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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{Baccalauréat 
série S Amérique du Nord juin 2003}}\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions : chacune comporte trois réponses, une et une seule étant exacte.}

\emph{Les réponses à cet exercice sont à inscrire dans la feuille jointe 
en annexe, page 5, en cochant pour chaque question la case correspondante à la réponse proposée.}

\emph{Toute réponse ambigüe sera considérée comme une absence de réponse. Toute réponse exacte entraîne une bonification, toute erreur est pénalisée.}

\medskip

On s'intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d'un appareil ménager avant la première panne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité $p$ de durée de vie sans vieillissement, définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty$[. Ainsi, la probabilité d'un intervalle  $[0~;~t[$, notée $p([0~;~t[)$, est la probabilité que l'appareil ménager tombe en panne avant l'instant $t$.

Cette loi est telle que $p([0~;~t[) = \displaystyle\int_0^t 
\lambda \text{e}^{- \lambda x}\: \text{d}x$, où $t$ est un nombre réel positif représentant le nombre d'années (loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda > 0$).

\begin{enumerate}
\item Pour $t \geqslant 0$, la valeur exacte de $p([t~;~+\infty[)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $1 - \text{e}^{-\lambda t}$&\textbf{b.~~} $\text{e}^{-\lambda t}$
&\textbf{c.~~}$1 + \text{e}^{-\lambda t}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item La valeur de $t$ pour laquelle on a $p([0~;~t[) = p([t~;~+\infty[)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{\lambda}{\ln 2}$&
\textbf{c.~~}$\dfrac{\lambda}{2}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item D'après une étude statistique, la probabilité que l'appareil tombe en panne avant la fin de la première année est 0,18. La valeur exacte de $\lambda$ est alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$\ln \left(\dfrac{50}{41}\right)$&\textbf{b.~~}$\ln 
\left(\dfrac{41}{50}\right)$&\textbf{c.~~}$\dfrac{\ln (82)}{\ln (100)}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Sachant que cet appareil n'a connu aucune panne au cours des deux premières années après sa mise en service, la probabilité qu'il ne connaisse aucune panne l'année suivante est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}$p([1;~+ \infty[)$&\textbf{b.~~}$p([3~;~+ \infty[)$&\textbf{c.~~} $p([2~;~3[)$\\
\end{tabularx}
\medskip

Dans la suite de l'exercice on prendra $\lambda = 0,2$.

\item La probabilité que l'appareil n'ait pas eu de panne au cours des
trois premières années, arrondie à $10^{-4}$ près, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}\np{0,5523}&\textbf{b.~~}\np{0,5488}& \textbf{c.~~} \np{0,4512}\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Dix appareils neufs de ce type ont été mis en service en même temps. On désigne par $X$ la  variable aléatoire égale au nombre d'appareils qui n'ont pas de panne au cours des trois premières années.

La valeur la plus proche de la probabilité de l'évènement \og $X = 4$ \fg{} est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \np{0,5555}&\textbf{b.~~} \np{0,8022}&\textbf{c.~~}\np{0,1607}\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \Ouv, d'unité graphique 1 cm, on considère  les points A$_0$, A$_1$, A$_2$ d'affixes respectives

\[z_0 = 5 - 4\text{i},\quad  z_1 = - 1- 4\text{i}, \quad z_2 = - 4 - \text{i}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'existence d'une unique similitude directe 
$S$ telle que $S(\text{A}_0)~=~\text{A}_1$ et $S (\text{A}_1) = \text{A}_2$.
		\item Établir que l'écriture complexe de $S$ est $z'= 
\dfrac{1 - \text{i}}{2}z + \dfrac{- 3 + \text{i}}{2}$.
		\item En déduire le rapport, l'angle et l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ de la similitude $S$.
		\item On considère un point $M$, d'affixe $z$ avec $z ­\neq 0$, et son image $M'$, d'affixe $z'$.

Vérifier la relation : $\omega - z'= \text{i}(z - z')$ ; en déduire la nature du triangle $\Omega MM'$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, le point A$_{n+1}$, est 
défini par A$_{n+1} = S(\text{A}_n)$ et on pose $u_n = 
\text{A}_n\text{A}_{n+1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A$_0$,~ A$_1$, A$_2$ et construire géoétriquement les points A$_3$,~ A$_4$,~ A$_5$,~ A$_6$.
		\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est géométrique.
	\end{enumerate}
\item La suite $\left(v_n\right)$ est définie sur $\N$ par $v_n = u_0 + 
u_1 + \cdots + u_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item La suite $\left(v_n\right)$ est-elle convergente ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en fonction de $n$ le rayon $r_n$ du cercle 
circonscrit au triangle $\Omega\text{A}_n\text{A}_{n+1}$.
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $p$ tel que, pour tout entier naturel $n$ : si $n > p$ alors $r_n < 10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).

On consodère les points A, B et C d'affixes respectives 
$z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3},$

$z_{\text{B}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}} = 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer ces points sur un dessin.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que : $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}
}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}} } = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
		\item Déterminer le centre et le rayon du cercle $\Gamma_1$ circonscrit au triangle ABC.

Tracer le cercle $\Gamma_1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$  d'affixe $z$ qui vérifient 

$2(z + \overline{z})~+~z\overline{z}~=~0$
est un cercle de centre $\Omega$ d'affixe $- 2$. Préciser son rayon. Construire $\Gamma_2$.
		\item Vérifier que les points A et B sont éléments de $\Gamma_2$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $r_1$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les images des points A et B par la rotation $r_1$ ?
Construire l'image C$_1$ du point C par la rotation $r_1$ puis calculer son affixe.
		\item Déterminer l'image du cercle $\Gamma_2$ par la rotation $r_1$.
	\end{enumerate}
\item Soit $r$ une rotation. Pour tout point $M$ d'affixe 
$z$, on note $M'$ l'image de $M$ par $r$ et $z'$ l'affixe de $M'$.

On posera : $z'= az + b$, avec $a$ et $b$ des nombres complexes vérifiant 
$|a| = 1$ et $a ­\neq 1$.

On suppose que $r$ transforme le cercle $\Gamma_2$ en le cercle $\Gamma_1$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image du point $\Omega$ par $r$ ? En déduire une relation  entre $a$ et $b$.
		\item Déterminer en fonction de $a$ l'affixe du point $r(\text{C})$, image du point C par la rotation $r$ ; en déduire que le point $r(\text{C})$ appartient  un cercle fixe que l'on définira. Vérifier que ce cercle passe par C$_1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction $f$ et construction de sa courbe}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = \text{e}^{-x} \ln \left(1 + \text{e}^x\right).\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté 
au repère orthogonal \Oij.

L'unité graphique est 1 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que : $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\ln (1 + h)}{h} = 1$. Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Vérifier que pour tout réel $x : f(x) = 
\dfrac{x}{\text{e}^x} + \text{e}^{-x} \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right)$.

Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item En déduire que la courbe admet deux asymptotes que l'on précisera.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]- 
1~;~+ \infty[$ par :

\[g(t) = \dfrac{t}{1 + t}- \ln (1 + t).\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire le signe de $g(t)$ lorsque $t > 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et l'exprimer en fonction de 
$g\left(\text{e}^x\right),\: f'$ désignant la fonction dérivée de $f$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item Tracer les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : comportements asymptotiques d'une primitive 
\boldmath $F$ \unboldmath  de \boldmath $f$ \unboldmath sur \boldmath $\R$
\unboldmath}

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par $F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\: \text{d}t.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variations de la fonction $F$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel 
$t,~\dfrac{1}{1 + \text{e}^t} = 1 - \dfrac{\text{e}^t}{1 + \text{e}^t}$	et calculer 

$\displaystyle\int_0^x \dfrac{1}{1 + \text{e}^t}\: 
\text{d}t.$
		\item En déduire, à l'aide d'une intégration par parties, le calcul de 
$F(x)$.
		\item Vérifier que $F(x)$ peut s'écrire sous les formes suivantes :

\[\begin{array}{l l c l}
(1)& F(x)&=& x - \ln (1+ \text{e}^x) - f(x) + 2\ln 2.\\
(2)& F(x)& =&\ln \left(\dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\right) -  f(x) + 2\ln 2.\\
\end{array}\]

	\end{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} F(x)$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left[F(x) - 
x\right]$.

Donner une interprétation graphique de ce résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : étude d'une suite}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie sur $\N^*$ par :

\[u_n = f(1) + f(2) + \cdots + f(n) = \displaystyle\sum_{k = 1}^n \text{e}^{-k} \ln (1 + \text{e}^ k).\]

\begin{enumerate}
\item Hachurer sur la représentation graphique un domaine dont l'aire, en unités d'aire, est $u_n$.
\item Déterminer le sens de variation de la suite  $\left(u_n\right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier $k$ tel que $1 
\leqslant k \leqslant n$, on a :

\[f(k) \leqslant \displaystyle\int_{k-1}^{k} f(t)\:\text{d}t.\]

		\item Comparer $u_n$ et $F(n)$.
	\end{enumerate}
\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ?
\end{enumerate}

\vspace{2cm}

\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\emph{Réponses à l'exercice} 1 (mettre une croix dans la case 
correspondant à la réponse choisie)

\vspace{0,5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 & (a) & (b) & (c) \\ \hline
1. & 	&	&\\ \hline
2. & 	&	&\\ \hline
3. & 	& 	&\\ \hline
4. & 	&	&\\ \hline
5. & 	& 	&\\ \hline
6. & 	&  	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}