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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat C}
\lfoot{\small{Aix--Marseille--Nice--Montpellier}}
\rfoot{\small{juin 1971}}
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\begin{center}{ \Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat C Aix--Montpellier juin 1971~\decofourright}}}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill}

\medskip

Rappeler sans d\'emonstration la limite de $\dfrac{\ln x}{x}$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.

En d\'eduire les limites quand $x$ tend vers $+ \infty$ de $x - n\ln x$ et de $\dfrac{x^n}{\text{e}^x}$ \, ($n$ d\'esignant un entier positif).

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill}

\medskip

Soit dans le plan un triangle équilatéral ABC. La bissectrice intérieure de $\widehat{\text{A}}$ recoupe le cercle circonscrit en D. On 
suppose que $\left(\vect{\text{AB}},\, \vect{\text{AC}}\right) = + \dfrac{\pi}{3}$.
 
Réduire à une transformation simple le produit

\[S_{\text{BD}} \circ S_{\text{DC}} \circ S_{\text{CA}} \circ S_{\text{AB}}.\] 

($S_{\text{XY}}$ désigne la symétrie d'axe XY.)

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Probl\`eme}  \hfill}

\medskip 

\textbf{N. B. - Les trois questions sont indépendantes}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
 
(P) désigne le plan \textbf{privé de l'origine}, O de ce repère.
 
(E) désigne l'ensemble des triplets (A, B, C) de trois points de (P) dont les affixes $a,\, b$ et $c$ dans ce repère vérifient la relation 

\[ac = b^2.\]
 
\begin{enumerate}
\item B sera dans cette question un point fixe de (P), d'affixe $b$.
 
Montrer qu'à tout point $M$ de (P) peut être associé un point, et un seul point, $M'$ tel que
 
\[(M,\, \text{B},\, M') \in  (E),\]
 
ce qui définit une transformation T de (P).
 
T est-elle involutive ? Quel est l'ensemble de ses points doubles ? 

Calculer le module et l'argument de l'affixe, $m'$, de $M'$ en fonction de ceux de l'affixe $m$ de $M$. En déduire que T est le produit commutatif d'une symétrie d'axe OB et d'une inversion, que l'on précisera. 
\item  (F) désigne l'ensemble des triplets (A,\, B,\, C) de (E) qui vérifient de plus la relation 

\[a + b +c = 0.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Si (A,\, B,\, C)  $\in$ (F), montrer que (B,\, C,\, A) $\in$ (F) et que (C,\, A,\, B) $\in$ (F).
		 
Que dire, réciproquement, si
 
\[\text{(A, B, C)} \in (\text{E}) \quad \text{et}\quad  
\text{(B,\, C,\, A)} \in  (\text{E}) ?\] 
		\item  Si (A, B, C) $\in$ (F), montrer que $a, b$ et $c$ sont les trois racines d'une équation de la forme 
		
\[z^3 - k = 0 \quad  (k \,\text{complexe}).\]
 
Étudier la réciproque.
	\end{enumerate} 
\item  A$_{1}$ et A$_{2}$ étant deux points donnés dans (P), montrer que l'on peut déterminer une suite de points $A_{n}$ ($n$ entier naturel) telle que l'on ait

\[\left(\text{A}_{1},\, \text{A}_{2},\,\text{A}_{3}\right) \in (\text{E}) ,\, \left(\text{A}_{2},\, \text{A}_{3},\,\text{A}_{4}\right) \in (\text{E}), \ldots,\,\, \left(\text{A}_{n},\, \text{A}_{n+1},\,\text{A}_{n+2}\right) \in (\text{E}), \ldots \] 

Comment A$_{1}$ et A$_{2}$ doivent-ils être choisis pour que les $A_{n}$ soient tous distincts ? 
\end{enumerate}
\end{document}