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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small novembre 2004}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2004~\decofourright}} 
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = x\text{e}^{-x}.\]

On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un 
repère orthonormal \Oij~(unité graphique : 10 cm).

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
		\item Construire $\Gamma$ dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $m$ de $\left]0~;~\dfrac{1}{\text{e}}\right[$, l'équation $f(x) = m$ admet deux solutions. 
		\item Dans le cas où $m = \dfrac{1}{4}$, on nomme $\alpha$ et $\beta$ les solutions (avec $\alpha < \beta$).

Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
		\item Résoudre l'équation $f(x) = m$ dans le cas où $m = 0$ et $m = \dfrac{1}{\text{e}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 & = & \alpha\\
u_{n+1} & = & u_n\text{e}^{-u_n},~\text{pour tout entier naturel}~n\\
\end{array}\right.\]

où $\alpha $ est le réel défini à la question \textbf{A. 2. b.}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier 
naturel $n,~u_n > 0$.
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite. 
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie sur $\N$ par $w_n = \ln u_n$. 
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel, on a 
$u_n = w_n - w_{n+1}$.
		\item On pose $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$.

Montrer que $S_n = w_0 - w_{n+1}$.
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n$. 
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par son 
premier terme $v_0~(v_0 > 0)$ et, pour tout entier naturel $n,~v_{n+1} = 
v_n\text{e}^{-v_n}$.

Existe-t-il une valeur de $v_0$ différente de $\alpha$ telle que, pour 
tout $n \geqslant 1$, on ait $u_n = v_n$ ?

Si oui, préciser laquelle.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(4.1,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,0)(4.1,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,0)(1,1)
\qdisk(0,2.71828){1.5pt} \qdisk(1,1){1.5pt}
\uput[ur](0,2.71828){A} \uput[ur](1,1){B}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.1}{4.1}{2.71828 1 x sub exp} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On a représenté ci-dessus, dans un repère orthonormal \Oij, la courbe 
représentative de la fonction $f$ dérivable sur $\R$, solution de l'équation différentielle 

\[(\text{E})\qquad : \quad y' + y = 0 \quad \text{et telle que} \quad 
f(0) = \text{e}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(x)$ pour tout $x$ réel.
\item Soit $t$ un réel donné de l'intervalle [1~;~e].

Résoudre dans $\R$ l'équation $\text{e}^{1 - x} = t$ d'inconnue $x$.
\item Soit A le point d'abscisse 0 et B le point d'abscisse 1 de la courbe.

On considère le solide obtenu par rotation autour de l'axe des ordonnées de l'arc de courbe $\wideparen{\text{AB}}$ comme représenté ci-dessous. On note V son volume.

On admet que V $= \pi \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} (1 - \ln t)^2\: 
\text{d}t$.

Calculer V à l'aide de deux intégrations par parties successives. 
\end{enumerate}

\begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-3,-0.2)(3,3) 
\psaxes{->}(0,0)(-2,-0.2)(2,3)
\psplot{0}{1}{2.71828 1 x sub exp}
\psplot{-1}{0}{2.71828 1 x add exp}
\scalebox{1}[0.25]{\psarc[linewidth=0.04](0,3.8){1}{180}{0}}%
\scalebox{1}[0.25]{\psarc[linewidth=0.04,linestyle=dotted](0,3.8){1}{0}{180}}%
\end{pspicture}\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\textsl{On note} $p_{\text{A}}(\text{B})$ \textsl{la probabilité 
conditionnelle de l'évènement} B \textsl{sachant que l'évènement} A \textsl{est réalisé.}

\medskip

Une urne contient 4~boules rouges et 2~boules noires indiscernables au 
toucher.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On effectue au hasard un tirage sans remise de deux 
boules de l'urne.

On note $A_{0}$ l'évènement ; \og on n'a obtenu aucune boule noire \fg{} ;

On note $A_{1}$ l'évènement : \og on a obtenu une seule boule noire \fg{} ;

On note $A_{2}$ l'évènement : \og on a obtenu deux boules noires \fg.

Calculer les probabilités de A$_{0}$,~ A$_{1}$ et A$_{2}$. 
\item Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l'urne.

On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de l'urne.

On note $B_{0}$ l'évènement : \og on n'a obtenu aucune boule noire au tirage n$\up{o}~ 2$ \fg

On note $B_{1}$ l'évènement : \og on a obtenu une seule boule noire au tirage n$\up{o}~ 2$ \fg

On note $B_{2}$ l'évènement : \og on a obtenu deux boules noires au tirage n$\up{o}~ 2$ \fg
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p_{A_{0}}(B_{0}),~ p_{A_{1}}(B_{0})$ et $p_{A_{2}}(B_{0})$.
		\item En déduire $p(B_{0})$.
		\item Calculer $p(B_{1})$ et $p(B_{2})$.
		\item On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage.
Quelle est la probabilité d'avoir obtenu une seule boule noire lors du 
premier ?
	\end{enumerate}
\item On considère l'évènement $R$ : \og il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient extraites de l'une \fg.

Montrer que $p(R) = \dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

Pour réaliser la figure, on prendra pour unité graphique 1~cm.

Soit P le point d'affixe $p$ où $p = 10$ et $\Gamma$ le cercle de diamètre [OP].

On désigne par $\Omega$ le centre de $\Gamma$.

Soit A, B, C les points d'affixes respectives $a,~b$ et $c$, où $a = 
5 + 5 \text{i},~ b = 1 + 3\text{i}$ et $c = 8 - 4\text{i}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que A, B et C sont des points du cercle $\Gamma$.
\item Soit D le point d'affixe 2 + 2i.

Montrer que D est le projeté orthogonal de O sur la droite (BC).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

À tout point $M$ du plan différent de O, d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que

\[z' = \dfrac{20}{\overline{z}}\quad \text{où}~\overline{z}~\text{désigne 
le nombre conjugué de} ~ z.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points O, $M$ et $M'$ sont alignés.
\item Soit $\Delta$ la droite d'équation $x = 2$ et $M$ un point de $\Delta$ d'affixe $z$.

On se propose de définir géométriquement le point $M'$ associé au 
point $M$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $z + \overline{z} = 4$.
		\item Exprimer $z' +\overline{z'}$ en fonction de $z$ et 
$\overline{z}$ et en déduire que $5\left(z'+ \overline{z'}\right)~=~ 
z'\overline{z'}$.
		\item En déduire que $M'$ appartient à l'intersection de la droite (OM) et du cercle $\Gamma$.

Placer $M'$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Exercice de spécialité}

\medskip

Soit A$_0$ et B$_0$ deux points du plan orienté tels que A$_0$B$_0$ = 8. On prendra le centimètre pour unité.

Soit S la similitude de centre A$_0$, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et 
d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$.

On définit une suite de points $(B_n)$ de la façon suivante :

\begin{center} pour tout entier naturel $n,~B_{n+1} = \text{S}(B_n)$. \end{center} 

\begin{enumerate}
\item Construire B$_1$,~B$_2$,~B$_3$ et B$_4$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, les triangles 
A$_0B_{n}B_{n+1}$ et A$_0B_{n + 1}B_{n + 2}$ sont semblables.
\item On définit la suite $(l_n)$ par : pour tout entier naturel $n,~ l_n = B_nB_{n+1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $(l_n)$ est une suite géométrique et préciser sa raison. 
		\item Exprimer $l_n$ en fonction de $n$ et de $l_0$.
		\item On pose $\Sigma_n = l_0 + l_1 + \cdots + l_n$.

Déterminer la limite de $\Sigma_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $3x - 4y = 2$ où $x$ et 
$y$ sont deux entiers relatifs.
		\item Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire en A$_0$ à la droite (A$_0$B$_0$).

Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n,~ B_n$ appartient-il à $\Delta$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}