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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT A.C.A.-A.C.C.}
\lfoot{\small{Polynésie }}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Polynésie~\decofourright\\ juin 2006}} 
    
\vspace{0,5cm}

Coefficient 2  \hfill Durée 2 heures

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

Le formulaire officiel est autorisé.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\medskip

Dans un lycée de \nombre{1200} élèves, chaque élève étudie, comme première langue, l'allemand, l'anglais ou l'espagnol. Les élèves sont internes, externes ou demi-pensionnaires. La répartition de l'ensemble des élèves est la suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 15\,\% étudient l'allemand en première langue et, parmi ceux-là, le tiers est demi-pensionnaire ;
\item[$\bullet~$] 75\,\% étudient l'anglais en première langue et, parmi eux, 16\,\% sont internes;
\item[$\bullet~$] parmi les élèves étudiant l'espagnol en première langue, aucun n'est interne et 20 sont externes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
	&Nombre		&Nombre de	&Nombre 		&	Total\\
	&d'externes	&demi-pensionnaires	&	d'internes	& \\ \hline
ALLEMAND&	&						& \\ \hline
ANGLAIS		&216&					&						& \\ \hline
ESPAGNOL	&						&				&		& \\ \hline
Total		&300				    &				&		&\nombre{1200}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item  \textbf{Dans cette question et les suivantes, les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.}

On prend, au hasard, un élève parmi les \nombre{1200} élèves du lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d'être choisis. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]	A : \og l'élève est demi-pensionnaire \fg{} ;
\item[$\bullet~$]	B : \og l'élève apprend l'anglais comme première langue vivante \fg{} ;
\item[$\bullet~$]	C : \og l'élève apprend l'espagnol ou l'allemand comme première langue vivante  \fg{}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements A, B et C.
		\item Décrire, à l'aide d'une phrase, l'évènement A ~$\cap$~ B. Calculer la probabilité de cet évènement.
		\item Déduire des questions précédentes, la probabilité de l'évènement A ~$\cup$~ B.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard un élève parmi les externes. Calculer alors la probabilité pour que cet élève apprenne l'espagnol comme première langue vivante.
\item Sachant qu'un élève choisi apprend l'allemand comme première langue vivante, quelle est la probabilité pour qu'il soit externe ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points}

\medskip

Une entreprise fabrique et commercialise un produit. Sa capacité de production, sur un mois, lui permet de réaliser entre $0$ et $13$ tonnes de ce produit. On désigne par $x$ le nombre de tonnes de produit fabriqué par l'entreprise en un mois.

 Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par :
  
 \[C(x) = x^3-15x^2 + 75x.\]

Cette entreprise vend l'intégralité de ce qu'elle produit au prix de 36,75 milliers d'euros la tonne.

   La recette, pour $x$ tonnes produites, est notée $R(x)$, exprimée en milliers d'euros. On donne en annexe la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $C$ sur l'intervalle $[0~; ~13]$.\\
Unités graphiques : $1$~cm pour $1$~tonne en abscisse et $2$~cm pour $100$~milliers d'euros en ordonnée.

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la recette, en milliers d'euros, pour une production de 3 tonnes puis de 10 tonnes.
\item Donner l'expression de $R(x)$ en fonction de $x$ et représenter la fonction $R$ dans le repère donné en annexe. (Cette annexe est à rendre avec la copie)
\item Dans cette question, lea tracés nécessaires aux déterminations graphiques devront figurer sur le schéma.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement l'intervalle auquel doit appartenir $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice.
		\item Déterminer graphiquement un intervalle de longueur $1$ dans lequel se situe la valeur de $x$ permettant d'obtenir un bénéfice maximum.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Dans cette partie, on se propose de déterminer plus précisément cette valeur de $x$ permettant d'obtenir un bénéfice maximum (cf. question 3 b précédente).
\begin{enumerate}
\item  On désigne par $B(x)$ le bénéfice réalisé pour $x$ appartenant à l'intervalle [5~;~10].

Montrer que $B(x) =  -x^3+ 15x^2 - 38,25x$.
\item Calculer $B'(x)$ où $B'$ désigne la dérivée de la fonction $B$.

Montrer que $B'(x) = 3(x - 1,5)(8,5 - x).$
\item Préciser le signe de $B'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [5~;~10] et dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur cet intervalle.
\item Quelle est la valeur de $x$ qui assure un bénéfice maximum ? Quelle est alors la valeur de ce maximum en milliers d'euros ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE\\ À REMETTRE AVEC LA COPIE}

\bigskip
\textbf{Exercice 2 : représentation graphique} \boldmath $\mathcal{C}$\unboldmath

\bigskip

\psset{xunit=0.857cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(14,700)

\multido{\r=0+0.1}{141}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\r,0)(\r,700)}
\multido{\r=0+0.5}{28}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\r,0)(\r,700)}
\multido{\n=0+5}{141}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)}
\multido{\n=0+50}{15}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)}
\uput[d](14,0){$x$}\uput[d](14,-20){ en tonnes}\uput[d](1,0){1}
\uput[l](0,700){$y$}\uput[l](0,680){(en milliers} \uput[l](0,660){d'euros)} 
\uput[u](12,500){$\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{0}{13}{x 3 exp x 2 exp 15 mul sub 75 x mul add}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=100]{->}(0,0)(14,700)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 