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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STT  A.C.C.-A.C.A.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT A.C.C.-A.C.A.~\decofourright\\ Métropole   juin 2004}} 

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points }

\medskip

Les parties \textbf{A} et \textbf{B} peuvent être traitées de manière indépendante.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau suivant donne le prix (exprimé en euros) d'une machine de 1999 à 2004.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année		& 1999	& 2000	& 2001	& 2002	& 2003	& 2004\\ \hline
Rang $x_i$	&	1 	&2 		& 3 	&	4 	& 5 	&  	6\\ \hline
Prix $y_i$	& \np{18300}& \np{18900}& \np{19800}& \np{20400}&	\np{21000}&  \np{21900}\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire, dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à cette série statistique. On prendra sur l'axe des abscisses 2~cm pour unité, sur l'axe des ordonnées 1~cm pour un millierd'euros et en commençant à graduer à partir de \np{10000}.

\item On choisit pour ajustement affine du nuage de points la droite D qui a pour équation $y = 700x + \np{17600}$.

	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite D dans le repère orthogonal.

		\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage.

		\item Montrer par le calcul que G appartient à la droite D et le placer sur le graphique.

	\end{enumerate}

\item Déterminer graphiquement, en faisant apparaître tous les tracés utiles, l'estimation du prix de la machine en 2005. Retrouver ce résultat par le calcul.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Monsieur Guillaume, artisan menuisier, désire acquérir la machine en
2005. Au $1\up{er}$ janvier 2001, il a placé la somme de \np{16000} euros, à intérêts composés au taux annuel de $6,75\:\%$. On note $u_n$ le capital, exprimé en euros, disponible au $1\up{er}$ janvier de l'année $2001 + n$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1,~ u_2$ et $u_3$ (arrondir à l'unité près).

\item Montrer qu'il ne disposera pas au $1\up{er}$ janvier 2005 de la 
somme nécessaire à l'acquisition de la machine si le prix de celle-ci est estimé à \np{22500} euros.

Quelle somme lui manquera-t-il ? (arrondir à $100$~euros près).

\item Déterminer la somme, exprimée en euros, qu'il aurait dû placer au
$1\up{er}$ janvier 2001 pour disposer du capital nécessaire à l'achat
 de la machine au $1\up{er}$ janvier 2005 (arrondir la somme à 10 euros près). 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 12 points }

\medskip

Les parties \textbf{A} et \textbf{B} peuvent être traitées de manière indépendante.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Une enquête a été réalisée auprès des consommateurs de yaourts
$250$~personnes ont été interrogées.

\begin{enumerate}
\item Parmi les personnes interrogées :

$\bullet~ 36\:\%$ achètent des yaourts à la ferme ;

$\bullet~$ trois dixièmes achètent des yaourts moins d'une fois par 
semaine ;

$\bullet~$ les trois cinquièmes de ceux qui achètent des yaourts moins d'une fois par semaine le font à l'hypermarché.

Aucun des clients n'achète à la fois à la ferme et à l'hypermarché.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous (aucune justification n'est demandée).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}c|}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Achètent une fois&Achètent moins&	Total\\
\multicolumn{1}{c|}{}&par semaine ou plus& d'une fois par semaine& \\ 
\hline
Achètent à la ferme&	60& & \\ \hline
Achètent à l'hypermarché & & & \\ \hline
Total & & & 	250 \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\textsl{Les probabilités demandées dans la question} \textbf{2} \textsl{ci-dessous seront données sous forme décimale.}

\item On choisit au hasard une personne parmi les $250$~acheteurs, toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies.

On considère les évènements :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item A : \og La personne choisie achète des yaourts moins d'une fois par 
semaine \fg,
\item B : \og La personne choisie achète des yaourts à l'hypermarché \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités $p$(A) et $p$(B).

		\item Calculer $p(\text{A} \cap \text{B})$, puis en déduire $p(\text{A} \cup \text{B})$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Monsieur Deschamps, agriculteur, fabrique des yaourts qu'il  commercialise sous la marque \og Yaourts Des Champs \fg. Il désire promouvoir ses  yaourts et fait distribuer des prospectus
 publicitaires dans les boîtes à  lettres.
 
Il estime, qu'après la distribution de $x$ milliers de prospectus, la 
probabilité qu'une personne prise au hasard dans la population connaisse les \og Yaourts Des Champs \fg{} s'exprime par la fonction $p$ définie par

\[p(x) = \dfrac{4x+ 1}{5x+ 5},\]

où $x$ appartient à l'intervalle [0~;~11].

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir au centième  près).

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0 	&1	& 2	& 3	& 4	& 8	& 9	&  11\\ \hline
$p(x)$ 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Vérifier, en détaillant les calculs, que pour tout $x \in  [0~;~11]$ :
	
\[p'(x) = \dfrac{15}{(5x+ 5)^2},\]

où $p'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $p$.

		\item Étudier le signe de $p(x)$ pour $x$ élément de [0~;~11]. En déduire  sur l'intervalle [0~;~11] le tableau de variations de $p$.

		\item Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}$ de $p$ dans un repère orthogonal.

On prendra 1~cm pour unité sur l'axe des abscisses et 20~cm pour unité 
sur l'axe des ordonnées.

	\end{enumerate}

\item Déterminer graphiquement, en faisant apparaître tous les tracés 
utiles, le nombre de prospectus qu'il faut distribuer pour que la probabilité qu'une personne connaisse les \og Yaourts Des Champs \fg{} soit égale à

	\begin{enumerate}
		\item 0,7	
		\item 0,75.    
	\end{enumerate}

En déduire le nombre de prospectus supplémentaires qu'il faut 
distribuer pour que la probabilité qu'une personne connaisse les \og Yaourts Des Champs \fg{} passe de $0,7$ à $0,75$.

\item Monsieur Deschamps décide de ne faire distribuer que \np{5000}~prospectus.

Compte tenu des résultats précédents, expliquer son choix.
\end{enumerate}
\end{document}