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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Métropole -- La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACA-ACC Métropole--La Réunion  \decofourright\\septembre 2004}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Un opérateur de radiotéléphonie est amené chaque année à réaliser des investissements considérables pour améliorer et étendre son réseau. Le tableau suivant donne les investissements réalisés par cet opérateur de 1998 à 2002, ainsi que le nombre d'abonnés obtenu :

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
ANNÉES 									&	1998 	&1999 	&2000 	&2001 	&2002\\ \hline
Investissement $x_{i}$ en milliards d'euros 	&  	1		&1,1		&1,2		&1,3 	&1,4\\ \hline
Nombre d'abonnés $y_{i}$ en milliers 		&  90		& 100 	& 105 	& 110 	&	112 \\ \hline 
\end{tabularx}\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points $M_{i}(x_{i}~ ;~ y_{i}$) dans un repère orthogonal d'unités graphiques 2 cm pour 0,1 milliard d'euros en abscisses, et 5 cm pour 10 milliers d'abonnés en ordonnées. On commencera la graduation de l'axe des abscisses à 1 et celle des ordonnées à 80.
\item Madame Armand propose d'ajuster le nuage par la droite d' d'équation \\$y = 50x + 45$. Vérifier que cette droite passe par les points A(1,1 ; 100) et B (1,3~;~110).
\item Madame Pons propose d'ajuster le nuage par la courbe représentative $\cal{C}$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1 ; 1,6] par $f(x) = a - \dfrac{b}{x}$.
	\begin{enumerate} 
		\item	Sachant que cette courbe passe par les points A et B, montrer que $a = 165$ et que $b =71,5$.
		\item Compléter, après l'avoir recopié sur votre copie, le tableau suivant (arrondir les valeurs $f(x)$ à l'unité).

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1	&1,1	&1,2	&1,3	&1,4	&1,5	&1,6\\ \hline
$f(x)$ 	&  	& 100 	&  		&   	&   	&   	&  \\ \hline
\end{tabularx}\]

Tracer la courbe $\cal{C}$ sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item En 2003, l'opérateur a augmenté ses investissements de 0,2 milliards d'euros. Le nombre
d'abonnés observé a été de \np{118000}.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer l'estimation du nombre d'abonnés en 2003 avec chacun des modèles proposés par Madame Armand et Madame Pons.
		\item En considérant la valeur effectivement observée en 2003, quel modèle vous paraît le plus approprié ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

Les trois parties A, B et C sont indépendantes

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une boîte de petits fours contient 50 gâteaux qui sont chocolatés ou meringués ; par
ailleurs ils sont soit de forme carrée, soit de forme ronde. Dans cette boîte, il y a $30\:\%$ de petits fours chocolatés, et parmi ceux-ci, 10 petits fours sont carrés. De plus $60\:\%$ des gâteaux de la boîte sont ronds.

\begin{enumerate} 
\item	Compléter le tableau suivant, après l'avoir recopié sur votre copie. On ne demandera pas de justifier les calculs.

\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	&	Petits fours	& 	Petits fours &	TOTAL\\ 
\multicolumn{1}{c|}{}	&	ronds		&	carrés  	& \\ \hline
Petits fours 				&  				&  				&  \\
chocolatés 				&   			&   			&  \\ \hline
Petits fours 				&  				& 				&  \\
meringués 				&   			&   			&  \\ \hline
TOTAL					&  				&  				& 	50\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

à l'occasion d'un goûter, un enfant choisit au hasard un petit four de la boîte. Chaque
petit four a la même probabilité d'être choisi.

\item Calculer la probabilité des évènements suivants :

A : \og L'enfant a choisi un petit four carré \fg{}.

B : \og L'enfant a choisi un petit four meringué \fg{}.
 
C : \og L'enfant a choisi un petit four carré et meringué \fg{}. 
  
D :  \og L'enfant a choisi un petit four carré ou meringué \fg{}.
\item L'enfant a choisi un petit four rond. Chaque petit four rond a la même probabilité
d'être choisi. Quelle est alors la probabilité que ce petit four soit chocolaté ? On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}


Une entreprise fabrique et vend ce type de boîtes de petits fours. Le prix de vente d'une centaine de boîtes de petits fours est fixé à 450 euros. La production mensuelle varie de 20 à 150 centaines de boîtes.

\begin{enumerate} 
\item	On note $R(x)$ la recette en euros, obtenue pour la vente de $x$ centaines de boîtes de petits fours (où $R$ est une fonction définie sur [20~;~150]). Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
\item Le coût total de production de $x$ centaines de boîtes de petits fours est donné en euros par la fonction $C$ définie par $C(x) = 6 x^2 - 246x + 5\:184,~ x$ étant un réel de l'intervalle [20 ; 150].

On donne, en annexe  1 \textbf{à joindre à la copie}, les courbes $\cal{C}_{1}$ et $\cal{C}_{2}$.
	\begin{enumerate} 
		\item	Préciser à l'aide  de l'annexe 1 la courbe représentant la fonction $R$ et la courbe représentant la fonction $C$.
		\item Déterminer graphiquement les valeurs de $x$ pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéfice (justifier la réponse en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles).
		\item Déterminer graphiquement le bénéfice maximal que peut réaliser l'entreprise et la valeur de $x$ correspondante (justifier la réponse en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item	Montrer que le bénéfice en euros, réalisé par l'entreprise est donné pour la fonction $B$ définie par :

\[B(x)= - 6x^2 + 696x - \np{5184}.\]

		\item Déterminer la fonction dérivée $B'$ de la fonction $B$ sur l'intervalle [20 ; 150]
étudier son signe. Établir le tableau de variations de la fonction $B$.
		\item En déduire la valeur de $x$ pour laquelle le bénéfice est maximal, ainsi que ce bénéfice maximal. Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux de la question \textbf{2. c} ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{Partie C}

\medskip
En décembre 2003, l'entreprise a réalisé un bénéfice de \np{15000} euros sur la vente de ces boîtes de petits fours. Elle décide, pour aider une association s'occupant d'enfants handicapés, de placer cette somme, à intérêts composés, pendant deux ans à compter du $1\up{er}$ janvier 2004, au taux mensuel de $0,4\:\%$.

Quel sera le montant disponible pour l'association au terme de. la période de deux ans, c'est à dire au $1\up{er}$ janvier 2006 ? Justifier votre réponse.

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1 ( à rendre avec la copie)}
\psset{xunit=0.12cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-9,-5)(155,125)
\multido{\n=0+5}{31}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,125)}
\multido{\n=0+5}{26}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n )(150,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,ylabelFactor=\times 10^3,Dx=10,Dy=1000]{->}(0,0)(-9,-5)(155,125)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{20}{150}{6 x 2 exp mul 246 x mul sub 5184 add 1000 div}
\psline(20,9.4444)(150,67.2222)
\multido{\i=0+10000,\ia=0+10}{13}{\uput[l](0,\ia){$ \np{\i}$}}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](145,95){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[d](145,65){$\mathcal{C}_{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}