%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{septembre 1999}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 1999~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un appareil électronique envoie à une imprimante un code qui est un
nombre de quatre chiffres, chaque chiffre ne pouvant prendre que les valeurs0 ou 1 (par exemple : $1011$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Combien l'appareil peut-il fabriquer de codes distincts ?

\hspace{-1,4cm} \textsl{On supposera dans ce qui suit que tous ces codes ont la même probabilité}

\hspace{-1,4cm} \textsl{d'être produits}.

		\item Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de 1 figurant
dans le code. Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance
mathématique.
	\end{enumerate}
\item Une imprimante a été choisie au hasard dans une série.

À la suite d'études antérieures, on a observé cinq cas possibles. Dans 
le cas E$_{0}$, l'imprimante n'écrit que des $0$, quel que soit le code émis par l'appareil. Pour chaque élément $n$ de l'ensemble $\{ 1,~ 2,~ 3\}$, dans 
le cas E$_{n}$ l'imprimante écrit correctement les $n$ premiers caractères du code et n'écrit  ensuite que des $0$.

Par exemple, lorsque E$_{2}$ survient, tous les codes commençant 
par $01$ sont imprimés $0100$. Dans le cas E$_{4}$, l'imprimante fonctionne 
correctement.

L'état de l'imprimante sera donc considéré comme le résultat 
d'une épreuve aléatoire ayant cinq issues possibles $\text{E}_{0},~\text{E}_{1},~\text{E}_{2},~ \text{E}_{3},~ \text{E}_{4}$. On admet que, pour chaque élément $n$ de l'ensemble \{ 0,~ 1,~ 2,~ 3\},~ 
$P(\text{E}_{n}) = 32 \times  10^{-3}$. Le code émis par l'appareil est indépendant de l'état de l'imprimante.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $P(\text{E}_{4})$. Pour la suite, C
 désigne l'évènement : \og le code imprimé est identique à celui émis par l'appareil \fg.
		\item On suppose que E$_{0}$ se produit. Quelle est la probabilité 
$P(\text{C}/\text{E}_{0})$ que le code imprimé soit quand même celui que l'appareil a 
envoyé ?

En déduire la probabilité $P(\text{C} \cap  \text{E}_{0})$.
		\item Déterminer de même $P(\text{C}/\text{E}_{n})$ puis $P(\text{C} \cap  \text{E}_{n})$ pour tout élément $n$ de l'ensemble \{1,~ 2,~3,~4\}. En déduire $P$(C).
		\item Si le code imprimé est exactement celui émis par l'appareil, quelle est la probabilité que E$_{2}$ se soit produit ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

On pose $I_{0} = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin 
3x\:\text{d}x$ et, pour tout nombre $n$ entier naturel non nul,

$I_{n} = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} x^n\sin 
3x\:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $I_{0}$.

		\item En utilisant une intégration par parties, calculer $I_{1}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En effectuant deux intégrations par parties 
successives, déterminer, lorsque $n \geqslant 1,~I_{n+2}$ en fonction de 
$I_{n}$.
		\item Vérifier que $I_{3} = \dfrac{\pi^2}{108} - \dfrac{2}{27}$.
	\end{enumerate}
\item Sans calculer l'intégrale $I_{n}$,
	\begin{enumerate}
		\item montrer que la suite $\left(I_{n}\right)_{n\in 
\N}$ est monotone ;
		\item pour tout nombre $n$ entier naturel non nul, comparer $I_{n}$ à 
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} x^n\:\text{d}x$.
		\item déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

On considère l'équation

\[(1)\qquad  :\quad  20b - 9c = 2.\]

où les inconnues $b$ et $c$ appartiennent à l'ensemble $\Z$ des 
nombres entiers relatifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si le 
couple $(b_{0}~;~c_{0}$ d'entiers relatifs est une solution de l'équation
(1), alors $c_{0}$ est un multiple de 2.
		\item On désigne par $d$ le p.g.c.d. de $|b_{0}|$ et $|c_{0}|$. Quelles sont 
les valeurs possibles de $d$ ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer une solution particulière de l'équation (1), 
puis déterminer l'ensemble des solutions de cette équation.
\item Déterminer l'ensemble des solutions $(b~;~ c)$ de (1) 
telles que p.g.c.d.$(b~;~c) = 2$.
\item Soit $r$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2.
Le nombre entier naturel $P$, déterminé par $P = \alpha_{n}r^n + 
\alpha_{n-1}r^{n-1} + ... + \alpha_{1}r  + \alpha_{0}$, où
$\alpha_{n},~\alpha_{n-1},~ ... , \alpha_{1},~ \alpha_{0}$ sont des nombres entiers naturels vérifiant 
$0 < \alpha_{n} < r,~ 0 \leqslant \alpha_{n-1} < r, ...,~ 0 \leqslant,~ \alpha_{0} < r$
est noté $\overline{\alpha_{n}\alpha_{n-1}\ldots\alpha_{1}\alpha_{0}}^{(r)}$ ; 
cette écriture est dite \og écriture de $P$ en base $r$ \fg. Soit $P$ un nombre entier 
naturel s'écrivant $\overline{ca5}^{(6)}$ et $\overline{bbaa}^{(4)}$  (en base six et en base quatre respectivement).

Montrer que $a + 5$ est un multiple de 4 et en déduire les  valeurs 
de $a$, puis de $b$ et de $c$.

Donner l'écriture de $P$ dans le système décimal.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = x^2 + x - \dfrac{1 + \ln x}{x}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij. Unités graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses, 2~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction auxiliaire $\varphi$ définie sur
 $]0~;~+ \infty[$ par :

\[\varphi(x) = 2x^3 + x^2 + \ln x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variations de $\varphi$.
		\item Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ a une solution unique qu'on appellera $\alpha$. Trouver le nombre entier naturel $p$ tel que :

\[p \times 10^{-2} \leqslant \alpha < (p + 1) \times 10^{-2}.\]

		\item En déduire le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de 
$x$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ 
\infty$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Que peut-on en déduire pour la 
courbe représentative $\mathcal{C}$ ?
		\item Étudier le sens de variations de $f$ et dresser son tableau de 
variations.
		\item Soit la fonction $g$ définie sur $]0~;~ + \infty[$ par

\[g(x) = x^2 + x.\]

On appelle $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.

Préciser les positions relatives des courbes $\mathcal{C}$ et 
$\Gamma$.
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
		
		\medskip
		
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	& 0,2 	& 0,4 	& 0,6 	& 0,8 	& 1 	& 0,2 	& 0,4 	& 2 	& 2,5\\\hline
$f(x)$ 	& 		& 		& 		& 		& 		& 		& 		& 		& \\ \hline
\end{tabularx}\]

Les valeurs de $f(x)$ seront données à $10^{-2}$ près.

\item Tracer $\mathcal{C}$ et $\Gamma$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv.
Unité graphique : 4~cm. À tout point $M$ d'affixe non nulle $z$, on 
associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

\[z' = z^2 + z - \dfrac{1 + \ln |z|}{z}.\]

On dit que $M'$ est l'image de $M$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points P et Q d'affixes respectives 
$\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et i.

Calculer les affixes des images P$'$ et Q$'$ de ces points. Placer P{}, Q, 
P$'$ et Q$'$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\Delta$ est la demi-droite constituée des points
d'affixe réelle strictement positive. Soit $M$ un point de $\Delta$, d'affixe $x$.
Quelle est l'affixe de son image $M'$ ?
		\item En utilisant le tableau des variations de la fonction $f$, 
indiquer la valeur de $x$ pour laquelle l'abscisse de $M'$ est 
minimum.
		\item Définir et représenter l'ensemble $\Delta'$ des points $M'$ lorsque 
$M$  décrit la demi-droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item Le point $M$ décrit maintenant le cercle E de centre O et 
de rayon 1.

On note $\theta$ un argument de $z$,~ $\theta$ décrivant $[- \pi~;~ \pi]$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'une représentation paramétrique de l'ensemble E$'$ 
des points $M$ est :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(\theta) & = &  \cos 2\theta\\
y(\theta) & = & \sin 2\theta + 2 \sin \theta\\
\end{array}\right.\]
		\item Que peut-on dire des points E$'$ de paramètres respectifs 
$\theta$  et $- \theta$ ?\\
En déduire qu'il suffit de construire la partie E$'$ correspondant à l'ensemble
$[0~;~\pi]$ des valeurs de $\theta$ (partie qu'on désignera par E$'_{1}$ pour
obtenir E$'$.
		\item Étudier conjointement les variations sur l'intervalle $[0 ~;~ \pi]$ des
fonctions $x$ et $y$.
		\item Préciser les points d'intersection de E$'_{1}$ avec chacun des 
axes de coordonnées.
		\item Déterminer les points où E$'_{1}$ admet une tangente parallèle à 
l'un des axes de coordonnées. On admet qu'au point correspondant à la 
valeur $\pi$ du paramètre, E$'_{1}$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
	\item Tracer E$'$ en utilisant avec précision les éléments obtenus 
précédemment.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}