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%tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}    % entête et bas de page
\lhead{\small Bac L facultatif}%tapez un titre
\lfoot{\small{Am\'erique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2002}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center}\textbf{Dur\'ee : 3 heures}
    
\vspace{0,5cm}
    
{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalaur\'eat  L Am\'erique du Sud novembre 2002 \decofourright}} 

\vspace{0,5cm}

LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1 ET L'EXERCICE 2
	ET AU CHOIX SOIT L'EXERCICE 3 SOIT L'EXERCICE 4.
\vspace{0,5cm}

L'usage de la calculatrice est autoris\'e pour cette \'epreuve.
L'attention des candidats est attir\'ee sur le fait que la qualit\'e de la r\'edaction,
 la clart\'e et la pr\'ecision des raisonnements entrent pour une part importante dans
 l'appr\'eciation des copies.\end{center}
 
\vspace{1cm} 

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1 obligatoire} \hfill 6 points}

À \og La ferme de la poule pondeuse \fg{}, chaque jour on produit des {\oe}ufs de deux tailles
 diff\'erentes :

$60\:\%$ des {{\oe}}ufs sont moyens et $40\:\%$ des {\oe}ufs sont gros.

\noindent Les {\oe}ufs sont class\'es en deux cat\'egories : ceux de qualit\'e ordinaire et ceux de
 qualit\'e sup\'erieure.

\noindent On a remarqu\'e que :

$50\:\%$ des {\oe}ufs moyens sont de qualit\'e ordinaire,

$20\:\%$ des gros {\oe}ufs sont de qualit\'e ordinaire.

\noindent On choisit un {\oe}uf au hasard. Le choix au hasard d'un {\oe}uf dans la production du jour signifie qu'on se place dans un mod\`ele avec \'equiprobabilit\'e. On d\'efinit les \'ev\`enements
 suivants :

M : \og l'{\oe}uf est moyen \fg{},

G : \og l'{\oe}uf est gros \fg{},

O : \og l'{\oe}uf est de qualit\'e ordinaire \fg{},

S : \og l'{\oe}uf est de qualit\'e sup\'erieure \fg{}.

\begin{enumerate} \item Donner les probabilit\'es suivantes :

$P$(G), probabilit\'e que l'{\oe}uf soit gros,

P$_{\text{G}}$(S), probabilit\'e que l'{\oe}uf soit de qualit\'e sup\'erieure sachant qu'il
 est gros.

\item D\'emontrer que la probabilit\'e de prendre un {\oe}uf gros et de qualit\'e sup\'erieure est
 \'egale \`a 0,32.

\item Calculer la probabilit\'e $P(\text{M} \cap  \text{S})$ que l'{\oe}uf soit moyen et de
 qualit\'e sup\'erieure puis la probabilit\'e $P$(S) de l'\'ev\`enement S.
 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2 obligatoire} \hfill 8 points}

On veut r\'esoudre, dans l'ensemble des nombres r\'eels $\R$ l'\'equation : 

\[x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = 0.\]

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{A -- M\'ethode graphique :}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item V\'erifier que le nombre 2 n'est pas solution de l'\'equation.

\item Montrer que, pour $x	\neq 2$, l'\'equation $x^2 =	\cfrac{4x - 5}{x-2}$ est \'equivalente
 \`a l'\'equation $x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = 0$.
 
\end{enumerate} 

\item Soit $f$ la fonction d\'efinie pour tout r\'eel $x$ diff\'erent de 2 par $f(x) = \cfrac{4x - 5}{x-2}$.
 Sa courbe repr\'esentative $\mathcal{H}$ dans un rep\`ere orthonorm\'e est donn\'ee en annexe
 \`a rendre avec la copie.

\begin{enumerate} \item Par lecture graphique, indiquer le sens de variations de $f$ sur chacun des
 intervalles $] - \infty~;~ 2 [$ et $] 2~;~ +\infty[$.

\item D\'eterminer la d\'eriv\'ee $f'$ de $f$ puis justifier le r\'esultat lu dans la question
 pr\'ec\'edente.
 
\end{enumerate}

\item Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $g(x) = x^2$. Tracer sa courbe repr\'esentative
$\mathcal{P}$ dans le rep\`ere utilis\'e pour utilis\'e pour $\mathcal{H}$.

\item Par lecture graphique, d\'eterminer le nombre de solutions dans $\R$ de l'\'equation 
$x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = 0$. Donner la valeur exacte ou une valeur approch\'ee 
\`a $10^{-1}$ pr\`es de chacune de ces solutions.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{B - M\'ethode alg\'ebrique}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate} \item V\'erifier que, pour tout r\'eel $x~:~ (x - 1) (x^2 - x - 5) = x^3 - 2x^2 - 4x + 5$.

\item Soit $h$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $h(x) = x^2 - x - 5$.

\begin{enumerate} \item \'Etudier le sens de variation de $h$.

\item Montrer que $h\left(\cfrac{1}{2}\right)$ est la valeur minimum prise 
par $h$.

\item On pose $x = \cfrac{1}{2} + u$. Exprimer $h\left(\cfrac{1}{2} + u\right)$ en
 fonction de $u$~; factoriser l'expression obtenue.

\item En d\'eduire les valeurs du r\'eel $x$ pour lesquelles $h(x) = 0$.

\end{enumerate}

\item Donner l'ensemble des solutions dans $\R$ de l'\'equation $x^3 - 2x^2 - 4x + 
5 =  0.$

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center} \textbf{\gray LE CANDIDAT TRAITERA L'UN DES DEUX EXERCICES 
SUIVANTS} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3  au choix} \hfill 6 points}

On divise un triangle \'equilat\'eral en quatre triangles \'equilat\'eraux obtenus en tra\c{c}ant
 les segments joignant les milieux des c\^ot\'es et on noircit le triangle central.
 Chaque triangle non noirci est alors divis\'e en quatre triangles \'equilat\'eraux selon
 le m\^eme proc\'ed\'e et on noircit le triangle central comme pr\'ec\'edemment.

\begin{center}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,2.5)
\pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.598)
\pspolygon(5,0)(8,0)(6.5,2.598)
\pspolygon*(6.5,0)(7.25,1.299)(5.75,1.299)
\pspolygon(10,0)(13,0)(11.5,2.598)
\pspolygon*(11.5,0)(12.25,1.299)(10.75,1.299)
\pspolygon*(12.25,0)(12.625,0.6495)(11.875,0.6495)
\pspolygon*(11.5,1.299)(11.875,1.9485)(11.125,1.9425)
\pspolygon*(10.75,0)(11.125,0.6495)(10.375,0.6495)
\uput[d](6.5,-0.2){$1^{\text{\`ere}}$ \'etape}'
\uput[d](11.5,-0.2){$2^{\text{e}}$ \'etape}
\end{pspicture}
\end{center}
 	
\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item R\'ealiser la $3^{\text{e}}$ \'etape en partant d'un triangle \'equilat\'eral
 de c\^ot\'e 16 cm. Combien de triangles noircis ont-ils \'et\'e rajout\'es ?

\item Combien de triangles noircis seront-ils rajout\'es \`a la quatri\`eme \'etape ?

\end{enumerate}

\item On note $T_n$ le nombre de triangles noircis rajout\'es \`a la $n$-i\`eme \'etape o\`u $n$
 est un entier sup\'erieur ou \'egal \`a 1.

La suite $\left(T_n\right)$, ainsi d\'efinie, est une suite g\'eom\'etrique de raison 3.

\begin{enumerate} \item Donner la valeur de $T_1,~ T_2,~ T_3$.

\item Exprimer $T_n$ en fonction de $n$. V\'erifier les r\'esultats trouv\'es \`a la 
question \textbf{1.}

\end{enumerate}

\item Calculer le nombre total de triangles noircis apr\`es la dixi\`eme \'etape.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 4 au choix} \hfill 6 points}

Une urne contient 11 jetons (indiscernables au toucher) num\'erot\'es de 1 \`a 11.

On tire simultan\'ement trois jetons de l'urne.

\begin{enumerate} \item D\'emontrer que le nombre de tirages possibles est \'egal \`a 165.

\item \begin{enumerate} \item D\'eterminer le nombre de tirages ne comportant que des jetons ayant un num\'ero impair.

\item En d\'eduire le nombre de tirages ayant au moins un jeton dont le num\'ero 
est pair.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item D\'eterminer le nombre de tirages comportant trois jetons ayant un num\'ero pair.

\item D\'eterminer le nombre de tirages comportant le jeton num\'erot\'e 2 et aucun autre
 jeton ayant un num\'ero pair. En d\'eduire le nombre de tirages avec un seul jeton portant
 un num\'ero pair.

\item Justifier que le nombre de tirages ayant seulement deux jetons avec un num\'ero
 pair est \'egal \`a 60.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}