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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Corse-Montpellier-Nice-Toulouse}}
\rfoot{\small  juin 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Aix-Marseille\footnote{Corse-Montpellier-Nice-Toulouse} juin 1994~\decofourright 
}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip 

Une urne contient 3 boules vertes portant le numéro 0, deux boules rouges portant le numéro 5 et une boule noire portant le numéro $a$ ($a$ est un entier naturel non nul, différent de 5 et de 10).

Toutes les boules sont indiscernables au toucher. 

Un joueur tire simultanément trois boules de l'urne :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité pour qu'il tire : 
	\begin{enumerate}
		\item trois boules de la même couleur ; 
		\item trois boules de couleurs différentes ; 
		\item deux boules et deux seulement de la même couleur.
	\end{enumerate} 
\item Le joueur reçoit, en francs, la somme des numéros marqués sur les boules tirées. Les gains possibles du joueur sont donc :
 
\[0 \quad;\quad 5 \quad;\quad 10 \quad;\quad a \quad;\quad 5 + a \quad;\quad 10 + a.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, déterminer la loi de probabilité de X. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de X en fonction de $a$. 
		\item Calculer $a$ pour que l'espérance de gain du joueur soit de $20$~francs. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 Série B} \hfill 4 points}

\medskip

Le tableau suivant donne le montant (en millions de dollars) des droits de retransmission télévisée des jeux olympiques d'été de 1972 à 1992.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Ville -- Année 		&Rang de l'année $x_i$&Montant $y_i$\\ \hline
Munich -- 1972		&1	&15,2\\ \hline
Montréal -- 1976	&2	&29,5\\ \hline
Moscou -- 1980		&3	&92,6\\ \hline
Los Angeles -- 1984	&4	&288,0\\ \hline
Séoul -- 1988		&5	&402,0\\ \hline
Barcelone -- 1992	&6	&634,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. On prendra 2~cm pour 1~rang sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 50~millions de dollars sur l'axe des ordonnées. 
\item On pose $z_i = \ln y_i$.
 
Déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.
 
Les valeurs des $z_i$ les coefficients $a$ et $b$ de la droite de régression seront arrondis au centième le plus proche. 
\item Déduire de la question précédente une relation approchée entre $y$ et $x$ de la forme $y = \alpha . \beta^x$.
 
Les coefficients $\alpha$ et $\beta$ seront arrondis au centième le plus proche. 
\item À l'aide de la question 3, donner une prévision du montant des droits de retransmission télévisée pour les jeux olympiques d'Atlanta en 1996. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 1 -  \dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x}\] 
 
et $C$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal 
\Oij{} (unités : 2~cm).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ a le signe de $\ln x$. 
		
Étudier le sens de variation de $f$ et en déduire le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		 
Interpréter graphiquement ce résultat. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement ce résultat.
		 
(Pour le calcul de $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} f$ on pourra écrire $f(x)$ sous la forme 

$f(x) = 1 - \dfrac{1 + \ln x}{x}$.)
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 1$. 
		\item Résoudre l'inéquation $f(x) > 1$. En déduire la position de $C$ par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$.
	\end{enumerate} 
\item Soit A le point d'intersection de $C$ et de $\Delta$. Déterminer l'équation de la tangente T à $C$ au point A. 
\item Construire, dans le repère \Oij, $\Delta$, T puis $C$. 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ a une solution unique $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~1]$.
 
Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{- 2}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée de $u$ définie par: 

\[u(x) = 1 + \ln x.\]
 
En déduire une primitive de $g$ définie par 

\[g(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln x).\] 
 
		\item Calculer $I = \displaystyle\int_1^{\text{e}} \dfrac{1 + \ln x}{x}\:\text{d}x$. 
		\item Calculer en cm$^2$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $C$, l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. 

Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{- 2}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}