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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord }}
\rfoot{\small{29 mai 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 29 mai 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} unité graphique : $4$~cm.

On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} =  2 + \text{i}$ et le cercle ($\Gamma$) de centre A et de rayon~$\sqrt{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les affixes des points d'intersection de ($\Gamma$) et de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$.
		\item 	On désigne par B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{B}} = 1$ et $z_{\text{C}} = 3$.
		
Déterminer l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle ($\Gamma$).
	\end{enumerate}		
\item  Soit M le point d'affixe $\dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{5}\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre complexe $\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{M}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{M}}}$.
		\item  Interpréter géométriquement un argument du nombre $\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{M}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{M}}}$	; en déduire que le point M appartient au cercle ($\Gamma$).
		\end{enumerate}
\item	On note ($\Gamma'$) le cercle de diamètre [AB].

La droite (BM) recoupe le cercle ($\Gamma'$) en un point N.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles.
		\item  Déterminer l'affixe du point N.
\end{enumerate}
\item	On désigne par M$'$ l'image du point M par la rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'affixe du point M$'$.
		\item  Montrer que le point M$'$ appartient au cercle ($\Gamma'$).
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère deux points A et D de l'espace et on désigne par I le milieu du segment [AD].

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout point M de l'espace, 	$\vect{\text{MD}}\cdot \vect{\text{MA}}= \text{MI}^2 - \text{IA}^2$.
\item  En déduire l'ensemble (E) des points M de l'espace, tels que $\vect{\text{MD}}\cdot \vect{\text{MA}}= 0$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip
 
Dans l'espace rapporté au repère orthonormal \Oijk, les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives :

\[\text{A}(3~;~0~;~0),\:\text{B}(0~;~6~;~0),\:\text{C}(0~;~0~;~4)\: \text{et}\:\:\text{D}(-5~;~0~;~1).\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{c}4\\2\\3\\ \end{array}\right)$ est normal au plan (ABC).
		\item  Déterminer une équation du plan (ABC).
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, orthogonale au plan (ABC) passant par D.
		\item  En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
		\item  Calculer la distance du point D au plan (ABC).
		\item  Démontrer que le point H appartient l'ensemble (E) défini dans la partie A.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
	
L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk.

On nomme (S) la surface d'équation $x^2 +y^2 - z^2 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan ($x$O$y$).
\item 	On nomme A et B les points de coordonnées respectives $(3~;~ 1~;~-3)$ et $(- 1~;~1~;~1)$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par les points A et B.
		\item Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S).
	\end{enumerate}
\item Déterminer la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan ($x$O$y$).
\item
	\begin{enumerate}
		\item On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan d'équation $z = 68$. Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe.
		\item $M$ étant un point de (C), on désigne par $a$ son abscisse et par $b$ son ordonnée. 
		
On se propose de montrer qu'il existe un seul point $M$ de (C) tel que $a$ et $b$ soient de entiers naturels vérifiant $a < b$ et ppcm$(a~;~b) =  440$, c'est-à-dire tel que $(a~;~b)$ soit solution du système 

(1) : $\left\{\begin{array}{l}
a < b\\
a^2 + b^2 =  \np{4625}\\ 
\text{ppcm}(a~ ;~b) = 440\\
\end{array}\right.$

Montrer que si $(a~;~b)$ est solution de (1) alors pgcd$(a~;~b)$ est égal à $1$ ou $5$.

Conclure
	\end{enumerate}
\emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ par
 
\[f(x) =  \ln x - \dfrac{1}{\ln x}.\]

On nomme ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ et $\Gamma$ la courbe d'équation $y = \ln x$ dans un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ et préciser les limites en $1$ et en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) - \ln x]$.
		
Interpréter graphiquement cette limite.
		\item  Préciser les positions relatives de ($\mathcal{C}$) et de $\Gamma$.
 	\end{enumerate}
\item	On se propose de chercher les tangentes à la courbe ($\mathcal{C}$) passant par le point O.
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $a$ un réel appartenant à l'intervalle $]1~;~ +\infty[$.
		
Démontrer que la tangente $\mathcal{T}_{a}$ à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $a$ passe par l'origine du repère si et seulement si $f(a) -af'(a) = 0$.

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$ par 

\[g(x) = f(x) - xf'(x).\]
		
		\item  Montrer que sur $]1~;~+\infty[$, les équations $g(x) = 0$ et 
		
		$(\ln x)^3 - (\ln x)^2- \ln x - 1 =  0$ ont les mêmes solutions.
		\item  Après avoir étudié les variations de la fonction $u$ définie sur $\R$ par 
		
		$u(t) = t^3-t^2 -t - 1$ montrer que la fonction $u$ s'annule une fois et une seule sur $\R$.
		\item  En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe ($\mathcal{C}$) passant par le point O.
		
		 La courbe ($\mathcal{C}$) et la courbe $\Gamma$ sont données en annexe.
		 
		 Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.
	\end{enumerate}
\item	On considère un réel $m$ et l'équation $f(x) = mx$ d'inconnue $x$.

Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel $m$, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle ]1~;~10].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ non nul par :

\[ x_{n} = \int_{0}^1 t^n \cos t\:\text{d}t \quad \text{et}\quad  y_{n} = \int_{0}^1 t^n \sin t\:\text{d}t .\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(x_{n}\right)$ est à termes positifs.
		\item Étudier les variations de la suite $\left(x_{n}\right)$.
		\item Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $\left(x_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, ~$x_{n} \leqslant \dfrac{1}{n+1}$. 
		\item  En déduire la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_{n+1} = -(n + 1)y_{n} + \sin (1)$.
		\item  En déduire que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} y_{n} = 0$.
	\end{enumerate}
\item	On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $y_{n+1} = (n + 1)x_{n} - \cos (1)$.

Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n x_{n}$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n y_{n}.$
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large Annexe}

\bigskip

Cette page est à compléter et à remettre avec la copie à la fin de l'épreuve

\vspace{1cm}

\end{center}
 
\textbf{Exercice 3}
  
\textbf{Représentations graphiques obtenues à l'aide d'un tableur}
 
\vspace{1cm}
 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(0,-4.1)(12,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(0,-3)(12,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-3)(12,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,-3)(12,3)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.05}{11.5}{x ln}
\psplot[linestyle=dashed,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{1.355}{11.5}{x ln 1 x ln div sub}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,-4)(1.5,-4)  
\rput(6,-4){Courbe $\Gamma$ représentative de la fonction ln}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](0,-4.5)(1.5,-4.5)  
\rput(6,-4.5){Courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}