableau 2 de l'annexe 2, pour obtenir par recopie vers le bas tous les termes de la cellule D2 jusqu'à la cellule D6? 
\item Compléter dans ce tableau les cellules D3 à D6. 
\item Compléter dans ce tableau les cellules E3 à E6 (on arrondira à $0,01$ près). 
\item Quelle conjecture peut-on émettre sur la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Donner des arguments appuyant cette conjecture. 
\item On suppose que la suite $\left(w_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 1,01. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour $n$ entier naturel, exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Pour $n$ entier naturel, déduire de l'égalité $w_{n} = u_{n} - \np{40000}$ et de la question précédente l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Quand le prêt arrivera-t-il à échéance ? Combien de mensualités aura versé l'emprunteur ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexes 1 et 2 - À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
A &B &C &D &E &F\\ \hline 
1 &$n$ Indice du mois &$u_{n}$&$u_{n} - u_{n - 1}$&$\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}$&$v_{n}$\\ \hline 
2 &0 &\np{10000}&&& \np{10000}\\ \hline 
3 &1 &\np{9700} &$- 300$ &0,97 &\np{9700}\\ \hline  
4 &2 &\np{9397}&&&\\ \hline  
5 &3 &\np{9090,97}&&&\\ \hline  
6 &4 &\np{8781,88}&&&\\ \hline  
7 &5&&&&\\ \hline  
8 &6&&&&\\ \hline  
9 &7&&&&\\ \hline  
10 &8&&&&\\ \hline  
11 &9&&&&\\ \hline  
12 &10&&&&\\ \hline 
13 &11&&&&\\ \hline 
14 &12 &\np{6195,25}&&&\\ \hline
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Tableau 1}}\\  
\end{tabularx}


\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
A &B &C &D &E \\ \hline 
1 &$n$ Indice du mois &$u_{n}$&\small $w_{n} = u_{n} - \np{4000}$&$\dfrac{w_{n}}{w_{n-1}}$\\ \hline 
2 &0 &\np{10000}&$- \np{30000}$&\\ \hline 
3 &1 &\np{9700} &&\\ \hline  
4 &2 &\np{9397}&&\\ \hline  
5 &3 &\np{9090,97}&&\\ \hline  
6 &4 &\np{8781,88}&&\\ \hline  
7 &5&&&\\ \hline  
8 &6&&&\\ \hline  
9 &7&&&\\ \hline  
10 &8&&&\\ \hline  
11 &9&&&\\ \hline  
12 &10&&&\\ \hline 
13 &11&&&\\ \hline 
14 &12 &\np{6195,25}&&\\ \hline
\multicolumn{5}{c}{\textbf{Tableau 2}}  
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{document}