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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{Baccalauréat 
série S Amérique du Nord juin 2003}}\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire ˆà choix multiples constitué de six questions : chacune comporte trois réponses, une et une seule étant exacte.}

\emph{Les réponses ˆà cet exercice sont ˆà inscrire dans la feuille jointe 
en annexe, page 5, en cochant pour chaque question la case correspondante ˆà la réponse proposéŽe.}

\emph{Toute réponse ambigüe sera considérée comme une absence de réponse. Toute réponse exacte entraîne une bonification, toute erreur est pénalisée.}

\medskip

On s'intéresse ˆà la durée de vie, exprimée en années, d'un appareil ménager avant la première panne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité $p$ de duréŽe de vie sans vieillissement, déŽfinie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty$[. Ainsi, la probabilité d'un intervalle  $[0~;~t[$, notée $p([0~;~t[)$, est la probabilité que l'appareil ménager tombe en panne avant l'instant $t$.

Cette loi est telle que $p([0~;~t[) = \displaystyle\int_0^t 
\lambda \text{e}^{- \lambda x}\: \text{d}x$, où $t$ est un nombre réel positif représentant le nombre d'années (loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda > 0$).

\begin{enumerate}
\item Pour $t \geqslant 0$, la valeur exacte de $p([t~;~+\infty[)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $1 - \text{e}^{-\lambda t}$&\textbf{b.~~} $\text{e}^{-\lambda t}$
&\textbf{c.~~}$1 + \text{e}^{-\lambda t}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item La valeur de $t$ pour laquelle on a $p([0~;~t[) = p([t~;~+\infty[)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{\lambda}{\ln 2}$&
\textbf{c.~~}$\dfrac{\lambda}{2}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item D'après une Žétude statistique, la probabilité que l'appareil tombe en panne avant la fin de la première année est 0,18. La valeur exacte de $\lambda$ est alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$\ln \left(\dfrac{50}{41}\right)$&\textbf{b.~~}$\ln 
\left(\dfrac{41}{50}\right)$&\textbf{c.~~}$\dfrac{\ln (82)}{\ln (100)}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Sachant que cet appareil n'a connu aucune panne au cours des deux premières années après sa mise en service, la probabilité qu'il ne connaisse aucune panne l'annéŽe suivante est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}$p([1;~+ \infty[)$&\textbf{b.~~}$p([3~;~+ \infty[)$&\textbf{c.~~} $p([2~;~3[)$\\
\end{tabularx}
\medskip

Dans la suite de l'exercice on prendra $\lambda = 0,2$.

\item La probabilitéŽ que l'appareil n'ait pas eu de panne au cours des
trois premières années, arrondie ˆà $10^{-4}$ près, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}\np{0,5523}&\textbf{b.~~}\np{0,5488}& \textbf{c.~~} \np{0,4512}\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Dix appareils neufs de ce type ont ŽétéŽ mis en service en même temps. On désigne par $X$ la  variable aléatoire Žégale au nombre d'appareils qui n'ont pas de panne au cours des trois premières années.

La valeur la plus proche de la probabilité de l'évènement \og $X = 4$ \fg{} est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \np{0,5555}&\textbf{b.~~} \np{0,8022}&\textbf{c.~~}\np{0,1607}\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialitŽé}

\medskip

Dans le plan complexe rapportŽé à ˆun repère orthonorméŽ \Ouv, d'unitŽé graphique 1 cm, on considère  les points A$_0$, A$_1$, A$_2$ d'affixes respectives

\[z_0 = 5 - 4\text{i},\quad  z_1 = - 1- 4\text{i}, \quad z_2 = - 4 - \text{i}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'existence d'une unique similitude directe 
$S$ telle que $S(\text{A}_0)~=~\text{A}_1$ et $S (\text{A}_1) = \text{A}_2$.
		\item ƒÉtablir que l'Žécriture complexe de $S$ est $z'= 
\dfrac{1 - \text{i}}{2}z + \dfrac{- 3 + \text{i}}{2}$.
		\item En déduire le rapport, l'angle et l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ de la similitude $S$.
		\item On considère un point $M$, d'affixe $z$ avec $z ­\neq 0$, et son image $M'$, d'affixe $z'$.

Vérifier la relation : $\omega - z'= \text{i}(z - z')$ ; en déduire la nature du triangle $\Omega MM'$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, le point A$_{n+1}$, est 
défini par A$_{n+1} = S(\text{A}_n)$ et on pose $u_n = 
\text{A}_n\text{A}_{n+1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A$_0$,~ A$_1$, A$_2$ et construire géoéŽtriquement les points A$_3$,~ A$_4$,~ A$_5$,~ A$_6$.
		\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est géoméŽtrique.
	\end{enumerate}
\item La suite $\left(v_n\right)$ est définie sur $\N$ par $v_n = u_0 + 
u_1 + \cdots + u_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item La suite $\left(v_n\right)$ est-elle convergente ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en fonction de $n$ le rayon $r_n$ du cercle 
circonscrit au triangle $\Omega\text{A}_n\text{A}_{n+1}$.
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $p$ tel que, pour tout entier naturel $n$ : si $n > p$ alors $r_n < 10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialitéŽ}

\medskip

Le plan est rapportŽé au repère orthonormé \Ouv{} (unitŽé graphique : 2~cm).

On consodère les points A, B et C d'affixes respectives 
$z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3},$

$z_{\text{B}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}} = 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer ces points sur un dessin.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que : $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}
}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}} } = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
		\item Déterminer le centre et le rayon du cercle $\Gamma_1$ circonscrit au triangle ABC.

Tracer le cercle $\Gamma_1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ƒÉtablir que l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$  d'affixe $z$ qui vérifient 

$2(z + \overline{z})~+~z\overline{z}~=~0$
est un cercle de centre $\Omega$ d'affixe $- 2$. Préciser son rayon. Construire $\Gamma_2$.
		\item Vérifier que les points A et B sont éléments de $\Gamma_2$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $r_1$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les images des points A et B par la rotation $r_1$ ?
Construire l'image C$_1$ du point C par la rotation $r_1$ puis calculer son affixe.
		\item Déterminer l'image du cercle $\Gamma_2$ par la rotation $r_1$.
	\end{enumerate}
\item Soit $r$ une rotation. Pour tout point $M$ d'affixe 
$z$, on note $M'$ l'image de $M$ par $r$ et $z'$ l'affixe de $M'$.

On posera : $z'= az + b$, avec $a$ et $b$ des nombres complexes vérifiant 
$|a| = 1$ et $a ­\neq 1$.

On suppose que $r$ transforme le cercle $\Gamma_2$ en le cercle $\Gamma_1$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image du point $\Omega$ par $r$ ? En déduire une relation  entre $a$ et $b$.
		\item Déterminer en fonction de $a$ l'affixe du point $r(\text{C})$, image du point C par la rotation $r$ ; en déduire que le point $r(\text{C})$ appartient ˆ un cercle fixe que l'on définira. Vérifier que ce cercle passe par C$_1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\textbf{Commun ˆà tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : Ďtude d'une fonction $f$ et construction de sa courbe}

\medskip

On considère la fonction $f$ déŽfinie sur $\R$ par

\[f(x) = \text{e}^{-x} \ln \left(1 + \text{e}^x\right).\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapportŽé 
au repère orthogonal \Oij.

L'unitŽé graphique est 1 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que : $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\ln (1 + h)}{h} = 1$. Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Vérifier que pour tout réel $x : f(x) = 
\dfrac{x}{\text{e}^x} + \text{e}^{-x} \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right)$.

DéŽterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item En déduire que la courbe admet deux asymptotes que l'on précisera.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]- 
1~;~+ \infty[$ par :

\[g(t) = \dfrac{t}{1 + t}- \ln (1 + t).\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire le signe de $g(t)$ lorsque $t > 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et l'exprimer en fonction de 
$g\left(\text{e}^x\right),\: f'$ désignant la fonction dérivée de $f$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item Tracer les asymptotes ˆà la courbe $\mathcal{C}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : comportements asymptotiques d'une primitive 
\boldmath $F$ \unboldmath  de \boldmath $f$ \unboldmath sur \boldmath $\R$
\unboldmath}

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par $F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\: \text{d}t.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item ătudier le sens de variations de la fonction $F$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel 
$t,~\dfrac{1}{1 + \text{e}^t} = 1 - \dfrac{\text{e}^t}{1 + \text{e}^t}$	et calculer 

$\displaystyle\int_0^x \dfrac{1}{1 + \text{e}^t}\: 
\text{d}t.$
		\item En déduire, ˆà l'aide d'une intégration par parties, le calcul de 
$F(x)$.
		\item Vérifier que $F(x)$ peut s'Žécrire sous les formes suivantes :

\[\begin{array}{l l c l}
(1)& F(x)&=& x - \ln (1+ \text{e}^x) - f(x) + 2\ln 2.\\
(2)& F(x)& =&\ln \left(\dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\right) -  f(x) + 2\ln 2.\\
\end{array}\]

	\end{enumerate}
\item DéŽterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} F(x)$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left[F(x) - 
x\right]$.

Donner une interprétation graphique de ce résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C ƒ: étude d'une suite}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie sur $\N^*$ par :

\[u_n = f(1) + f(2) + \cdots + f(n) = \displaystyle\sum_{k = 1}^n \text{e}^{-k} \ln (1 + \text{e}^ k).\]

\begin{enumerate}
\item Hachurer sur la représentation graphique un domaine dont l'aire, en unités d'aire, est $u_n$.
\item Déterminer le sens de variation de la suite  $\left(u_n\right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier $k$ tel que $1 
\leqslant k \leqslant n$, on a :

\[f(k) \leqslant \displaystyle\int_{k-1}^{k} f(t)\:\text{d}t.\]

		\item Comparer $u_n$ et $F(n)$.
	\end{enumerate}
\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ?
\end{enumerate}

\vspace{2cm}

\begin{center}

\textbf{Annexe ˆà rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\emph{Réponses ˆà l'exercice} 1 (mettre une croix dans la case 
correspondant ˆà la réponse choisie)

\vspace{0,5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 & (a) & (b) & (c) \\ \hline
1. & 	&	&\\ \hline
2. & 	&	&\\ \hline
3. & 	& 	&\\ \hline
4. & 	&	&\\ \hline
5. & 	& 	&\\ \hline
6. & 	&  	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}