\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Aix-en-Provence juin 1973},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Aix-en-Provence}}
\rfoot{\small{juin 1973}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix-en-Provence juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $(x - 3)^2$ et démontrer que
\[
(x- 3)^2(x + 6) = x^3 - 27x + 54.\]

\item Quel est le degré du polynôme $P(x)$ ainsi obtenu ?
\item En utilisant l'écriture la plus simple de $P(x)$, calculer
\begin{center}$P(103),\qquad  P(2,9),\qquad  P(- 5,9)$ et $P\left(\sqrt{27}\right)$.\end{center}
\item Calculer ensuite le quotient et le reste de la division
euclidienne de $P(103)$ par $P(0)$, ou par $P\left(\sqrt{27}\right)$., au choix.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La fonction affine 
\[\begin{array}{l l c l}
f:&\R&\to&\R\\
&x&\longmapsto&f(x) = ax +b,
\end{array}\]

est telle que $f(0) = 2,8$ et $f(- 2) = 0$.

Calculer successivement $b$ et $a$ et justifier le sens des variations de $f$.

Déterminer le réel, $r$, tel que $f(r) = 2\sqrt 2$  et en donner la valeur approchée par défaut, ou par excès, à $0,01$ près (ou l'encadrement d'écart ou d'amplitude,
0,01) sachant que 

$1,414 < \sqrt 2< 1,415$.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans un plan euclidien, rapporté à un repère orthonormé, on donne les points 
\begin{center} A(3,5~;~4),\qquad  B$(6~;~- 1)$ \quad et \quad C(1~;~1).\end{center}

Former l'équation de la droite (AB) ainsi que celle de la perpendiculaire à la droite (AB) passant par C.

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans le plan euclidien, où l'unité de distance est le centimètre, on donne un triangle (OMP) rectangle en P, tel que $d$(O, P) (ou OP) $= 32$ et $d$(P, M) (ou PM) $= 24$.

On désigne par I le milieu de (O, M) ou de [OM], par A le point du segment [OP] tel que l'on ait $d$(O, A) (ou OA) $= 25$.

Il est recommandé aux candidats de construire, dans le plan physique, une représentation de ce triangle à l'échelle $\dfrac12$,mais cette construction n'est pas obligatoire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(O, M) (ou OM), $d$(A, P) (ou AP) et $d$(A, M) (ou AM).

Démontrer que le triangle (AOM) est isocèle et que les droites (OM) et (AI) sont orthogonales.
\item Soit H le pied de la hauteur issue de P dans le triangle (OMP). 

La droite (PH) coupe le segment [AM] au point K.

Démontrer que $\dfrac{\overline{\text{IH}}}{\overline{\text{IO}}}= \dfrac{\overline{\text{AP}}}{\overline{\text{AO}}}$ et $\dfrac{\overline{\text{IH}}}{\overline{\text{IM}}} = \dfrac{\overline{\text{AK}}}{\overline{\text{AM}}}$.

En déduire, avec le minimum de calculs, $d$(A, K) (ou AK) ainsi que la nature, ou propriété, du triangle (APK).
\item Calculer, au choix, le cosinus, le sinus ou la tangente, de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{PMA}}$ et calculer, à l'aide des tables trigonométriques, cet écart angulaire à $1\degres$ près par excès ou par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}