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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\label{AmeriqueNord}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{4 juin  2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord  4 juin 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

$f$ est une fonction définie sur $]- 2~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = 3 + \dfrac{1}{x + 2}.\]

On note $f'$ sa fonction dérivée et $(\mathcal{C})$ la représentation graphique de $f$ dans le plan rapporté à un repère.

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la bonne réponse sur l'annexe $1$ à remettre avec la copie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Barème : une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

\textbf{COMPLÉTER LE DOCUMENT RÉPONSE EN ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour faire connaître l'ouverture d'un nouveau magasin vendant des salons, le directeur fait distribuer des bons publicitaires permettant de recevoir un cadeau gratuit sans obligation d'achat.

 Une enquête statistique préalable a montré que, parmi les personnes qui entrent dans le magasin :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 90\,\% entrent dans le magasin avec ce bon publicitaire. Parmi elles, 10\,\% achètent un salon.
\item Parmi les personnes qui entrent sans bon publicitaire, 80\,\% achètent un salon.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Une personne entre dans le magasin.

On note :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $B$ l'évènement \og la personne a un bon publicitaire \fg.
\item[] $\overline{B}$ l'évènement \og la personne n'a pas de bon publicitaire\fg.
\item[] $S$ l'évènement \og la personne achète un salon \fg.
\item[] $\overline{S}$ l'évènement contraire de $S$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dessiner un arbre pondéré représentant la situation.
\item  À l'aide de $B$, $\overline{B}$, $S$, $\overline{S}$, traduire les évènements suivants et calculer leur probabilité à $10^{-2}$ près :
	\begin{enumerate}
		\item la personne n'achète pas de salon sachant qu'elle est venue avec un bon publicitaire;
		\item la personne achète un salon;
		\item la personne est venue avec un bon publicitaire sachant qu'elle a acheté un salon.
	 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie II}

\medskip

Le bon publicitaire et le cadeau associé coûtent 15~\euro{} au magasin. Un salon vendu rapporte 500~\euro{} au magasin s'il est vendu sans bon publicitaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau en \textbf{annexe I} qui donne la loi de probabilité du bénéfice réalisé par le magasin selon la situation de la personne entrant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.1cm}|*{4}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
\small Situation de la personne entrant &	La personne a un bon publicitaire et achète un salon &	La personne a un bon publicitaire et n'achète pas un salon&La personne n'a pas de bon publicitaire et achète un salon &La personne n'a pas de bon publicitaire et n'achète pas un salon \\ \hline	
Bénéfice réalisé par le magasin en euros&$485$&	$- 15$&	$500$&	$0$\\ \hline	
Probabilité&&&& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Calculer le bénéfice moyen du magasin réalisé par personne entrant.
\item Le directeur pense changer la valeur du cadeau offert. Soit $x$ le prix de revient, en euros, du nouveau bon publicitaire. Calculer, dans ce cas, l'espérance E de la loi de probabilité du bénéfice du magasin en fonction de $x$.
\item Le directeur souhaite réaliser $76$~\euro{} de bénéfice moyen par personne entrant.

Quel doit être le prix de revient $x$ du nouveau bon publicitaire ?
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les parties I et II sont indépendantes

\medskip

\textbf{Partie I (calculs exacts demandés)}

\medskip

Sur une route, deux intersections successives, "a" et "b" sont munies de feux tricolores. On suppose que ces feux ne sont pas synchronisés et fonctionnent de manière indépendante On admet que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item La probabilité que le feu de "a" soit vert est égale à $\dfrac{3}{4}$ ; 
\item La probabilité que le feu de "b" soit vert est égale à $\dfrac{1}{2}.$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $A$ l'évènement : \og le feu de "a" est vert \fg, $B$ l'évènement \og le feu de "b" est vert \fg.

Un automobiliste passe successivement aux deux intersections "a" et "b".

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'à son passage, les deux feux soient verts.
\item Calculer la probabilité qu'à son passage, il rencontre au moins un feu vert.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II (résultats demandés à \boldmath $10^{-2}$ \unboldmath  près)}

\medskip

Pour se rendre à son travail, Mathurin rencontre une succession d'intersections de feux tricolores dont le fonctionnement est décrit ci-dessous :

À chaque intersection :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Si le feu est vert, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité $0,9$ ou sera rouge avec la probabilité $0,05$.
\item Si le feu est orange, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité $0,1$ ou sera vert avec la probabilité $0,8$.
\item Si le feu est rouge, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité $0,5$ ou sera orange avec la probabilité $0,05$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

$n$ étant un entier naturel non nul, on note :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  $V_{n}$ la probabilité que Mathurin rencontre un feu vert à la $n$-ième intersection,
\item  $O_{n}$ la probabilité que Mathurin rencontre un feu orange a la $n$-ième intersection,
\item  $R_{n}$ la probabilité que Mathurin rencontre un feu rouge à la $n$-ième intersection,
\item $P_{n} = \begin{pmatrix}V_{n }&O_{n}& R_{n}\end{pmatrix}$ la matrice traduisant l'état probabiliste du $n$-ième feu tricolore.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un graphe probabiliste pour décrire cette situation.
		\item Donner la matrice de transition $M$ complétée de ce graphe : 
		\[M = \begin{pmatrix}\ldots & 0,05&0,05\\0,8&\ldots & 0,1\\
		0,45&\ldots & 0,5
		\end{pmatrix}\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si le premier feu rencontré est vert, donner la matrice $P_{1}$ de l'état initial puis calculer $P_{2}$.
		\item  On donne $P_{3} =  [0,87\quad 0,05 \quad 0,08]$. Quelle est la probabilité que le quatrième feu soit vert ?
	\end{enumerate}
\item  Si le premier feu rencontré est rouge, donner la matrice $P_{1}$ de l'état initial puis calculer $P_{2}$.
\item   On remarque que, quelle que soit la couleur du premier feu rencontré, on obtient à partir d'un certain rang $n{} :{} P_{n} =  [0,85\quad 0,05 \quad 0,10]$.

Donner une interprétation concrète de ce résultat.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Historiquement, on avait décidé de numéroter les planètes du système solaire suivant leur distance moyenne au Soleil. Ainsi, on notait :\\

\hspace{2cm}
\begin{tabular}{l c c}
Mercure&=&1\\ 
Venus	&=&2\\ 
Terre	&=&3\\ 
Mars	&=&4\\ 
Céres	&=&5\\ 
Jupiter	&=&	6\\ 
Saturne&=&	7\\ 
Uranus&=&8\\ 
\end{tabular}

On considère la série statistique double $\left(i~;~d_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant 8}$, où $i$ représente le numéro d'ordre de la planète et $d_{i}$ sa distance au soleil (en millions de km) :

(1~;~57,94),\: (2~;~108,27),~(3~;~149,60),\:(4~;~228,06),\:(5~;~396,44),\:(6~;~778,73),\:(7~;~\np{1427,7}),\: (8~;~\np{2872,4}).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Indiquer, à l'aide d'une phrase, la signification du couple (3~;149,60).

\medskip

Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.
\item Compléter, dans l'annexe 1, le tableau suivant:

\medskip

\begin{tabularx}{1\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|c|}\hline
$i$							&1		&2 		&3		&4		&5 		&6		&7&			8\\ \hline
$d_{i}$  					&57,94 	&108,27	&149,60	&228,06	&396,44	&778,73	&\np{1427,7}&\np{2872,4}\\ \hline
$d_{i} - d_{1}$				&$0$	&		&		&170,12	&		&		&			& \\ \hline
$y_{i} =  \ln \left(d_{i}
 - d_{1}\right)$			&$\times$&		&		&5,137	&		&		&			& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement (D), de la série $\left(i~;~y_{i}\right)$, avec $i$ compris entre 2 et 8.
		\item Construire le nuage de points $\left(i~;~y_{i}\right)$, avec $i$ compris entre 2 et 8, et la droite (D) dans un repère orthonormal, unités :  $2$~cm
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déduire de ce qui précède que l'on peut modéliser l'expression de $d_{i}$, en fonction de $i$, avec $i$ compris entre 2 et 8, sous la forme 
		
$d_{i} =57,94 + 12,16 \times  1,966^{i}$.
		\item  Calculer la distance moyenne probable au soleil d'une planète numérotée $9$.
		
\medskip
		
(\emph{Ce résultat est connu sous le nom de loi de Titius-Bode du nom dc deux astronomes allemands qui permirent la découverte de Neptune $\no 9$ en $1848$. La loi tomba ensuite en désuétude mais l'ajustement étudié demeure excellent si l'on inclut \og Pluton \fg{}... La planète naine en $\no 10$}).
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun a tous les candidats}

\medskip

\emph{Rappel :  Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors la fonction } $\text{e}^{u}$ \emph{est dérivable sur $I$ et  } \: $\left(\text{e}^{u}\right)' = u'\text{e}^{u}$.

\medskip

Un transporteur, s'occupant de voyages organisés, achète en l'an 2000 (instant initial $t = 0$), un autocar nécessitant un investissement initial de $200$~milliers d'euros.
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Cet investissement se déprécie. Sa dépréciation cumulée, en milliers d'euros, a l'instant $t$, mesurée en années, est notée $D(t)$.

On pose
 
\[D(t)= 200\left(1 - \text{e}^{-0,086t}\right)\quad  \text{pour tout réel}~ t ~\text{de l'intervalle I = [0~;~13]}.\]

L'annexe 2 donne la courbe représentative de $D$ dans le plan rapporté à un repère \Oij.

Déterminer graphiquement au cours de quelle année l'investissement aura perdu 60\,\% de sa valeur (faire apparaître sur le graphique les tracés qui permettent d'obtenir la réponse).

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le transporteur veut revendre l'autocar. On note $V(t)$ la valeur de l'autocar l'année $t,~ 0 \leqslant  t \leqslant  13$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que $V(t) =  200 \times  \text{e}^{-0,086t}$.
\item  Étudier le sens de variation de $V$ sur [0~;~13].
\item  Combien peut-on espérer revendre l'autocar au bout de $13$~ans de service ? (au millier d'euros près).
\item  Au cours de quelle année l'autocar a-t-il perdu la moitié de sa valeur ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

On estime que les recettes nettes (en milliers d'euros) procurées par l'exploitation de cet autocar, hors dépréciation du véhicule, sont données à l'instant $t$ réel de l'intervalle [0 ; 13] par :

\[R(t) =  110\left(5 + t - 5\text{e}^{0,1t}\right).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la dérivée $R'$ de la fonction $R$ ; étudier son signe sur [0~;~13] et construire le tableau de variations de $R$.
		\item  En déduire, que les recettes nettes sont maximales pour une valeur $t_{0}$ de $t$ dont on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie à l'unité près.
		\item  Construire la courbe représentative de la fonction $R$, dans le même repère que celle de $D$ après avoir complété le tableau de valeurs de \textbf{l'annexe 2} où l'on arrondira $R(t)$ à l'entier le plus proche.
	\end{enumerate}
\item À tout instant, la différence $R(t) - D(t)$ représente l'exploitation $E(t)$ de l'autocar.

Compléter le tableau de \textbf{l'annexe 2}, utiliser le graphique ou les tableaux de valeurs de $D,~ R$ et $E$ pour répondre aux questions suivantes : 
	\begin{enumerate}
		\item Au cours de quelle année l'exploitation de cet autocar est-elle la plus profitable ?
		\item À partir de quelle année l'exploitation de-cet autocar conduit-elle à un déficit ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage
 
\begin{center}\textbf{ANNEXE I}

\textbf{(À remettre avec la copie)}

\end{center}

\textbf{EXERCICE 1}

\bigskip

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-5mm]{0mm}{10mm}  $f(x) = \dfrac{3x+6}{x+2}$&	$\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline	
La courbe $(\mathcal{C})$ coupe l'axe des ordonnées au point
d'ordonnée $3,5$.&$\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline	
\rule[-5mm]{0mm}{8mm}   $\lim_{x \to -2 \atop x > -2} f(x) = 3$&$\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline	
\rule[-5mm]{0mm}{8mm}   $\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x = 6 \ln 2$.&$\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline
La droite d'équation $y =  3$ est asymptote à $(\mathcal{C})$	&$\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline	
$f(x) > 3$ pour  tout $x$ de $]- 2~;~+ \infty[$.&$\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline	
$f'(- 1) = - 1$.&	$\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline	
La fonction $g$ définie sur $]- 2~;~+ \infty[$
par $g(x) = \ln [f(x)]$ est décroissante. &$\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline	
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.1cm}|*{4}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
Situation de la personne entrant &La personne a un bon publicitaire et achète un salon &La personne a un bon publicitaire et n'achète pas un salon&La personne n'a pas de bon publicitaire et achète un salon &La personne n'a pas de bon publicitaire et n'achète pas un salon\\ \hline		
Bénéfice réalisé par le magasin en euros&$485$&	$- 15$&	$500$&$0$\\ \hline
Probabilité	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{EXERCICE 3}\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$i$					&1		&2 		&3		&4		&5 		&6		&7			&8\\ \hline
$d_{i}$  			&57,94 	&108,27	&149,60	&228,06	&396,44	&778,73	&\np{1427,7}&\np{2872,4}\\ \hline
$d_{i} - d_{1}$		&$0$	&		&		&170,12	&		&		&			& \\ \hline
$Y_{i} =  \ln \left(d_{i}
 - d_{1}\right)$	&$\times$&		&		&5,137	&		&		&		& \\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE 2}

(À remettre avec la copie)

\end{center}

\textbf{EXERCICE 4}

\bigskip

\textbf{Représentation graphique}

\bigskip
\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(14,270)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,270)}
\multido{\n=0+10}{28}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(14,270)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14}{200 1 2.71828 0.086 x mul neg exp sub mul}
\uput[l](13,140){\blue $y = D(t)$}
\uput[l](0,10){10} \uput[l](0,50){50} \uput[d](1,-3){1}
\end{pspicture} 
\end{center}
\medskip

\textbf{Tableau de valeurs	:}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&1	&2	&4	&6	&8	&10		&11	&13\\ \hline
$D(t)$	&0	&16	&32	&58	&81	&99	&115	&122&135\\ \hline
$R(t)$	&0	&52	&98	&	&208&	&		&	&$-38$\\ \hline
$E(t)$	&$0$&	&	&	&127&	&		&	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{document}