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% Tapuscrit Denis Vergès relu par Arié Yallouz
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 30 mai 2014}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Amérique du Nord~\decofourright\\30 mai 2014}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~5]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(6,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5.99,-1)(6,3)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{-5}{5}{x dup mul .125 neg mul EXP}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle $[-5~;~5]$ :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.}\; $f$ est une fonction de densité de probabilité & \textbf{b.}\; $f$ est positive \\  
\textbf{c.}\; $f$ n'est pas continue & \textbf{d.}\; l'équation $f'(x)=0$ admet deux solutions
\end{tabularx}
 
\medskip 
 
\item Sur l'intervalle $[-5~;~5]$ :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\; $f'(1)=0$ & \textbf{b.}\; $f'(0)=1$ &  \textbf{c.}\; $f'(0)=0$ & \textbf{d.}\; $f'(1)=1$
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item On admet qu'une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 4 est $y=-\dfrac{x}{\mathrm{e}^2}+\dfrac{5}{\mathrm{e}^2}$. 
 
Le nombre dérivé de $f$ en 4 est :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\; $f'(4)=\dfrac{5}{\mathrm{e}^2}$ & \textbf{b.}\; $f'(4)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$ &  \textbf{c.}\; $f'(4)=-\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$ & \textbf{d.}\; $f'(4)=\mathrm{e}^{-2}$
 \end{tabularx}
 
\medskip 
 
\item On pose $A=\displaystyle\int_{-2}^2 f(x) \: \mathrm{d} x$ . Un encadrement de $A$ est :  
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\; $0 <A < 1$ & \textbf{b.}\;$1< A < 2$ &  \textbf{c.}\; $3 < A < 4$ & \textbf{d.}\; $4 < A <5$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip 

Un investisseur souhaite acheter un appartement dans l'objectif est de le louer. Pour cela, il s'intéresse à la rentabilité locative de cet appartement.

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-4}$.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip 

On considère deux types d'appartement :

\begin{itemize}
    \item Les appartements d'une ou deux pièces notés respectivement T1 et T2 ;
    \item Les appartements de plus de deux pièces.
    \end{itemize} 
    

Une étude des dossiers d'appartements loués dans un secteur ont montré que :
\begin{itemize}
\item 35\,\% des appartements loués sont de type T1 ou T2 ;
    \item 45\,\% des appartements loués de type T1 ou T2 sont rentables ;
    \item 30\,\% des appartements loués, qui ne sont ni de type T1 ni de type T2, sont rentables.
\end{itemize}
    

On choisit un dossier au hasard et on considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $T$ : \og l'appartement est de type T1 ou T2 \fg{} ;
\item $R$ : \og l'appartement loué est rentable \fg{} ;
\item $\overline{T}$ est l'évènement contraire de $T$ et $\overline{R}$ est l'évènement contraire de $R$.
\end{itemize}
    
\begin{enumerate}
\item Traduire cette situation par un arbre pondéré.
\item Montrer que la probabilité qu'un appartement loué soit rentable est égale à \np{0,3525}.
\item Calculer la probabilité que l'appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu'il est rentable.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On considère $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'appartements rentables dans un échantillon aléatoire de 100 appartements loués. On admet que toutes les conditions sont réunies pour assimiler $X$ à une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 35$ et d'écart type $\sigma = 5$.

À l'aide de la calculatrice :

   \begin{enumerate}
    \item Calculer $P(25 \leqslant X \leqslant 35)$.
    \item Calculer la probabilité qu'au moins 45 appartements parmi les 100 appartements loués soient rentables.
    \end{enumerate}
     
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip


L'investisseur se rend dans une agence immobilière pour acheter un appartement et le louer. Le responsable de cette agence lui affirme que 60\,\% des appartements sont rentables. 

Pour vérifier son affirmation, on a prélevé au hasard $280$ dossiers d'appartements loués. Parmi ceux-ci, $120$ sont rentables.

    \begin{enumerate}
    \item Déterminer la fréquence observée sur l'échantillon prélevé.
\item Peut-on valider l'affirmation du responsable de cette agence ? Justifier cette réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%.
    \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}


\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction d'internautes connectés simultanément.

On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonctions sont proposées pour modéliser cette situation.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a : }} Modèle exponentiel}

\medskip
 
Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d'une fonction $f$ qui modélise la situation précédente.

On note $x$ le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément et $f(x)$ la durée de chargement exprimée en seconde.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,22)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(10,22)
\psset{xunit=1cm,yunit=.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=5]{->}(0,0)(10,110)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=5](0,0)(10,110)
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{.5}{8.404}{.311 x mul EXP 8.06 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, estimer la durée de chargement, en seconde, pour \np{8000} personnes connectées.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement un antécédent de 15 par $f$.
		\item Donner une interprétation de ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b : }} Modèle logarithmique}

\medskip
  

On considère une autre fonction $g$ pour modéliser la situation précédente.

On note $x$ le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. La durée de chargement exprimée en seconde est alors $g(x)$ avec $g(x) = 10x - 8\ln (x)$ pour $x$ appartenant à $[0,5~;~+\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$.
\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $[0,5~;~+\infty[$.
\item Justifier que la fonction $G$ définie sur $[0,5~;~+\infty[$ par $G(x)=5x^2+8x-8x\ln(x)$ est une primitive de $g$ sur $[0,5~;~+\infty[$.
\item On pose $I = \dfrac{1}{2}\displaystyle \int_{2}^{4} g(x) \:\mathrm{d} x$
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la valeur exacte de $I$ peut s'écrire sous la forme $a+b\ln (2)$ où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on déterminera.
\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $I$ puis donner une interprétation de ce résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Une vidéo particulièrement demandée a attiré simultanément \np{8000} personnes. On a constaté que le temps de chargement était de 92 secondes.

Déterminer, en justifiant, celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation pour cette vidéo.

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire et L} 

\medskip

Afin d'entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5\,\% des arbres existants et de replanter \np{3000} arbres.

Le nombre d'arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée $u$ où $u_n$ désigne le nombre d'arbres au cours de l'année $(2013 + n)$.

En 2013, la forêt compte \np{50000} arbres.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2014.
		\item Montrer que la suite $u$ est définie par $u_0 = \np{50000}$ et pour tout entier naturel $n$ par la relation 

\[u_{n+1}=0,95u_n+ \np{3000}.\]

	\end{enumerate}
\item On considère la suite $v$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n =\np{60000} - u_n$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $v$ est une suite géométrique de raison 0,95.

Déterminer son premier terme.
        \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
        \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \np{10000}(6-0,95^n)$.
        \item Déterminer la limite de la suite $u$.
        \item Interpréter le résultat précédent.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n \geqslant \np{57000}$
		\item Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On souhaite écrire un algorithme affichant pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite du rang $0$ au rang $n$. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel.

\medskip

\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|@{}p{1mm}@{}|X|@{}p{1mm}@{}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\multicolumn{1}{|c|}{Algorithme 1}&&\multicolumn{1}{c|}{Algorithme 2}&&\multicolumn{1}{c|}{Algorithme 3}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\ 
$A$, $U$, $N$ sont des nombres&&$U$, $I$, $N$ sont des nombres&&$U$, $I$, $N$ sont des nombres\\ 
\textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}\\ 
Saisir la valeur de $A$&&Saisir la valeur de $N$&&Saisir la valeur de $N$\\
$N$ prend la valeur 0&&$U$ prend la valeur \np{50000}&&$U$ prend la valeur \np{50000}\\
$U$ prend la valeur \np{50000}&&\textbf{Pour} $I$ variant de 1 à $N$&&\textbf{Pour} $I$ variant de 1 à $N$\\ 
\textbf{Tant que} $U<A$ &&\hspace{1ex} $U$ prend la valeur $0,95 U+\np{3000}$&&\hspace{1ex}Afficher $U$\\
\hspace{1ex}$N$ prend la valeur $N+1$&&\textbf{Fin Pour}&&\hspace{1ex}$U$ prend la valeur $0,95 U+\np{3000}$\\
\hspace{1ex}$U$ prend la valeur $0,95 U+\np{3000}$&&Afficher $U$&&\textbf{Fin Pour}\\
\textbf{Fin tant que}&&  &&Afficher $U$\\ 
Afficher $N$&& && \\ 
\textbf{Fin algorithme} &&\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\end{tabularx}
\end{footnotesize}

		\item Lorsque $A=\np{57000}$ l'algorithme 1 affiche 24. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Lors d'une campagne électorale, un homme politique doit effectuer une tournée dans les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier. Le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous, représente les différentes villes de la tournée et les tronçons d'autoroute reliant ces villes (une ville est représentée par un sommet, un tronçon d'autoroute par une arête) :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,6)
\cnodeput(0.4,4.5){A}{A}
\cnodeput(2,5.5){B}{B}
\cnodeput(5,5){C}{C}
\cnodeput(1.25,1){D}{D}
\cnodeput(3.25,2.5){E}{E}
\cnodeput(9.75,2.5){F}{F}
\cnodeput(7.5,3.5){G}{G}
\cnodeput(6,0.5){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncline{C}{B}\ncline{C}{G}\ncline{G}{F}
\ncline{F}{H}\ncline{G}{H}\ncline{B}{E}\ncline{C}{E}
\ncline{E}{G}\ncline{D}{E}\ncline{D}{H}\ncline{A}{D}
\ncline{C}{H}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\mathcal{G}$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item complet ; 
		\item connexe.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il est possible d'organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d'autoroute. 
		\item Citer un trajet de ce type.  
	\end{enumerate}
\item On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe $\mathcal{G}$ (les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la matrice $M$.
		\item On donne la matrice 

\[M^3 = \begin{pmatrix}
0 &5 &3 &5 &1 &1 &4 &1\\ 
5 &2 &7 &2 &8 &3 &3 &5\\ 
3 &7 &6 &4 &9 &3 &9 &10\\ 
5 &2 &4 &0 &9 &2 &3 &8\\ 
1 &8 &9 &9 &4 &4 &10 &4\\ 
1 &3 &3 &2 &4 &2 &6 &6\\ 
4 &3 &9 &3 &10 &6 &6 &9 \\
1 &5 &10 &8 &4 &6 &9 &4\\
\end{pmatrix}\]
 
Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à H. 

Préciser ces chemins.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Des contraintes d'organisation obligent cet homme politique à se rendre dans la ville F après la ville A. Le graphe $\mathcal{G}$ est complété ci-dessous par les longueurs en kilomètre de chaque tronçon d'autoroute.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,6)
\cnodeput(0.4,4.5){A}{A}
\cnodeput(2,5.5){B}{B}
\cnodeput(5,5){C}{C}
\cnodeput(1.25,1){D}{D}
\cnodeput(3.25,2.5){E}{E}
\cnodeput(9.75,2.5){F}{F}
\cnodeput(7.5,4){G}{G}
\cnodeput(7,0.5){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*{\bf 400}
\ncline{C}{B}\ncput*{\bf 600}
\ncline{C}{G}\ncput*{\bf 550}
\ncline{G}{F}\ncput*{\bf 200}
\ncline{F}{H}\ncput*{\bf 400}
\ncline{G}{H}\ncput*{\bf 300}
\ncline{B}{E}\ncput*{\bf 400}
\ncline{C}{E}\ncput*{\bf 350}
\ncline{E}{G}\ncput*{\bf 600}
\ncline{D}{E}\ncput*{\bf 300}
\ncline{D}{H}\ncput*{\bf 900}
\ncline{A}{D}\ncput*{\bf 600}
\ncline{C}{H}\ncput*{\bf 450}
\end{pspicture}
\end{center} 

Déterminer, en utilisant l'algorithme de Dijkstra, le trajet autoroutier le plus court pour aller de A à F. 

Préciser la longueur en kilomètre de ce trajet.
\end{document}