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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amerique du Nord}}
\rfoot{\small 1\up{er} juin 2005}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Amérique du Nord~\decofourright \\1\up{er} juin 2005}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textsl{Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.}

\textbf{Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant  à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée  à 0.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d'affixes respectives 

$- 2 +3\text{i},~- 3 - \text{i}$ et $2,08 + 1,98\text{i}$.

Le triangle ABC est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} : isocèle et non rectangle	&\textbf{b.~~} : rectangle et non isocèle\\
\textbf{c.~~} : rectangle et isocèle		&\textbf{d.~~} : ni rectangle ni isocèle\end{tabularx}

\item À tout nombre complexe $z \neq -2$, on associe le nombre complexe $z'$ défini par : $z' = \dfrac{z -4\text{i}}{z+2}$.

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z'| =1$  est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} : un cercle de rayon 1		&\textbf{b.~~} : une droite\\
\textbf{c.~~} : une droite privée d'un point&\textbf{d.~~} : un cercle privé d'un point\\
\end{tabularx}

\item Les notations sont les mêmes qu'à la question 2.

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ est un réel est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} : un cercle						&\textbf{b.~~} : une droite\\
\textbf{c.~~} : une droite privée d'un point 	&\textbf{d.~~} : un cercle privé d'un point\\
\end{tabularx}

\item 	Dans le plan complexe, on donne le point D d'affixe i. L'écriture complexe de la rotation de centre D et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} : $z' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$ &\textbf{b.~~} : $z' = \left(-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$\\
\textbf{c.~~} : $z' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}$	&\textbf{d.~~}	$z' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Le graphique de l'annexe  sera complété et remis avec la copie.

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par 

\[f(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 1}.\]

\begin{enumerate}
\item	Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle [0 ; 2]. Montrer que si $x \in [1 ~;~2]$ alors $f(x) \in [1~;~2]$.

\item $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites définies sur $\N$ par :

$u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} = f(u_{n})$.

$v_{0} = 2$ et pour tout entier naturel $n,~ v_{n+1} =  f(v_{n})$.
	\begin{enumerate}
		\item Le graphique donné en annexe représente la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. 

Construire sur l'axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ en laissant apparents tous les traits de construction.

À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ?
	\item Montrer  à l'aide d'un raisonnement par récurrence que :

Pour tout entier naturel $n,~ 1 \leqslant v_{n} \leqslant 2$.

Pour tout entier naturel $n,~ v_{n+1} \leqslant  v_{n}$.

On admettra que l'on peut démontrer de la même façon que :

Pour tout entier naturel $n$,\: $1 \leqslant u_{n} \leqslant 2$.

Pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n} \leqslant  u_{n+1}$.
	\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{v_{n} - u_{n}}{\left(v_{n} + 1 \right)\left(u_{n} + 1\right)}$.

En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $v_{n} - u_{n} \geqslant  0$ et 

$v_{n+1} - u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{4}\left(v_{n} - u_{n}\right)$.
	\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $v_{n} - u_{n} \leqslant \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$.
	\item Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent vers un même réel $\alpha$.

Déterminer la valeur exacte de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 


\[ f(x) = (x - 1)\left(2 - \text{e}^{-x}\right).\]

Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous (unité graphique 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x -2$ est asymptote  à $\mathcal{C}$.

		\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = x\text{e}^{-x} +2\left(1 - \text{e}^{-x}\right)$.
		\item En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x) > 0$.
		\item Préciser la valeur de $f'(0)$, puis établir le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$.
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le point A de $\mathcal{C}$ où la tangente  à $\mathcal{C}$ est parallèle  à $\Delta$.
		\item Calculer la distance, exprimée en cm, du point A  à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=2cm} 
\begin{pspicture}(-1,-1)(3.1,4.1)
\psaxes{->}(0,0)(-1,-1)(3,4)
\psaxes(0,0)(-1,-1)(3,4)
\uput[dl](0,0){O}
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(3,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{3}{2 2.71828 x neg exp sub x 1 sub mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

On dispose d'un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3.

On dispose également d'une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes).

Un joueur fait une partie en deux étapes :

Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu.

Deuxième étape :

\setlength\parindent{5mm}  
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l'urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
\item[$\bullet~$] 	si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
\item[$\bullet~$] 	si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

À la fin de chaque partie, il remet dans l'urne la ou les boules tirée(s).

On définit les évènements suivants :

$D_{1}$ : \og le dé indique 1 \fg{}\hspace{1cm}	$D_{2}$ : \og le dé indique 2 \fg 

$D_{3}$ : \og le dé indique 3 \fg{}  \hspace{1cm} $G$ : \og la partie est gagnée \fg.

\smallskip

$A$ et $B$ étant deux évènements tels que $p(A) \neq 0$, on note $p_{A}(B)$ la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les probabilités $p_{D_{1}}(\text{G}),~ p_{D_{2}}(G)$,  et $p_{D_{3}}(G)$

		\item Montrer alors que $p(G) = \dfrac{23}{180}$.
	\end{enumerate}
\item Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu'il ait obtenu le numéro 1 avec le dé.
\item Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu'il en gagne exactement deux et en donner une valeur arrondie  à $10^{-2}$ près.

Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d'en gagner au moins une soit supérieure  à 0,9 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

La figure jointe en annexe sera complétée au cours de l'exercice et remise avec la copie. On y laissera apparents les traits de construction.

Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC  tel que AB = 2, AC = $1 + \sqrt{5}$ et 

$\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item \textsl{Démonstration de cours} : démontrer qu'il existe une seule similitude directe $S$ transformant B en A et A en C.
		\item Déterminer le rapport et une mesure de l'angle de $S$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $\Omega$ le centre de $S$. Montrer que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [AB] et  à la droite (BC). Construire le point $\Omega$.

\item On note D l'image du point C par la similitude $S$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer l'alignement des points A, $\Omega$ et D ainsi que le parallélisme des droites (CD) et (AB). Construire le point D.
		\item Montrer que CD $=  3+ \sqrt{5}$.
	\end{enumerate}
\item Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer la construction de l'image F du point E par $S$ et placer F sur la figure.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ?
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\textsl{Cette page sera remise avec la copie à la fin de l'épreuve}}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe : exercice 2}

\vspace{1cm}

\psset{unit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2,2)
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\end{pspicture}
\end{center}
 
\vspace{1cm}

\begin{center}

\textbf{Annexe : exercice de spécialité}

\vspace{1cm}

\begin{pspicture}(7,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange](-1,-1)(7,5)
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\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document} 