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\begin{document}
% entte et bas de page
\lhead{\small Examen d'admission}%tapez un titre
\rhead{\small Facult\'e des Sciences appliqu\'ees}
\lfoot{\small{Belgique}}
\rfoot{\small  juillet 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\Large

\shadowbox{\textbf{\hspace{0.75cm}Examen d'admission \'Ecole polytechnique\hspace{0.75cm}
}}\\
Facult\'e de Sciences Appliqu\'ees Universit\'e libre de Bruxelles

\normalsize

\end{center}

\vspace{0.5cm}

\begin{enumerate}
\item 
 R\'esoudre dans IR l'\'equation
\[2^{4x+3} + 3\left(4^x\right) - 2^{-1} = 0.\]	
\bigskip
\hrule
\item
	\begin{enumerate}
		\item D\'eterminer les valeurs r\'eelles des param\`etres $a,~ b,~ c$ pour que le polyn\^ome
$P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + ax + c$
soit divisible par $1 - x^2$.
		\item Pour les valeurs des param\`etres trouv\'ees ci-dessus :
		\begin{enumerate}
			\item  d\'eterminer le quotient de la division du polyn\^ome $P$ par $1 - x$ ;
			\item factoriser $P$ au maximum dans $\R$
			\item factoriser $P$ au maximum dans $\C$ ; en d\'eduire les racines complexes de ce polyn\^ome et les repr\'esenter dans le plan de Gauss.
 		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	\bigskip
\hrule
\item Soit la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ d\'efinie par
\[f(x) = \sqrt{|x|}\text{e}^{-x^2}\]
et $\mathcal{C}$ la courbe d'\'equation $y = f(x)$ ($\mathcal{C}$ est le graphe de $f$).
	\begin{enumerate}
		\item  La fonction $f$ est-elle d\'erivable en $0$ ? Justifier (utiliser la d\'efinition de la d\'eriv\'ee).
		\item Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$.
		\item D\'eterminer une \'equation cart\'esienne de la tangente \`a $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.
		\item \'Etablir le tableau des variations de $f,~ f'$ et $f''$ contenant
	\begin{itemize}
		\item  les racines de $f,~ f'$ et $f''$ ;
		\item les signes de $f'(x)$ et de $f''(x)$ ;
		\item les extremums de $f$, les domaines de croissance et de d\'ecroissance de $f$ ;
		\item les points d'inflexion de $f$ et les domaines de concavit\'e vers le haut et vers le bas de $f$
	 \end{itemize}
		\item Tracer soigneusement la courbe $\mathcal{C}$ d'apr\`es les r\'esultats du d.
	\end{enumerate}	\bigskip
\hrule
\item Soient $f$ et $g$ les fonctions de $R$ dans $R$ d\'efinies par
\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^x}, \qquad  g(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}}.\]
On note
\[I = \int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x, \quad  J =\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x\]
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f(x) + g(x)$, en d\'eduire $I + J$ (sans calculer $I$ ni $J$).
		\item  Calculer $J$ et en d\'eduire $I$.
		\item D\'emontrer que pour tout $x \in \R^+ ~:~ f(x) \leqslant  g(x)$.
		\item Calculer l'aire du domaine 
		$D  = \{(x~;~ y) \in  \R^2|0 \leqslant x \leqslant 1,~ f(x) \leqslant y \leqslant g(x)\}$.
	\end{enumerate}
	\bigskip
	\hrule
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $n \in \N$. Calculer 
		\[\int_{0}^n  [x]\:\text{d}x\]
o\`u $[x]$ est le plus grand entier inf\'erieur ou \'egal \`a $x$.
		\item Soit $t \in \R^+$. Calculer
		\[\int_{0}^t  [x]\:\text{d}x\]
\textbf{Indication :} $[t] \leqslant t < [t] + 1$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  R\'esoudre dans $\R$ l'\'equation
\[8x^4 - 8x^2 + 1 = 0.\]
		\item R\'esoudre l'\'equation $\cos 4z = 0$.
		\item D\'eduire de a. et b. la valeur de $\cos \dfrac{\pi}{8}$  et $\cos \dfrac{3\pi}{8}$.
	\end{enumerate}
	
\item 	\\
\textbf{Partie I}\\
Dans le plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthonorm\'e d'origine O et d'axes $X$ et $Y$ , on donne les
points A(2 ; 0) et B(0 ; 1). Une droite mobile de coefficient angulaire $k$ coupe l'axe $X$ au point $P$ et l'axe $Y$ au point $Q$.
	\begin{enumerate}
		\item  d\'eterminer une \'equation cart\'esienne du lieu g\'eom\'etrique du point $M$ d'intersection
des droites A$Q$ et B$P$ ;
		\item discuter la nature de ce lieu g\'eom\'etrique en fonction de $k$ ;
		\item construire ce lieu pour $k = - 2$ (faire une figure en prenant comme unit\'e $2$~cm) ;
		\item construire ce lieu pour $k = 2$ (faire une figure en prenant comme unit\'e $2$~cm).
 	\end{enumerate}
	
\medskip
	
\noindent \textbf{Partie II} Dans l'espace rapport\'e \`a un rep\`ere orthonorm\'e d'origine O et d'axes $X,~ Y$ et $Z$, on donne
le point P(0 ; 3 ; 4).
	\begin{enumerate}
		\item  \'etablir des \'equations cart\'esiennes de la droite $d$ parall\`ele \`a O$X$, passant par $P$ ;
		\item \'etablir une \'equation cart\'esienne du plan contenant $d$ et l'axe O$X$ ;
		\item d\'eterminer les coordonn\'ees des sommets Q et R du carr\'e OPQR, sachant que Q est
sur $d$ et que son abscisse est positive ;
		\item \'etablir des \'equations param\'etriques de la perpendiculaire $p$ au plan du carr\'e passant
par le centre de celui-ci ;
		\item d\'eterminer les coordonn\'ees des points S et S$'$, sommets des pyramides droites dont
le carr\'e est la base et dont les hauteurs mesurent cinq unit\'es de longueur ;
		\item d\'eterminer le cosinus de l'angle aigu des ar\^etes SO et SP, une \'equation cart\'esienne
du plan OPS, la longueur de l'ar\^ete OS ainsi que le volume du poly\`edre de sommets
OPQRSS$'$.
 	\end{enumerate}
	
\medskip
	
\noindent \textbf{Partie III}
	\begin{enumerate}
		\item  D\'eterminer le barycentre de deux points distincts A et B de masses respectives $2$ et
$-1$.
		\item D\'eterminer le barycentre G de trois points non align\'es, A, B, C, affect\'es de masses
\'egales et le barycentre G$'$ de ces m\^emes points affect\'es de masses respectives $1,~ 1$ et $-1$.
		\item Soit $M$ un point quelconque du plan ABC.\\ Exprimer, en tenant compte des r\'esultats
du 2. les sommes vectorielles suivantes : $\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}$ et $\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}$.
		\item D\'eterminer le lieu des points $M$ tels que les sommes vectorielles consid\'er\'ees au 3.
soient des vecteurs orthogonaux.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}