\documentclass[10pt]{article}
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%tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\rhead{\small Bac L facultatif}%tapez un titre
\lhead{\small{Bac L facultatif}}
\lfoot{\small{Am\'erique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\thispagestyle{empty}
\vspace{0,5cm}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalaur\'eat L facultatif Am\'erique du 
Nord~ \decofourright\\ juin 2003}}

\vspace{0,5cm}

Dur\'ee de l'\'epreuve : 3 heures


L'usage d'une calculatrice est autoris\'e (circulaire n° 99-186 du 16-11-1999)

\vspace{0,5cm}

La qualit\'e de la r\'edaction, la clart\'e et la pr\'ecision des raisonnements entreront
 pour une part importante dans l'appr\'eciation des copies.

\vspace{0,5cm}

Les graphiques demand\'es seront r\'ealis\'es sur une feuille de papier millim\'etr\'e mise
 \`a votre disposition.

\vspace{0,5cm}

Le candidat doit traiter TROIS exercices :

Obligatoirement : l'exercice 1 et l'exercice 2,

Au choix : l'exercice 3 ou l'exercice 4.

\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent   \textbf{\textsc{\gray Exercice 1 obligatoire}  \hfill 7 points}

On  consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle I = [0,25 ; 10] par

\[f(x) = \ln(x) + \cfrac{2}{x}.\]

On note ($\mathcal{C}$) sa courbe repr\'esentative dans le plan muni d'un 
rep\`ere orthonormal \Oij, l'unit\'e de longueur \'etant 2 cm.

\begin{enumerate} \item D\'eterminer la fonction d\'eriv\'ee $f'$ de cette fonction $f$
et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur I.

\item Calculer $f(1)$ et $f'(1)$ et en d\'eduire l'\'equation 
r\'eduite de la tangente (T) \`a ($\mathcal{C}$) en son point d'abscisse 1.

\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) ainsi que la tangente (T).

\item \begin{enumerate} \item D\'evelopper $(x-3) (x - 6)$.

\item R\'esoudre dans l'intervalle I l'\'equation $f'(x) = \cfrac{1}{9}$.

\item Justifier alors que la courbe ($\mathcal{C}$) admet deux tangentes
 parall\`eles \^a la droite d'\'equation $y = \cfrac{x}{9}$.
 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{D\'eriv\'ees de fonctions usuelles :}

\vspace{0,5cm}

\[\begin{array}{|l*{6}{c|}}\hline
F(x)&		x&x^2&x^3& \cfrac{1}{x}	&\ln x & \text{e}^x\\ \hline
F'(x)& 1&  2x & 3x^2& - \cfrac{1}{x^2}&\cfrac{1}{x}& \text{e}^x\\ \hline
\text{conditions}&&&&	x \neq 0& 	x > 0& \\ \hline
\end{array} \]

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2 obligatoire} \hfill 7 points}

Un jeu consiste \`a cocher 8 cases sur une grille A (n$\textsuperscript{o}$ 1 \`a 20) et 1 case sur
 une grille B (n$\textsuperscript{o}$ 1 \`a 4)

\noindent \parbox[c]{0.45\textwidth}{\begin{center}GRILLE A \end{center}\\
$\begin{array}{|*{5}{c|}}\hline
~1&	2&	3&	4&	5\\ \hline
6&	7&	8&	9&	10\\ \hline
~11~&	~12~&	~13~&	~14~&	~15~\\ \hline
16&	17&	18&	19&	20\\ \hline
\end{array}$}
\hfill
\parbox[c]{0.45\textwidth}{\begin{center}GRILLE B\end{center}\\
$\begin{array}{|*{4}{c|}}\hline
~~1~~ & ~~2~~  & ~~3~~& ~~4~~\\ \hline
\end{array}$}

« \textit{Les r\'esultats des calculs de probabilit\'e seront donn\'es \`a} 
$0,000\:1$  \textit{pr\`es} »

\begin{enumerate} \item D\'eterminer le nombre de fa\c{c}ons possibles de cocher 8 cases dans la grille A.

\noindent Un tirage d\'etermine 8 « bons num\'eros » dans la grille A et 1 « bon num\'ero » 
dans la grille B.

\item Cas 1 : le joueur r\'ecup\`ere sa mise lorsqu'il a coch\'e 4 « bons num\'eros» dans
 la grille A et 1 « bon num\'ero » dans la grille B.

\begin{enumerate} \item Combien de grilles coch\'ees A comportent 4 « bons num\'eros » et 4 « mauvais
 num\'eros » ? En d\'eduire la probabilit\'e de cocher 4 « bons num\'eros » dans 
la grille A.

\item D\'eterminer la probabilit\'e de cocher le « bon num\'ero » dans
la grille B.

\item En d\'eduire que la probabilit\'e que le joueur r\'ecup\`ere sa mise est de 
$0,068\:8$.

\end{enumerate}

\item Cas 2 : le joueur gagne s'il a coch\'e 5, 6, 7 et 8 « bons num\'eros » dans
 la grille A (avec ou sans le num\'ero gagnant de la grille B).

\begin{enumerate} \item Combien de grilles coch\'ees A comportent 5 « bons num\'eros » et 3 « mauvais
 num\'eros » ?

\item En d\'eduire la probabilit\'e de cocher 5 « bons num\'eros » dans la grille A.

\end{enumerate}

\item On admet que la probabilit\'e d'\^etre gagnant est 
de $\cfrac{2}{11}$. Un joueur d\'ecide de jouer les m\^emes num\'eros sur 4 tirages
cons\'ecutifs. D\'eterminer la probabilit\'e que ce joueur soit gagnant 2 fois sur 
les 4 tirages.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3 au choix}  \hfill 6 points}

Rappel : un rectangle est un « rectangle d'or » si le quotient de sa longueur
 par sa largeur est \'egal au nombre d'or : $\phi = \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

\noindent ABCD est un rectangle tel que AD $>$ AB. On consid\`ere les points K $\in$ [BC]
 et H $\in$[AD] tel que ABKH soit un carr\'e et I le milieu du segment [AH].

\begin{enumerate} \item Justifier que ID = AD $- \cfrac{1}{2}$AB.

\item Montrer que IB = $\cfrac{\sqrt{5}}{2}$ AB.

\item Dans cette question on suppose que le rectangle ABCD est un rectangle d'or.

\begin{enumerate} \item Exprimer ID en fonction de AB.

\item En d\'eduire que si ABCD est un rectangle d'or alors ID = IB.

\end{enumerate}

\item Dans cette question, \textbf{on suppose que ID = IB}.

\begin{enumerate} \item Exprimer AD en fonction de AB.

\item En d\'eduire que ABCD est un rectangle d'or.

\end{enumerate}

\item On consid\`ere un segment [AB] de longueur 6 cm.

 Construire \`a la r\`egle et au compas un rectangle d'or ABCD (AD $>$ AB) en 
justifiant la construction de chaque \'el\'ement et en laissant appara\^itre les trac\'es.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 4 au choix}  \hfill 6 points}

Dans une entreprise de vente par correspondance, les r\'ef\'erences des articles
 sont compos\'ees de 6 chiffres et d'une lettre de contr\^ole afin d'\'eviter
 les erreurs de saisie. La position de la lettre dans l'alphabet correspondant
 au reste de la division de la r\'ef\'erence num\'erique par 26.

\noindent Exemple : la r\'ef\'erence num\'erique $123\:456 =  4\:748 \times 26 + 8$ et
 la 8 lettre de l'alphabet est H donc la r\'ef\'erence de l'article avec sa cl\'e
 de contr\^ole est 123456 H.

\begin{enumerate} \item La r\'ef\'erence num\'erique d'un article est $784\:503$, d\'eterminer la lettre
 de contr\^ole correspondant \`a cette r\'ef\'erence.

\item On consid\`ere la r\'ef\'erence $\cdot 37\:254$ H o\`u le $1^{\text{er}}$ chiffre
 a \'et\'e effac\'e.

\begin{enumerate} \item On note $n$ le chiffre manquant. V\'erifier que le nombre $n37\:254 = n \times 100\:000 + 37\:254$.

\item D\'eterminer le reste de la division de $100\:000$ par 26, puis de $37\:254$
 par 26.

\item En d\'eduire que $4n + 22 \equiv 8 \quad (\text{modulo}~ 26)$.

\item Sachant que $1 \leqslant  n \leqslant 9$, d\'eterminer le chiffre manquant
 de la r\'ef\'erence.
 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}