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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat  STT A.C.C.A.C.A.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2006}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT A.C.C. -- A.C.A.~\decofourright\\ Métropole  19 juin 2006}} 

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\medskip

Un distributeur d'accès à internet a mené une enquête auprès de ses abonnés pour étudier, en fonction de leur âge, la durée moyenne de connexion en fin de semaine.

On note $f$ la fonction représentant la durée moyenne de connexion (exprimée en minutes) en fonction de l'âge $x$ (exprimé en années). La courbe $\mathcal{C}$ donnée en annexe 1 est la représentation graphique de la fonction $f$.

\medskip

\textbf{Partie A : étude graphique}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 450$.
On fera apparaître les traits de construction pour justifier la réponse.
		\item Que signifie pour le distributeur d'accès à internet la réponse à la question 1 a ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \leqslant  180$. On ne demande pas de justification.
		\item Que signifie pour le distributeur d'accès à internet la réponse à la question 2 a ?
	\end{enumerate}
\item Quelle est la tranche d'âge des internautes qui se connectent au moins $6$ heures ?
On ne demande pas de justification.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction}\boldmath $f$\unboldmath

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [5 ; 75] par :

\[f(x) = 0,016x^3 -1,92x^2 + 57,6x + 50.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [5 ; 75], où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
		\item Vérifier, en développant et en détaillant les calculs, que: pour tout $x$ de l'intervalle [5~;~75], $f'(x) = 0,048(x - 20)(x - 60)$.
		\item Étudier le signe de  $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [5~;~75].
		\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [5~;~75].
	\end{enumerate}
\item En déduire :
	\begin{enumerate}
		\item la durée maximale de connexion (en heures et minutes) ainsi que l'âge des intemautes qui se connectent le plus longtemps.
		\item la durée minimale de connexion (en minutes) ainsi que l'âge des intemautes qui se connectent le moins longtemps.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points}

\medskip

Ce même distributeur d'accès à internet décide d'étudier l'évolution du nombre de ses abonnés de 1999 à 2005.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Il a relevé dans le tableau ci-dessous l'évolution du nombre de ses abonnés en milieu urbain.

 \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\text{Année}			&1999	&2000	&2001	&2002	&2003	&2004	&2005 \\  \hline
\text{Rang} $x_{i}$		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
\text{Nombre} $y_{i}$ \text{d'abonnés en millions}	&0,5	&3		&6		&8,4	&12,1	&15 	&18	\\  \hline
 \end{tabularx}\]
 
\begin{enumerate}
\item  Représenter le nuage de points $A_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal d'unités 1~cm pour une année en abscisse. On graduera l'axe jusqu'à 12,1~cm pour 1 million d'abonnés en ordonnée. On graduera l'axe jusqu'à 27.
\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer sur le graphique.
\item On choisit pour ajustement affine du nuage la droite D passant par G et de coefficient directeur égal à 3. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que D a pour équation : $y = 3x -3$. 
		\item Construire la droite D sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item On suppose que le nombre d'abonnés évolue en suivant cet ajustement 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer par un calcul une estimation des abonnés en 2007 et vérifier la réponse graphiquement par un tracé en pointillés. 
		\item Déterminer par un calcul à partir de quelle année le nombre d'abonnés dépassera 32 millions.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Après une étude, le distributeur constate que le nombre d'abonnés en milieu rural correspond à une suite géométrique dont le premier terme, correspondant à l'année 1999, est $u_{1} = \np{9000}$ et la raison est $q = 1,8$ (on désigne par $u_{n}$ le nombre d'abonnés l'année de rang $n$).
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier qu'en 2000, le nombre d'abonnés est $u_{2} = \np{16200}$.
		\item Calculer $u_{3}$ et $u_{4}$. On arrondira à l'entier le plus proche, si nécessaire.
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$
	\end{enumerate}
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice à partir de quelle année le nombre d'abonnés dépassera 32 millions. On indiquera la méthode utilisée.
\item En utilisant la partie A et la partie B, déterminer dans quel milieu (rural ou urbain) les $32$~millions d'abonnés seront dépassés en premier.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.15cm,yunit=0.035cm}
\begin{pspicture}(80,600)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=60]{->}(0,0)(80,600)
\uput[d](75,-12){âge en années} \rput{90}(-7,540){durée en minutes}
\psplot[plotpoints=500,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{5}{75}{x 3 exp 0.016 mul 57.6 x mul add 50 add x 2 exp 1.92 mul sub}
\multido{\n=0+2}{41}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,600)}
\multido{\n=0+10}{61}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](0,\n)(80,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 