\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{colortbl} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight15 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \def\e{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {Baccalauréat spécialité}, %pdftitle = {Amérique du Sud 13 novembre 2025}, %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 1} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{13 novembre 2025}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Sud 13 novembre 2025~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 1}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\Large Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens. \begin{itemize}[label=$\bullet~~$] \item Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,9$. \item Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,7$. \end{itemize} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ l'évènement \og l'étudiant a choisi un plat végétarien le $n^{\text{e}}$ jour \fg{} et $p_n$ la probabilité de $V_n$. Le jour de la rentrée, l'étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc $p_1 = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Indiquer la valeur de $p_2$. \item Montrer que $p_3 = 0,88$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \item Sachant que le $3\up{\text{e}}$ jour l'étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu’il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$. \end{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous: \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$V_n~$}\taput{$p_n$}} {\TR{$V_{n+1}$} \TR{$\overline{V_{n+1}}$} } \pstree{\TR{$\overline{V_n}~$}} {\TR{$V_{n+1}$} \TR{$\overline{V_{n+1}}$} } } \end{center} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\:\: p_{n+1} = 0,2p_n + 0,7$. \item On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite $(p_n)$ pour $n \geqslant 1$. Pour cela, on utilise une fonction appelée \texttt{repas} programmée en langage Python dont on propose trois versions, indiquées ci-dessous. \end{enumerate} \hspace{-0.5cm}\vspace{-0.5cm} \begin{center} {\footnotesize \begin{ttfamily} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \multicolumn{1}{c}{Programme 1}&\multicolumn{1}{c}{Programme 2}&\multicolumn{1}{c}{Programme 3}\\ \begin{tabular}{l| l|}\cline{2-2} 1&def repas(n):\\ 2&~~p=1\\ 3&~~L=[p]\\ 4&~~for k in range(1,n):\\ 5&~~~~p = 0.2*p+0.7\\ 6&~~~~L. append(p)\\ 7&~~~return(L)\\ \cline{2-2} \end{tabular}& \begin{tabular}{l| l|}\cline{2-2} 1&def repas(n):\\ 2&~~p=1\\ 3&~~L=[p]\\ 4&~~for k in range(1,n+1):\\ 5&~~~~p = 0.2*p+0.7\\ 6&~~~~L. append(p)\\ 7&~~return(L)\\ \cline{2-2} \end{tabular}& \begin{tabular}{l| l|}\cline{2-2} 1&def repas(n):\\ 2&~~p=1\\ 3&~~L=[p]\\ 4&~~for k in range(1,n):\\ 5&~~~~p = 0.2*p+0.7\\ 6&~~~~L.append(p+1)\\ 7&~~return(L)\\ \cline{2-2} \end{tabular}\\ \end{tabularx} \end{ttfamily} } \end{center} \begin{enumerate}[start=4] \begin{enumerate} \item Lequel de ces programmes permet d’afficher les $n$ premiers termes de la suite $(p_n)$ ? Aucune justification n'est attendue. \item Avec le programme choisi à la question \textbf{a.} donner le résultat affiché pour $n = 5$. \end{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout naturel $n \geqslant 1,\:\: p_n = 0,125 \times 0,2^{n - 1} + 0,875$. \item En déduire la limite de la suite $(p_n)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip \emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\ Chaque réponse doit être justifiée.\\Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} \medskip \begin{enumerate} \item Deux équipes de footballeurs de 22 et 25 joueurs échangent une poignée de main à la fin d'un match. Chaque joueur d'une équipe serre une seule fois la main de chaque joueur de l'autre équipe. \textbf{Affirmation 1} 47 poignées de mains ont été échangées. \item Une course oppose 18 concurrents. On récompense indistinctement les trois premiers en offrant le même prix à chacun. \textbf{Affirmation 2} Il y a \np{4896} possibilités de distribuer ces prix. \item Une association organise une compétition de course de haies qui permettra d'établir un podium (le podium est constitué des trois meilleurs sportifs classés dans leur ordre d'arrivée). Sept sportifs participent au tournoi. Jacques est l'un d'entre eux. \textbf{Affirmation 3} Il y a 90 podiums différents dont Jacques fait partie. \item Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires de même loi donnée par le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_i$&$-2$&$-1$&2&5\\ \hline $P(X = x_i)$&0,1 &0,4 &0,3 &0,2\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On suppose que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes et on considère $Y$ la variable aléatoire somme de ces deux variables aléatoires. \textbf{Affirmation 4} $P(Y=4) = 0,25$. \item Un nageur s'entraîne dans l'objectif de parcourir le $50$ mètres nage libre en moins de $25$ secondes. Au fil des entraînements, il s'avère que la probabilité qu'il y parvienne s'établit à $0,85$. Il effectue, sur une journée, $20$ parcours chronométrés sur $50$ mètres. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où il nage cette distance en moins de $25$ secondes lors de cette journée. On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0,85$. \textbf{Affirmation 5} Sachant qu'il a atteint au moins $15$ fois son objectif, une valeur approchée à $10^{-3}$ de la probabilité qu'il l'ait atteint au moins 18 fois est $0,434$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large Exercice 3 \hfill 6 points} \medskip On se propose d'étudier la concentration dans le sang d'un médicament ingéré par une personne pour la première fois. Soit $t$ le temps (en heures) écoulé depuis l'ingestion de ce médicament. On admet que la concentration de ce médicament dans le sang, en gramme par litre de sang, est modélisée par une fonction $f$ de la variable $t$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \medskip \textbf{Partie A : lectures graphiques} \begin{center} \psset{unit=1.6cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(7.5,2.2) \psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(7.5,2.15) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(7.5,2.15) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{7.5}{5 x mul 2.71828 x exp div} \uput[d](6.8,-.2){\footnotesize temps en heures}\uput[r](0,2.1){\footnotesize concentration en g/L} \end{pspicture*} \end{center} On a représenté ci-dessus la courbe représentative de la fonction $f$. Avec la précision permise par le graphique, donner sans justification : \medskip \begin{enumerate} \item Le temps écoulé depuis l'instant de l'ingestion de ce médicament et l'instant où la concentration de médicament dans le sang est maximale selon ce modèle. \item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(t) \geqslant 1$. \item La convexité de la fonction $f$ sur l' intervalle [0~;~8]. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : détermination de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip On considère l'équation différentielle \[(E) \::\qquad y' +y = 5\e^{-t},\] d'inconnue $y$, où $y$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On admet que la fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle $(E') : \:\: y' + y = 0$. \item Soit $u$ la fonction définie sur l’intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $u(t) = at\e^{-t}$ avec $a \in \R$. Déterminer la valeur du réel $a$ telle que la fonction $u$ soit solution de l'équation $(E)$. \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item La personne n'ayant pas pris ce médicament auparavant, on admet que $f(0) = 0$. Déterminer l'expression de la fonction $f$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip Dans cette partie, on admet que $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 5t \e^{-t}$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ puis dresser son tableau de variation complet. \item Démontrer qu’il existe deux réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 1$. On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ des réels $t_1$ et $t_2$. \item Pour une concentration du médicament supérieure ou égale à 1 gramme par litre de sang, il y a un risque de somnolence. Quelle est la durée en heures et minutes du risque de somnolence lors de la prise de ce médicament ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie D : concentration moyenne} \medskip La concentration moyenne du médicament (en gramme par litre de sang) durant la première heure est donnée par : \[T_m = \displaystyle\int_0^1 f(t) \:\text{d}t\] où $f$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 5t\e^{-t}$. Calculer cette concentration moyenne. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 0,01 près. \bigskip \textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère les points \begin{center}A$\left(2\sqrt 3~;~0~;~0\right)$,\quad B(0~;~2~;~0), \quad C(0~;~0~;~1)\quad et \quad K$\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}~;~\dfrac32~;~0\right)$.\end{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{center} \begin{pspicture}(-4,-2)(4,2.3) %\psgrid \psline(-4,-2)\psline(3.9,-0.7)\psline(0,2.3) \psline[linecolor=blue]{->}(-1.1,-0.55)\psline[linecolor=blue]{->}(1.7,-0.285)\psline[linecolor=blue]{->}(0,1.8) \pspolygon(-3.5,-1.73)(3.4,-0.6)(0,1.8)%ABC \psline(0,1.8)(1.55,-0.9)%CK \uput[ul](-3.5,-1.73){A} \uput[ur](3.4,-0.6){B} \uput[ul](0,1.8){C} \uput[d](0,0){O} \uput[dr](1.55,-0.9){K} \uput[u](-0.5,-0.3){\blue $\vect{\imath}$} \uput[u](0.6,-0.1){\blue $\vect{\jmath}$} \uput[l](0,0.8){\blue $\vect{k}$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (CK) est : \renewcommand\arraystretch{1.7} \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{1-}\dfrac{\sqrt 3}{2}t\\ y&=&\phantom{1-}\dfrac32 t\\ z&=&1 - t \end{array}\right. \: (t \in \R)\] \renewcommand\arraystretch{1.} \item Soit M$(t)$ un point de la droite (CK) paramétrée par un réel $t$. Établir que OM$(t) = \sqrt{4t^2 - 2t + 1}$. \item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $f(t) = \text{OM}(t)$. \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$. \item En déduire la valeur de $t$ pour laquelle $f$ atteint son minimum. \end{enumerate} \item En déduire que le point H$\left(\dfrac{\sqrt3}{8}~;~\dfrac38~;~\dfrac34\right)$ est le projeté orthogonal du point O sur la droite~(CK). \item Démontrer, à l'aide de l'outil produit scalaire, que le point H est l'orthocentre (intersection des hauteurs d'un triangle) du triangle ABC. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la droite (OH) est orthogonale au plan (ABC). \item En déduire une équation du plan (ABC). \end{enumerate} \item Calculer, en unité d'aire, l'aire du triangle ABC. \end{enumerate} \end{document}