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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat STT ACA -- ACC}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACA -- ACC Polynésie~\decofourright\\septembre 2006}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points}

\medskip

Le nombre d'objets produits et vendus chaque jour par une entreprise est noté $x$. Le bénéfice, en euros, qu'elle en retire est donné par la formule suivante :
 
\[- x^2 + 90x - \np{1400}.\]

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~100] par

$f(x) = -x^2 + 90x - \np{1400}.$

\medskip
	
\textbf{Partie A étude du bénéfice}

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Vérifier que $f(x) =  (x - 20)(70 - x)$.
\item	Résoudre l'inéquation : $f(x) > 0$ dans l'intervalle [0~;~100].
\item	En déduire la quantité d'objets à produire pour que l'entreprise réalise un bénéfice.
\item	Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$.
\item	étudier le signe de $f'(x)$ puis établir le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~ ;~100].
\item	 En déduire la quantité d'objets à produire pour obtenir un bénéfice maximum. Préciser la valeur du bénéfice correspondant.
\end{enumerate}
\bigskip
	
\textbf{Partie B : étude du coût total de production}

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Chaque objet est vendu 120 euros. On désigne par $R(x)$ la recette réalisée par la vente de $x$ objets. Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
\item	On appelle $C(x)$ le coût total de fabrication de $x$ objets. Vérifier que : 

$C(x) = x^2 + 30x + \np{1400}$.
\item	Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :
	
\medskip
	
{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & 0	&10	&20	&30	&40&50&60&70&80	&90	&100\\ \hline
$C(x)$	&\np{1400}&\np{1800}&\np{2400}&	&	&	&	&\np{8400}&\np{10200}&\np{12200}	&\np{14400}\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

\item Sur un graphique, tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $C$. (Prendre 1~cm pour 10~unités sur l'axe des abscisses et 1~ cm pour \np{1000}~unités sur l'axe des ordonnées.)

Tracer également la droite $\Delta_{120}$ représentative de la recette $R$.
\item Indiquer sur le graphique la quantité d'objets à produire pour que l'entreprise réalise un bénéfice (on fera apparaître les traits de construction nécessaires à la lecture).
\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{Partie C : Détermination du prix minimum de vente de chaque objet}

\medskip

On rappelle que le coût total de fabrication de $x$ objets est donné par : 

$C(x) = x^2 + 30x + 1\,400$. L'entrepreneur cherche à diminuer le prix de vente de chaque objet, initialement fixé à 120~euros.
\begin{enumerate}
\item On suppose que l'entrepreneur baisse ce prix à 80~euros.
	\begin{enumerate}
		\item	Quelle est alors l'équation de la droite, nommée $\Delta_{80}$, correspondant à la recette de $x$ objets vendus ?
		\item	Construire cette droite sur le même graphique que celui de la Partie B question 4.
		\item 	Dans ces conditions, l'entrepreneur peut-il espérer réaliser un bénéfice ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Delta_{\text{min}}$ la droite qui permet d'obtenir le prix de vente unitaire minimal sans que l'entreprise soit déficitaire.

Construire $\Delta_{\text{min}}$ sur le graphique précédent.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

Le 01/01/2006, un nouvel employé dans une entreprise se voit proposer deux formules pour l'évolution de son salaire mensuel : dans la formule A il est augmenté tous les ans, au 1\up{er} janvier, de 20~euros ; dans la formule B, il est augmenté tous les ans, au 1\up{er} janvier, de 1,5\,\%.

Son salaire mensuel initial durant l'année 2006 est de \np{1200} euros. On note $u_{n}$ (resp. $v_{n}$) le salaire annuel selon la formule A (resp. B) durant l'année $2006 + n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Expliquer pourquoi, en 2006, on a : $u_{0} = v_{0} = \np{14400}$.
\item	Expliquer pourquoi, en 2007, on a : $u_{1} = \np{14640}~;~ v_{1} = \np{14616}$.
\item	Donner, en justifiant la réponse, la nature des deux suites étudiées. Préciser la raison pour chacune de ces deux suites.
\item	Exprimer $u_{n}$ et $v_{n}$, en fonction de $n$.
\item	Calculer et comparer les deux formules en 2016 puis en 2026. (Arrondir les résultats au centime d'euro).
\item	Cet employé partira à la retraite, au bout de 42 années complètes de travail dans cette entreprise. Il décide de calculer combien il aurait gagné d'argent dans toute sa carrière.

On appelle $S_{n}$ et $T_{n}$ les sommes des termes des deux suites étudiées, définies par :

\[S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad  \text{et} \quad  T_{n} = v_{0} + v_{1}  + \cdots  + v_{n}.\]

Calculer combien l'employé aurait gagné dans toute sa carrière selon chacune des formules A et B.
\end{enumerate}
\end{document}