\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{multirow}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-node}
\everymath{\displaystyle}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Amérique du Nord juin 2009},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH
}    
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\setlength\parindent{0mm}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{4 juin 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord  4 juin 2009~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\emph{Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chaque question, une seule des réponses est exacte.\\
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Barème : Une réponse juste rapporte $0,5$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point, l'absence de réponse n'enlève et ne rapporte aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à $0$.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Le prix d'un article subit une première augmentation de 20\:\% puis une seconde augmentation de 30\,\%. Le prix de l'article a augmenté globalement de : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} \quad  25\:\%&\textbf{b.} \quad 50\:\% &\textbf{c.} \quad 56\:\%\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Le nombre réel $\dfrac{\ln \text{e}}{\ln \left(\text{e}^2\right)}$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.} \quad $\ln \left(\dfrac{1}{\text{e}} \right)$&\textbf{b.} \quad $\dfrac{1}{\text{e}}$&\textbf{c.} \quad $\dfrac{1}{2}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Le nombre réel $\text{e}^{-3\ln 2}$   est égal à 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} \quad $\dfrac{1}{9}$& \textbf{b.} \quad$\dfrac{1}{8}$&\textbf{c.} \quad $- 8$\\ 
\end{tabularx}

\medskip

\item Une primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-2x}$ est définie par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.} \quad $F(x) = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x}$&\textbf{b.} \quad $F(x) =\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x}$&\textbf{c.} \quad 
$F(x) = - 2 \text{e}^{-2x}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse $0$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} \quad $y = x+1$&\textbf{b.} \quad $ y= \text{e}x$&\textbf{c.} \quad $y = \text{e}^x$\\
\end{tabularx}

\medskip
\item Soit $f$ la fonction définie par $f( x) = \dfrac{x + 1}{\text{e}^x - 1}$. La fonction $f$ est définie sur :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} \quad $\R$&\textbf{b.} \quad $]- \infty~;~0[ \cup ]0~;~+ \infty[$&\textbf{c.} \quad $]-1~;~+ \infty[$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 2x -1 + \dfrac{1}{2x}$.
 
Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction $f$ admet au voisinage de $+\infty$ : 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item L'axe des abscisses comme asymptote horizontale
		\item La droite d'équation $y = 2x$ comme asymptote oblique 
		\item La droite d'équation $y = 2x -1$ comme asymptote oblique 
	\end{enumerate}	
\item On considère la fonction logarithme népérien et la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 - 2$. On donne ci-dessous les courbes représentatives de ces deux fonctions dans un repère orthogonal. Dans $\R$, l'équation $\ln x = x^2 - 2$ admet : 
	\begin{enumerate}
		\item Une solution 
		\item Deux solutions de signes contraires  
		\item Deux solutions positives 
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.25)(6.5,6.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-3.25)(6.5,6.25)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.8}{2.8}{x dup mul 2 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0.05}{6.25}{x ln}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Un pépiniériste a planté trois variétés de fleurs dans une prairie de quelques hectares : des violettes, des primevères et des marguerites. Il se demande s'il peut considérer que sa prairie contient autant de fleurs de chaque variété. Il cueille au hasard 500~fleurs et obtient les résultats suivants : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Variétés &Violettes& Primevères &Marguerites\\ \hline
Effectifs& 179 &133&188 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer les fréquences $f_{V}$ d'une fleur de variété Violette, $f_{P}$ d'une fleur de variété Primevère et $f_{M}$ d'une fleur de variété Marguerite. On donnera les valeurs décimales exactes. 
\item On note $d^2_{\text{obs}}  = \left(f_{V} - \dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(f_{P} - \dfrac{1}{3}\right)^2 +\left(f_{M} - \dfrac{1}{3}\right)^2$. 

Calculer $500d^2_{\text{obs}} $. On donnera une valeur approchée arrondie au millième.
 \item Le pépiniériste, ne voulant pas compter les quelques milliards de fleurs de sa prairie, opère sur ordinateur en simulant le comptage, au hasard, de 500~fleurs suivant la loi équirépartie. Il répète \nombre{2000}~fois l'opération et calcule à chaque fois la valeur de $500d^2_{\text{obs}} $. Ses résultats sont regroupés dans le tableau suivant : 

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\footnotesize Intervalle auquel appar\-tient $500d^2_{\text{obs}}$&\tiny[0 ; 0,5[&\tiny [0,5 ; 1[&\tiny [1 ; 1,5[&\tiny [1,5 ; 2[ 
&\tiny[2 ; 2,5[&\tiny [2,5 ; 3[ &\tiny[3 ; 3,5[&\tiny [3,5 ; 4[ &\tiny[4 ; 4,5[&\tiny [4,5 ; 5[\\ \hline 
\footnotesize Nombre par intervalle &\footnotesize 163 &\footnotesize 439 &\footnotesize 458 &\footnotesize 350 &\footnotesize 231&\footnotesize  161 &\footnotesize 80 &\footnotesize 47 &\footnotesize 37&\footnotesize  34 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Par exemple: le nombre $500d^2_{\text{obs}}$ apparaît 163 fois dans l'intervalle [0~;~0,5[. 

On note $D_{9}$ le neuvième décile de cette série statistique.
 
Montrer que $D_{9} \in  [2,5~;~3[.$ 
\item  En argumentant soigneusement la réponse, dire si pour la série observée au début, on peut affirmer avec un risque inférieur à 10\:\% que \og la prairie est composée d'autant de fleurs de chaque variété \fg. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats  n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un nouveau bachelier souhaitant souscrire un prêt automobile pour l'achat de sa première voiture, a le choix entre les trois agences bancaires de sa ville : agence A, agence B et agence C. On s'intéresse au nombre de prêts automobiles effectués dans cette ville. 

\medskip

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Dans le tableau suivant figure le nombre de prêts effectués dans l'agence B lors des premiers mois de 2009. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois& Janvier& Février &Mars& Avril &Mai& Juin \\ \hline
Rang du mois $x_{i}$& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline 
Nombre de prêts $y_{i}$&56& 44 &42 &52& 50 &56\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. 
\item  Combien de prêts automobiles peut-on prévoir pour le mois de décembre 2009 avec cet ajustement ? On arrondira le résultat à l'entier le plus proche. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Après vérification, on a constaté que :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[] 20\,\% des prêts sont souscrits dans l'agence A,
\item[] 45\,\% des prêts sont souscrits dans l'agence B,
\item[] les autres prêts étant souscrits dans l'agence C. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
   
On suppose que tous les clients souscrivent à une assurance dans l'agence où le prêt est souscrit.

Deux types de contrats sont proposés : le contrat tout risque, dit \emph{Zen} et le deuxième contrat appelé \emph{Speed}. 
 
\medskip
 
80\,\% des clients de l'agence A ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance \emph{Zen}.

 30\,\% des clients de l'agence B ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance \emph{Zen}. 
 
$\dfrac{2}{7}$ des clients de l'agence C ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance \emph{Speed}.
 
On interroge au hasard un client d'une de ces trois banques ayant souscrit un contrat d'assurance automobile. 

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[] $A$ : \og le prêt a été souscrit dans l'agence A \fg,
\item[] $B$ : \og le prêt a été souscrit dans l'agence B \fg,
\item[] $C$ : \og le prêt a été souscrit dans l'agence C \fg, 
\item[] $Z$ : \og le contrat d'assurance \emph{Zen} a été souscrit \fg, 
\item[] $S$ : \og le contrat d'assurance \emph{Speed} a été souscrit \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Dans tout l'exercice, on donnera les valeurs exactes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré. 
\item Déterminer la probabilité que le client interrogé ait souscrit un prêt automobile avec une assurance \emph{Zen} dans l'agence A. 
\item Vérifier que la probabilité de l'évènement $Z$ est égale à $0,545$. 
\item Le client a souscrit une assurance \emph{Zen}.
 
Déterminer la probabilité que le prêt soit souscrit dans l'agence C. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Un groupe d'amis organise une randonnée dans les Alpes.
 
On a représenté par le graphe ci-dessous les sommets B, C, D, F, T, N par lesquels ils peuvent choisir de passer. Une arête entre deux sommets co\"{\i}ncide avec l'existence d'un chemin entre les deux sommets.

\medskip
\psset{unit=0.9cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4.25)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=0}
\cnodeput(0,0){A}{B} \cnodeput(3,0){B}{F} 
\cnodeput(2,2.5){C}{C} \cnodeput(5,2.3){D}{T}
\cnodeput(3.5,4){E}{D} \cnodeput(7.5,3){F}{N}
\ncarc{A}{B}  \ncarc{B}{F}  \ncarc{F}{E}  \ncarc{E}{C}  
\ncarc{C}{A}  \ncarc{C}{B}  \ncarc{B}{D}  \ncarc{D}{F}  
\ncarc{D}{E}  \ncarc{D}{C}  \ncarc{E}{B}  
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant : 
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sommets &B &C& D& F& N& T\\ \hline
Degré des sommets du graphe&&&&&&\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
		\item Justifier que le graphe est connexe.
	\end{enumerate} 
\item Le groupe souhaite passer par les six sommets en passant une fois et une seule par chaque chemin.
 
Démontrer que leur souhait est réalisable. Donner un exemple de trajet possible. 
\item  Le groupe souhaite associer chaque sommet à une couleur de sorte que les sommets reliés par un chemin n'ont pas la même couleur. On note $n$ le nombre chromatique du graphe. 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $4 \leqslant  n \leqslant  6$. 
	\item Proposer un coloriage du graphe permettant de déterminer son nombre chromatique.
	\end{enumerate} 
\item  Le groupe se trouve au sommet B et souhaite se rendre au sommet N. Les distances en kilomètres entre chaque sommet ont été ajoutées sur le graphe.

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4.25)
%\psgrid
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=0}
\cnodeput(0,0){A}{B} \cnodeput(3,0){B}{F} 
\cnodeput(2,2.5){C}{C} \cnodeput(5,2.3){D}{T}
\cnodeput(3.5,4){E}{D} \cnodeput(7.5,3){F}{N}
\ncline{A}{B}\Bput{15} \ncline{B}{F} \Bput{23} \ncline{F}{E}\Bput{12}  \ncline{E}{C} \Bput{2}  
\ncline{C}{A}\Bput{12}   \ncline{C}{B}\Bput{3}   \ncline{B}{D}\Aput{8}   \ncline{D}{F} \Aput{7}  
\ncline{D}{E}\Bput{3}   \ncline{D}{C} \Bput{5}  \ncline{E}{B}\Aput{4}   
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip 

Indiquer une chaîne qui minimise la distance du trajet. Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Les parties A et B sont indépendantes. Le candidat pourra utiliser les résultats préliminaires dans la partie A, même s'il ne les a pas établis. 

\medskip

\textbf{Préliminaires}

\medskip
 
On admet les éléments du tableau de signes ci-dessous. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,2.5)
\psframe(9,2.5) \psline(3,0)(3,2.5) \psline(0,2)(9,2)
\psline(3.15,0)(3.15,2)\psline(3.25,0)(3.25,2)
\uput[u](1.5,2){$x$}\uput[u](3.2,2){0}\uput[u](6,2){1}\uput[u](8.5,2){$+ \infty$}
\rput(1.5,1){Signe de $\dfrac{6}{x} - 6x^2$} 
\rput(4.5,1){+} \rput(6,1){0} \rput(7.5,1){$-$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par

\[ g(x) = 6\ln x - 2x^3 - 3.\]

On désigne par $g'$ la fonction dérivée de $g$. 
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$. 
\item En utilisant 1., déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. On ne demande pas les limites dans cette question. 
\item  En déduire que $g(x) < 0$ pour tout $x \in\: ]0~;~+\infty[$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = x + \dfrac{3\ln x}{2x^2}\] 

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $0$. 
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[,~f'(x) = -\dfrac{g(x)}{2x^3}$. 
	\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On définit la fonction $F$ sur I'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
\[F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{3}{2} \times  \dfrac{1 + \ln x}{x}.\]

Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 

\item  On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de $f$ notée $\mathcal{C}_{f}$.
 
On a coloré le domaine limité par $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x =  \text{e}$.

Donner la valeur exacte, exprimée en unités d'aire, de l'aire de ce domaine, puis une valeur approchée arrondie au centième.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(7.25,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-5)(7.25,7)
\psline(1,-5)(1,7) \psline(2.71828,-5)(2.71828,7)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.46}{7}{x ln 3 mul x 2 exp 2 mul div x add}
\rput{90}(1.2,-3){$x = 1$} \rput{90}(2.9,-3){$x = \text{e}$}\uput[d](4.5,4.5){$\mathcal{C}_{f}$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{2.71828}{x ln 3 mul x 2 exp 2 mul div x add}
\psline(2.71828,0)(1,0)
}
\uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture}
\end{document}