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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT ACA-ACC }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{3 avril 2006}}
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\begin{center} 
{\Large\textbf{\decofourleft~ Baccalauréat STT ACA--ACC  Pondichéry \decofourright\\ 3 avril 2006}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire \No 99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Le chiffre d'affaires d'une entreprise E, exprimé en millions d'euros, au cours des six dernières années est donné par le tableau suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&2000&	2001&2002&2003&2004&2005\\ \hline
Rang : $x_{i}$			&	1		&	2		&	3		&	4		&	5		&	6		\\ \hline
Chiffre d'affaires : $y_{i}$&	3,12	&	3,23&3,65	&	4,28&	4,54& 	4,76\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage des points $M_{i}\left(x_{i~}~;y_{i}\right)$ associé au tableau statistique précédent.

On choisira comme unités :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses $2$~cm pour une unité ;
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées $1$~cm pour \nombre{100000} euros en commençant la graduation à $3$~millions d'euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Le point moyen du nuage est noté G.

Calculer les coordonnées de G et placer ce point sur le graphique.
\item On prend la droite $\mathcal{D}$ d'équation :

\[y =0,4x + 2,53\]

comme droite d'ajustement du nuage.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le point G appartient à la droite $\mathcal{D}$.
\item Construire la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique.
\end{enumerate}	
\item Quelle estimation du chiffre d'affaires de cette entreprise peut-on donner pour les années 2006 et 2007 ?
\item Une entreprise F a le même chiffre d'affaires en 2000 que l'entreprise précédente E, mais ce chiffre d'affaires augmente de $9,1$\:\% chaque année.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le chiffre d'affaires de l'année $2000 + n$ est $u_{n} = 3,12 \times  1,091^n$.
		\item Calculer le chiffre d'affaires de l'entreprise F pour les années 2006 et 2007.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	
\vspace{0,5cm}
	
\textbf{\textsc{Problème} \hfill  12 points}

\medskip

Un artisan qui fabrique des petits meubles fait une étude sur une production comprise entre $0$ et $60$ objets. Le coût de production, en euros, de $x$ meubles fabriqués est donné par :

\[C(x) = x^2 + 50x + 900.\]

pour $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~60]$.
	
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $C(0)$. En déduire les frais fixes de l'artisan.
\item Quel est le coût de production de $30$~meubles ?
\item Quel est le coût de production par meuble, lorsque l'artisan fabrique $30$~meubles ?
\item Soit $f(x)$ le coût unitaire moyen pour $x$ meubles fabriqués. Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$, pour $x \neq  0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On étudie la fonction $f$ définie sur l'intervalle [7~;~60] par :

		\[f(x)= x + 50 + \dfrac{900}{x}.\]
		
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée de $f$.
		\item Justifier que $f'(x) = \dfrac{ (x - 30)(x + 30)}{x^2}$.
	\end{enumerate}
\item Étudier le signe de $f(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [7~;~60].
\item Compléter le tableau suivant :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&7	&10	&15	&20	&25	&30	&40	&45	&50	&60\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabularx}\]

\item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $1$~cm pour $5$~meubles en abscisses,
\item[$\bullet~$] $1$~cm pour $5$~euros en ordonnées en commençant la graduation à $100$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

Dans cette partie, la production est comprise entre $7$ et $60$ objets.
\begin{enumerate}
\item Quel nombre de meubles doit fabriquer l'artisan pour que le coût unitaire moyen soit minimal ? Indiquer ce coût.
\item Chaque meuble est vendu $115$~euros.
	\begin{enumerate}
		\item Construire la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 115$ sur le graphique précédent.
		\item Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
		\item En déduire l'intervalle de production pour lequel l'artisan réalise un bénéfice.
	\end{enumerate}
\item Exprimer, en fonction de $x$, la recette $R(x)$ produite par la vente de $x$ meubles.
\item En déduire l'expression en fonction de $x$ du bénéfice $B(x)$ réalisé par la vente des $x$ meubles (utiliser l'expression de $C(x)$ donnée dans la \textbf{Partie A}).
\item Calculer $B(20),~ B(45)$ et $B(30)$. Les résultats trouvés sont-ils en accord avec les conclusions de la question 2. c.  ?
\end{enumerate}
\end{document} 