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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm} 
\lhead{\small Baccalauréat TL spécialité}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small juin 2009}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat TL spécialité Amérique du Nord~\decofourright\\
juin 2009} 
\end{center} 

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Marie possède un jeu électronique ayant deux niveaux de jeu. Au début de chaque partie, elle choisit au hasard un des niveaux de jeu. Une étude statistique des parties déjà jouées permet d'affirmer que si Marie joue au niveau 1, elle gagne trois fois sur quatre et si elle joue au niveau 2, elle ne gagne que deux fois sur cinq.
 
Marie joue une partie. 

On note A, B et G les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] A : \og Marie joue au niveau 1 \fg
\item[] B : \og Marie joue au niveau 2 \fg
\item[] G : \og Marie gagne la partie \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Donner, à l'aide de l'énoncé : 
	\begin{enumerate}
		\item[] la probabilité P(A) de l'évènement A. 
		\item[] la probabilité P(B) de l'évènement B. 
		\item[] la probabilité P$_{\text{A}}$(G) que Marie gagne la partie sachant qu'elle a joué au niveau 1. 
		\item[] la probabilité P$_{\text{B}}$(G) que Marie gagne la partie sachant qu'elle a joué au niveau 2. 
	\end{enumerate}
	
\bigskip
	
\textbf{Pour les questions suivantes, on pourra utiliser un arbre de probabilité. Il conviendra alors de le représenter sur la copie. }

\medskip

\item Démontrer que la probabilité que Marie gagne est égale à $0,575$. 
\item Déterminer la probabilité que Marie ait joué au niveau 2 sachant qu'elle a gagné la partie. 

On donnera le résultat arrondi au centième. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe ci-dessous illustre l'évolution de la température en degrés Celsius d'une plaque chauffante en fonction du temps écoulé en secondes.

\medskip

\psset{unit=0.0147cm}
\begin{pspicture}(-30,-20)(780,350)
\def\pshlabel#1{\scriptsize $#1$}
\def\psvlabel#1{\scriptsize $#1$}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=60,Dy=20]{->}(0,0)(-30,-19)(720,350)
\multido{\n=0+60}{13}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,340)}
\multido{\n=0+20}{18}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(720,\n)}
\uput[u](630,0){Temps en secondes}\uput[dl](0;,0){O}
\rput(100,330){Température en \degres C}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{0}{600}{600 576 2.71828 0.001 x mul exp div sub}
\end{pspicture}
 
\medskip  
 
Déterminer graphiquement une valeur approchée de :

	\begin{enumerate}
		\item la température de la plaque au bout de cinq minutes ; 
		\item l'instant où la température de la plaque atteint 120 \degres C. 
	\end{enumerate}
\item  La fonction représentée à la question 1. est définie sur l'intervalle [0~;~600] par :
 
\[f(t) = 600 - 576\text{e}^{-0,001t} \]

	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
		 
Calculer $f'(t)$ lorsque $t$ appartient à l'intervalle [0~;~600].
		\item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~600]. 
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous en arrondissant au dixième.
	
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$& 180 &181 &182 &183 &184 &185 \\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\item En déduire l'instant, à la seconde près, où la température de la plaque atteint 120 \degres C. 
	\item Résoudre l'équation $f(t) = 120$ sur l'intervalle [0~;~600] et vérifier que la valeur exacte de la solution est $\np{1000}\ln (1,2)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabular}{l c l}
Entrée 	&:	& $n$ est un entier naturel non nul\\ 
Initialisation	&:	& Donner à A et B la valeur 1 et à K la valeur $0$\\ 
Traitement	&:	& Tant que K $< n$, réitérer la procédure suivante\\ 
&&\begin{tabular}{|l}
donner à A la valeur 4A\\
donner à B la valeur B + 4\\
donner à K la valeur K +1\\
\end{tabular}\\
Sortie &:& Afficher A et B \\
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour $n = 2$, l'affichage obtenu est 16 pour A et 9 pour B.
 
Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de $n$	& 1 	&2 	&3 	&4 \\ \hline
Affichage pour A	&	& 16 	&	& \\ \hline
Affichage  pour B	&	& 9	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\item Pour un entier naturel non nul quelconque $n$, l'algorithme affiche en sortie les valeurs des termes de rang $n$ d'une suite géométrique et d'une suite arithmétique.
 
Donner le premier terme et la raison de chacune de ces suites.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Voici quatre propositions : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[] $\mathcal{P}_{1}$ : \og Pour tout $n$ entier naturel, $4^n > 4n+ 1$ \fg 
\item[] $\mathcal{P}_{2}$ : \og Pour tout $n$ entier naturel, $4^n \leqslant  4n + 1$ \fg 
\item[] $\mathcal{P}_{3}$ : \og Il existe au moins un entier naturel $n$ tel que $4^n \leqslant 4n+ 1$ \fg 
\item[] $\mathcal{P}_{4}$ : \og Il existe un unique entier naturel $n$ tel que $4^n \leqslant 4n+ 1$ \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\begin{enumerate}
\item  Pour chacune d'elles, dire sans justification si elle est vraie ou fausse.
\item  L'une des trois dernières est la négation de la propriété $\mathcal{P}_{1}$. Laquelle ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $p$ un entier naturel non nul. 
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $4(p + 1)+1 - 4(4p + 1)$. 
		\item En déduire l'inégalité $4(4p + 1) > 4(p + 1) +1$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. }

Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$, a-t-on l'inégalité $4^n > 4n + 1$ ? 
\end{enumerate}
\end{document}