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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES juin 2002}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}    

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft ~ Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 2002 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{En l'absence d'indications spécifiques, les résultats seront
 arrondis à $10^{-2}$ près. On effectuera les calculs statistiques
 à l'aide de la calculatrice. Aucun détail n'est alors demandé.}
 
\medskip

Après injection d'une substance médicamenteuse, un laboratoire de recherche
 mesure l'évolution de la quantité de cette substance dans le sang d'un
 individu.
 
Après une série de mesures, on obtient les résultats donnés dans le
 tableau indiqué en annexe (document 1), où $x$ désigne le temps écoulé depuis
 l'injection (exprimé en minutes) et $y$ désigne la quantité de substance 
(exprimée en dixièmes de grammes par litre). Le nuage de points correspondant
 est indiqué sur le document 2 de la feuille annexe.
 
Les mesures réalisées pour $x = 10$ et $x = 60$ ayant été plusieurs
 fois vérifiées, on juge que les points A et B sont fiables. On se propose de
 modéliser ce nuage à l'aide de la courbe représentative d'une fonction, afin
 de réaliser une prévision sur les points d'abscisses 50 et 70 pour lesquels
 les mesures n'ont pas été effectuées.
 
\emph{Les questions} 1 \emph{et} 2 \emph{sont indépendantes}. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On propose un premier modèle d'ajustement du nuage par
 une courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = a \ln (x) + b$, et on impose à la
 courbe de passer par les points A et B. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer alors les réels $a$ et $b$.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille annexe (document 2).
		\item Prévoir, à l'aide de ce premier modèle, les quantités mesurables
 pour $x = 50$ et $x = 70$. 
  \end{enumerate}
\item Dans cette question, on détermine un deuxième modèle
 d'ajustement du nuage.
	\begin{enumerate} 
		\item Compléter le tableau (document 3) qui figure sur la feuille annexe avec des résultats arrondis à $10^{-3}$ près. Calculer alors le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $(t ,~ y)$. Un ajustement affine paraît-il alors envisageable ? 
		\item Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $t$ 
par la méthode des moindres carrés. 
		\item Montrer que ce second modèle conduit à des prévisions de $y$,
 pour $x = 50$ et $x = 70$, égales à 2,70 et 1,04 respectivement. 
	\end{enumerate} 
\item Une autre équipe de recherche a effectué les mesures
 pour $x = 50$ et $x = 70$ dans les mêmes conditions et a obtenu respectivement $y = 2,4$ et $y = 0,6$. Quel modèle doit-on préférer pour ajuster ce nuage ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE}

\textbf{Feuille à rendre avec la copie}

\textbf{Exercice  1}
 \end{center}

\textbf{Tableau des coordonnées des points du nuage (document 1) :} 

\medskip

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X |}} \hline
$x$&	10&	20	&	30	&	40	&	60	&	80\\ \hline
$y$&	10&	7,8	&	6	&	3,5	&	1,5	& 	0,2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Nuage de points (document 2) :}

\begin{center} \begin{pspicture}(9,6)
\psline(0,0)(9,0) \psline(0,1)(9,1) \psline(0,2)(9,2) \psline(0,3)(9,3) 
\psline(0,4)(9,4) \psline(0,5)(9,5) \psline(0,6)(9,6)
\psline(0,0)(0,6) \psline(9,0)(9,6)
\uput[d](0,0){0}  \uput[d](1,0){10}  \uput[d](2,0){20}  \uput[d](3,0){30}  
\uput[d](4,0){40}  \uput[d](5,0){50}  \uput[d](6,0){60}  \uput[d](7,0){70}  
\uput[d](8,0){80}  \uput[d](9,0){90}
\uput[l](0,0){0}  \uput[l](0,1){2} \uput[l](0,2){4} \uput[l](0,3){6}
\uput[l](0,4){8}\uput[l](0,5){10} \uput[l](0,6){12}
\rput(1,5){\small $\blacksquare$} \rput(2,3.9){\small $\blacksquare$} \rput(3,3){$\blacksquare$} 
\rput(4,1.75){\small $\blacksquare$} \rput(6,0.75){\small $\blacksquare$}
 \rput(8,0.1){\small $\blacksquare$}     
\uput[ur](1,5){A} \uput[ur](6,0.75){B}
\end{pspicture} \end{center} 

\newpage 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\begin{center} \begin{pspicture}(10,7)
\psline(4.5,6)(4.5,5)
\psline(4.5,5)(1.5,3)    \psline(4.5,5)(7.5,3)
\psline(1.5,3)(0.5,2) \psline(1.5,3)(2.5,2)
\psline(7.5,3)(5.5,2.5)
\psline(5.5,2.5)(4.5,2) \psline(5.5,2.5)(6.5,2)
\psline(0.5,2)(0.5,1) \psline(2.5,2)(2.5,1)
\psline(4.5,2)(4.5,1) \psline(6.5,2)(6.5,1)
\psline(9.5,2)(9.5,1) \psline(7.5,3)(9.5,2)
\rput(2,5){gauche $\Longleftarrow$ }
\rput(7,5){$\Longrightarrow$ droite}
\uput[u](4.5,6){I} \psframe(4,6)(5,6.5) 
\uput[u](0.5,0){$a$} \uput[u](2.5,0){$b$} \uput[u](4.5,0){$c$} 
\uput[u](6.5,0){$d$} \uput[u](9.5,0){$e$}
\psframe(0,0)(1,1) \psframe(2,0)(3,1) \psframe(4,0)(5,1) 
\psframe(6,0)(7,1) \psframe(9,0)(10,1) 
\end{pspicture}
\end{center}

On considère le circuit de billes schématisé par la figure ci-dessus.
 Un joueur lâche une bille en I et on admet qu'à chaque bifurcation la bille
 prend la direction gauche avec une probabilité de $\dfrac{1}{4}$.

\begin{enumerate} 
\item Réaliser un arbre pondéré modélisant cette expérience aléatoire.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Utiliser cet arbre pour déterminer les probabilités
 des évènements élémentaires suivants, sous forme de fractions irréductibles :
 
$A$ : \og La bille arrive en $a$ \fg{} ;

$B$ : \og La bille arrive en $b$ \fg{} ;

$C$ : \og La bille arrive en $c$ \fg{} ;

$D$ : \og La bille arrive en $d$ \fg{} ; 

$E$ : \og La bille arrive en $e$ \fg. 

Vérifier que la probabilité de l'évènement $D$ est $\dfrac{9}{64}$.
		\item Parmi les évènements précédents, quel est l'évènement le moins
 probable ? Le plus probable ? 
	\end{enumerate}
\item Le joueur gagne 48~points si la bille arrive en $a$, 16 points si elle arrive en $b$ et 64~points 
si elle arrive en $c$. Il ne gagne rien si la bille arrive en $d$ et il perd $32$ points si elle arrive en $e$.
	\begin{enumerate} 
		\item On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de points obtenus :
 ainsi si la bille arrive en $e$, on a $X = - 32$. En utilisant les résultats
 de la deuxième question, donner la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer alors E($X$), espérance mathématique de $X$. Le joueur
 a-t-il intérêt à jouer ?
		\item L'organisateur du jeu se doit de proposer un jeu équitable 
(c'est-à-dire tel que E($X) = 0$). Pour cela il décide de modifier le nombre
 de points perdus si la bille arrive en $e$. Quel nombre de points perdus
 doit-il choisir pour que E($X) = 0$ ? 
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ par une expression de la 
forme 

\[f(x) = k + \dfrac{1}{4} (ax + b)\text{e}^x,\]

où $a$,\: $b$ et $k$ sont des nombres réels que l'on se propose de déterminer dans la \textbf{partie A}.
 
\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

Sur la figure ci-dessous, on peut lire la représentation graphique de la
 fonction $f$ obtenue sur l'intervalle [0~;~3] à l'aide d'un logiciel de tracé
 ou d'une calculatrice graphique. On précise
que :

$\bullet~$ A est le point de la courbe d'abscisse 3,

$\bullet~$ Au point A, la courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses,

$\bullet~$ Le point B(0~;~4) est un point de la courbe,

$\bullet~$ La droite (BC) est tangente à la courbe au point B, avec C (2 ; 2,5).

\begin{center} \psset{xunit=4cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(3,4.5)
\psline[linewidth=1.25pt](0,4)(3,1.75)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,2.5)(2,2.5)(2,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{5 0.25 x 4 sub mul 2.71828 x exp mul add}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(3,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\multido{\n=0.0+0.1}{45}{\psline(0,\n)(0.04,\n)} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la droite (BC).
\item Donner les valeurs des nombres $f(0),\:f'(0)$ et $f'(3)$.
\item Calculer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a,\: b$
 et $k,\: f'$ désignant la fonction dérivée de $f$.
\item Déduire des résultats des questions \textbf{2.} et 
\textbf{3.} les valeurs des réels $a,~ b$ et $k$. Vérifier que pour
tout $x$ réel : $f(x) = 5 + \dfrac{1}{4} (x - 4)\text{e}^x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On étudie maintenant la fonction $f$ définie par : $f(x) = 5 + \dfrac{1}{4} (x - 4)\text{e}^x$  sur son ensemble de définition $\R$.

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans
 un repère orthogonal \Oij.

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f(3)$ et en donner une valeur approchée
 à $10^{-3}$ près. Confronter ce résultat à la figure de la première partie.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Démontrer que, pour tout réel $x,~ f(x) = \left(5 - \text{e}^x\right) + \dfrac{1}{4} x\text{e}^x$ et en déduire la limite de $f$  en $- \infty$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$).
		
Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau
 de variations.
		\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ coupe la droite $\Delta$,
 d'équation $y = 5$, en un point E dont on précisera les coordonnées. 
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$
 (unités graphiques : 1 cm sur $\left(\text{O}~ ;~ \vect{\imath}\right)$ et 2 cm sur $\left(\text{O}~ ; ~ \vect{\jmath}\right)$.
\item En utilisant une observation graphique et la remarque
 de la question \textbf{1} de la \textbf{partie B}, indiquer le nombre de
 solutions de l'équation $f(x) = 0$ (on ne demande pas de résoudre cette
 équation mais il faut justifier succinctement la réponse). 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie C} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Vérifier graphiquement que, pour tout réel $x$ dans
 l'intervalle $[-2~;~2]$ :
 
\[0 \leqslant f(x) \leqslant 5.\]

\item Démontrer que la fonction $g$, définie par $g(x) =
 (x - 1)\text{e}^x$, est une primitive sur $\R$ de la
fonction $h : x \mapsto  x\text{e}^x.$
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que, pour tout réel $x$, on a : $5 - f(x) =
 \text{e}^x - \dfrac{1}{4} x\text{e}^x$.
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire du domaine plan délimité par la courbe et les droites d'équations $x = -2 ,~ x = 2$ et $y = 5$. On hachurera ce domaine sur le graphique et on donnera un résultat exact, puis approché à
 $10^{-2}$ près.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}