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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{14 novembre 2025}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Sud 14 novembre 2025~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 2}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin.\\
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.

En match, Abel réussit son premier service dans 70\,\% des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80\,\% des cas.

En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne
le point dans 45\,\% des cas.

\medskip

Abel est au service.

On considère les évènements suivants:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $S$ : \og Abel réussit son premier service \fg
\item $G$ : \og Abel gagne le point \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrire l'évènement $S$ puis traduire la situation par un arbre pondéré.
\item Calculer $P(S \cap G)$.
\item Justifier que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $0,695$.
\item Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?
\item Les évènements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85\,\% des cas.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On teste successivement $20$~balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les $20$ testées.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres ? Justifier.
		\item Calculer $P(X \leqslant 18)$.
		\item Quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les $20$ balles testées ?
		\item Déterminer l'espérance de $X$.
	\end{enumerate}
\item On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère les $n$ tests comme un échantillon
de $n$ variables aléatoires $X$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $0,85$.
	
On considère la variable aléatoire
	
\[M_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{X_i}{n} = \dfrac{X_1}{n} + \dfrac{X_2}{n} + \dfrac{X_3}{n} + \ldots + \dfrac{X_n}{n}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$.
		\item Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $P(0,75 < M_n < 0,95) \geqslant  1 - \dfrac{12,75}{n}$.
		\item En déduire un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle ]0,75~;~0,95 [ avec une probabilité
supérieure à $0,9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large Exercice 2 \hfill4points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition
choisie.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\emph{Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

Dans toutes les questions suivantes, l'espace est rapporté à un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la droite $\Delta_1$ de représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 - 3t\\
y &=& 4 + 2t\\
z &=&\phantom{4 +2}t
\end{array}\right.$, où $t \in  \R$
ainsi que la droite $\Delta_2$ de représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& -4 + \phantom{2}s\\
y& =& \phantom{-}2 + 2s\\
z& =& - 1 + \phantom{2}s
\end{array}\right.$, où $s \in \R$.
\begin{enumerate}
\item Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont parallèles.
\item Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont orthogonales.
\item Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont sécantes.
\end{enumerate}
\item On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&1 + \phantom{2}t\\
y &=& 3 - \phantom{2}t\\
z &=& 1 + 2t
\end{array}\right.$, où $t \in R$,
et le plan $P$ d'équation cartésienne : $4x + 2y - z + 3 = 0.$
	\begin{enumerate}
		\item La droite $d$ est incluse dans le plan $P$.
		\item La droite $d$ est parallèle strictement au plan $P$.
		\item La droite $d$ est sécante au plan $P$.
	\end{enumerate}
\item On considère les points A(3~;~2~;~1), B(7~;~3 ~;~1), C$(-1~;~4~;~5)$ et D$(- 3~;~3~;~5)$.
	\begin{enumerate}
		\item Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
		\item Les points A, B et C sont alignés.
		\item $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{CD}}$ sont colinéaires.
	\end{enumerate}
\item On considère les plans $Q$ et $Q'$ d'équation cartésienne respective $3x - 2y + z + 1 = 0$ et $4x + y - z + 3 = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Le point R$(1~;~1~;~-2)$ appartient aux deux plans.
		\item Les deux plans sont orthogonaux.
		\item Les deux plans sont sécants avec pour intersection la droite de représentation
paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& \phantom{17}t\\
y& =& \phantom{1}7t + 4 \\
z& =& 11t + 7
\end{array}\right.$, où $t \in \R$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip


On considère les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ définies pour tout entier naturel $n$
par :
\[ \left\{\begin{array}{l c l}
v_0 &=& \ln (4)\\
v_{n+1} &=& \ln \left(- 1 +2\e^{v_n}\right)
\end{array}\right. \qquad \text{et} \qquad w_n = - 1 + \e^{v_n}.\]

On admet que la suite $(v_n)$ est bien définie et strictement positive.

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs exactes de $v_1$ et $w_0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Une partie d'une feuille de calcul où figurent les indices et
les termes des suites $(v_n)$ et $(w_n)$ est reproduite ci-contre.
		
Parmi les trois formules ci-dessous, choisir la formule qui,
saisie dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas, permettra
d'obtenir les valeurs de la suite $(v_n)$ dans la colonne B.

\begin{tabular}{|l |l|}\hline
Formule 1 &LN($-1 + 2$ * EXP(B2))\\ \hline
Formule 2 &= LN($-1 + 2$ * EXP(B2))\\ \hline
Formule 3 &= LN($-1 + 2$ * EXP(A2))\\ \hline
\end{tabular}
		\item Conjecturer le sens de variation de la suite $(v_n)$.
		\item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider votre
conjecture concernant le sens de variation de la suite $(v_n)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill 
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
{\small\begin{tabular}{c |c|c|c}\hline
	&A &B &C\\ \hline
1 	&$n$&$v_n$& $w_n$\\ \hline
2&0 & 1,38629436 &3\\ \hline
3& 1& 1,94591015 &6\\ \hline
4& 2& 2,56494936 &12\\ \hline
5& 3& 3,21887582 &24\\ \hline
6& 4& 3,8918203 &48\\ \hline
7& 5& 4,57471098 &96\\ \hline
8& 6& 5,26269019 &192\\ \hline
9& 7& 5,95324333 &384\\ \hline
10& 8& 6,6450909 7 &768\\ \hline
11& 9& 7,33758774 &1536\\ \hline
12& 10& 8,03040956 &3072\\ \hline
13& 11& 8,72339402 &6144\\ \hline
14& 12& 9,41645983 &12288\\ \hline
15& 13& 10,1095663 &24576\\ \hline
16& 14& 10,8026932 &49152\\ \hline
17& 15& 11,4958302&98304\\ \hline
18& 16& 12,1889723&196608\\ \hline
19& 17&12,8821169& 393216\\ \hline
\end{tabular}}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=3]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n, \: v_n = \ln \left(1 + 3 \times 2^n\right)$.
		\item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.
	\end{enumerate}
\item Justifier que l'algorithme suivant écrit en langage Python renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre S.

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabular}{|l|}\hline
from math import*\\
def seuil(S):\\
\qquad V=ln(4)\\
\qquad n=0\\
\qquad while V < S :\\
\qquad  \quad n=n+1\\
\qquad  \quad V=ln(2*exp(V)-1)\\
\qquad return(n)\\ \hline
\end{tabular}
\end{ttfamily}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\Large Exercice 4 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A : dénombrement}

On considère l'ensemble des nombres entiers relatifs \textbf{non nuls} compris entre $- 30$ et $30$ ; cet ensemble peut s'écrire ainsi : \{$- 30~;~- 29~;~- 28~;~ ... - 1~;~1~;~ ... ~;~ 28~;~29~;~30$\}. Il comporte 60 éléments.

On choisit dans cet ensemble successivement et sans remise un entier relatif $a$ puis un entier relatif $c$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de couples $(a~;~ c)$ différents peut-on ainsi obtenir ?
\end{enumerate}

On considère l'évènement $M$ : \og l'équation $ax^2 + 2x + c = 0$ possède deux solutions réelles distinctes \fg, où $a$ et $c$ sont les entiers relatifs précédemment choisis.

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que l'évènement $M$ a lieu si et seulement si $ac < 1$.
\item Expliquer pourquoi l'évènement contraire $\overline{M}$ comporte \np{1740} issues.
\item Quelle est la probabilité de l'évènement $M$ ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\begin{center}$(E) :\quad  y' + 10y = \left(30x^2 + 22x - 8\right)\e^{-5x+1}$\quad avec \quad $x \in \R$\end{center}

où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle : $y' + 10y = 0$.
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (6x^2 + 2x - 2)\e^{-5x+ 1}.\]

On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Justifier que $f$ est une solution particulière de $(E)$.
\item Donner l'expression de toutes les solutions de $(E)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : étude de fonction}

\medskip

On propose d'étudier dans cette partie la fonction $f$ rencontrée à la partie B question 2. 

On rappelle que, pour tout réel $x\:, f(x) = \left(6x^2 + 2x - 2\right)\e^{-5x+ 1}$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$
\item En utilisant la partie A, montrer que $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points (les coordonnées de ces points ne sont pas attendues).
\item En utilisant les parties A et B, montrer que $\mathcal{C}_f$ possède deux tangentes horizontales.
\item Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$.
\item Déterminer en justifiant le nombre de solution(s) de l'équation $f(x)= 1$.
\item Pour tout réel $m$ strictement supérieur à $0,2$, on définit $I_m$ par $I_m = \displaystyle\int_{0,2}^m f(x)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\R$ par

\[F(x) = \left(-\dfrac65 x^2 - \dfrac{22}{25}x + \dfrac{28}{125}\right)\e^{-5x+ 1}\]
est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
		\item Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $I_m = 0$ ? 

Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}