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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin  2001}}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 2001}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans cet exercice les probabilités demandées seront données sous forme décimale,
 éventuellement arrondies à} $10^{- 3}$ \emph{près}.
  
Lors d'une enquête réalisée par l'infirmière auprès d'élèves de classes de terminale, on apprend que $60\,\%$ des élèves sont des filles. De plus 
 $40\,\%$ des filles et $30\,\%$ des garçons fument.
 
\medskip

\begin{enumerate} 
\item On choisit un élève au hasard. On note $A$
l'évènement  \og L'élève choisi fume~\fg{}, et $P(A)$ la probabilité de cet 
évènement.

On note $F$ l'évènement : \og L'élève choisi est une fille \fg{}.

Quelle est la probabilité que :
	\begin{enumerate} 
		\item Cet élève soit un garçon ?
		\item Cet élève soit une fille qui fume ?
		\item Cet élève soit un garçon qui fume ?
	\end{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes, en le
justifiant, que $P(A) = 0,36$. 
\item L'enquête permet de savoir que :

$\bullet~$Parmi les élèves fumeurs, la moitié ont des parents qui 
fument ;

$\bullet~$Parmi les élèves non fumeurs, $65\,\%$ ont des parents non 
fumeurs.

On note $B$ l'évènement : \og L'élève choisi a des parents fumeurs \fg{}.
 
On notera $P(C/D)$ la probabilité de l'évènement $C$ sachant l'évènement D. Dans cette question, on pourra s'aider d'un arbre pondéré.

\begin{enumerate} \item Calculer les probabilités $P(A \cap B)$ et 
$P\left(\overline{A} \cap \text{B}\right)$. En déduire $P(B)$.

\item Calculer $P(A/B)$, probabilité qu'un élève fume sachant qu'il a des
parents fumeurs.

Calculer P$\left(A/ \overline{B}\right)$, probabilité qu'un élève fume sachant qu'il a des parents non fumeurs.

Quelle remarque amène la comparaison de ces deux résultats ?
\end{enumerate}
\item On rappelle que, pour chaque élève choisi, la probabilité qu'il soit fumeur est égale à $0,36$. On choisit quatre élèves de terminale au hasard. On admettra que la population d'élèves de terminale est suffisamment grande pour que le choix d'élèves au hasard soit assimilé à un tirage avec remise.

Quelle est la probabilité qu'aucun de ces quatre élèves ne soit fumeur ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill	5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice les sommes seront données arrondies au franc le plus proche}.

\medskip

Un directeur du personnel propose à l'un de ses employés de choisir
entre deux formes d'augmentation de salaire.

Sachant que son salaire actuel est de \np{6000}~F par mois, il lui propose soit une augmentation régulière de 55 F tous les mois (première proposition), soit une augmentation de 0,8\,\% tous les mois (deuxième 
proposition).
\begin{enumerate} 
\item On se place dans le cadre de la première
proposition et on note $M_{n}$ le salaire en francs au bout de $n$ 
mois.
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $M_{1}$ est égal à \np{6055}. Montrer que la suite $\left(M_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ est une suite arithmétique dont on donnera la raison. 
		\item Donner l'expression de $M_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer $M_{12}$,\: $M_{24}$,\: $M_{36}$,\: $M_{48}.$
	\end{enumerate}
\item On se place dans le cadre de la deuxième
proposition et on note $M'_{n}$ le salaire en francs au bout de $n$ 
mois.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la suite $\left(M'_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ est une suite géométrique de raison 1,008. Calculer $M'_{1}$.
		\item Donner l'expression de $M'_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer $M'_{12}$,\: $M'_{24}$,\: $M'_{36}$,\: $M'_{48}$.
	\end{enumerate}
\item Quelle proposition permet d'obtenir le meilleur salaire mensuel au bout de trois ans ?
\item Avant de choisir une des deux propositions, le salarié compare la somme des salaires perçus.

Pour la proposition 1, on note $S_{n}$ la somme des salaires sur les $n$ 
premiers mois, de $M_{1}$ à $M_{n}$.

Pour la proposition 2, on note $S'_{n}$ la somme des salaires sur les $n$ premiers mois.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $S_{n}$ et $S'_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer $S_{36}$,\: $S_{48}$,\: $S_{60}$ et $S'_{36}$,\: 
$S'_{48}$,\: $S'_{60}$.
		\item Le salarié pense rester encore cinq ans dans l'entreprise.
		
S'il s'intéresse au montant total des salaires perçus, quelle proposition va-t-il choisir ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill	5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un client dispose d'un capital de \np{20000}~F sur un compte bancaire. Ce capital ne lui rapporte pas d'intérêt et il l'utilise de la façon suivante  :

\setlength\parindent{9mm} 
$\bullet~$ chaque début de mois, il retire 10\,\% de son capital ;
 
$\bullet~$ le dernier jour de chaque mois il reverse \np{1000}~francs sur ce compte.
\setlength\parindent{0mm}

L'exercice a pour but de comprendre l'évolution de son capital.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On appelle $C_{0}$ le capital détenu au 31 décembre 2000 et C$_{n}$ le capital détenu au bout de $n$ mois, ces sommes étant exprimées en francs.
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $C_{1} = \np{19000}$ et que $C_{2} = \np{18100}$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $C_{n+1} = 
0,9C_{n} + \np{1000}$.
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n,~ 
C_{n} > \np{10000}$. En déduire le signe de C$_{n+1} - \text{C}_{n}$, puis le sens de variation de la suite $\left(C_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par 
$U_{n} = C_{n} - \np{10000}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la suite $(U_{n})$, définie pour $n > 0$, est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $U_{0}$ et la 
raison.
		\item En déduire l'expression générale de U$_{n}$ en fonction 
de $n$. Montrer que $C_{n} = \np{10000}(0,9^n + 1)$.
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(C_{n}\right)$ ?
		\item Calculer la valeur de $C_{12}$ arrondie au centime le plus proche. En déduire la somme totale qui a été retirée du compte durant l'année 2001.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Étude d'une série statistique}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le nombre d'utilisateurs de téléphone portable en France est donné par
le tableau suivant : 

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois 		&12/1996& 10/1997 	&05/1998& 10/1998	&02/1999&07/1999&09/1999&03/2000\\ \hline
Rang~$x_{i}$&0 		&10 		&17 	&22 		&26 	&31 	&33 	&39\\ \hline
Millions d'utilisateurs
 $y_{i}$ 	&2,5	&4,5		&7,2	&9,4 		&12 	&15 	&16,2 	&22,6\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

{\textsl Les calculs seront effectués avec la calculatrice, aucun détail de ces calculs n'est demandé.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item \textbf{Réalisation d'un ajustement  affine}
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$  dans un repère orthogonal où 1~cm représente quatre mois sur l'axe des abscisses, 1~cm représente 1 million d'utilisateurs sur l'axe
des ordonnées.
		\item Donner la valeur approchée à $10^{- 3}$ près par défaut du 
coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.

Un ajustement affine est-il justifié ?
		\item Placer le point moyen G de cette série $(x_{i}~;~y_{i})$, après avoir déterminé ses coordonnées.
		\item Donner l'équation de la droite (D) de régression de $y$ 
en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = 
ax + b$,\: $a$ et $b$ étant arrondis à $10^{- 2}$ près. 

Tracer cette droite (D) sur le graphique précédent.
\end{enumerate}
\item \textbf{Réalisation d'un autre ajustement}

On considère le tableau suivant :

\medskip

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.7cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois 			&12/1996	&10/1997	&05/1998	&10/1998	&02/1999&07/1999&09/1999 &03/2000\\  \hline
Rang $x_{i}$	&0			&10			&17			&22			&26		&31&	33		&39\\ \hline
$z_{i} = 
\ln(y_{i}$)		&$\ln (2,5)$	&$\ln (4,5)$	&$\ln (7,2)$	& $\ln (9,4)$&$\ln (12)$& $\ln (15)$&$\ln (16,2)$& $\ln (22,6)$\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

Soit la série statistique $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$, où $z_{i} = \ln (y_{i})$.
	\begin{enumerate} 
		\item On admet qu'une équation de la droite de régression de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés, est $z = 0,056x + 0,961$, avec  $z = \ln(y)$.
		
Exprimer $y$ en fonction de $x$. Mettre $y$ sous la forme $y =  \alpha \text{e}^{0,056x}$.
 
Donner la valeur décimale de $\alpha$ arrondie à $10^{- 1}$ près.
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~50] par $g(x) = 2,6\text{e}^{0,056x}$. En vous aidant de la calculatrice, tracer avec soin et sans justification la courbe représentative (C) de la fonction $g$ sur le 
graphique précédent, pour $x$ compris entre 0 et 50.
	\end{enumerate}
\item À partir du graphique, quel ajustement semble être le meilleur ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On se propose de comparer par le calcul les deux ajustements. Pour cela on considère les fonctions $f,~ g$ et $h$ définies sur l'intervalle [0 ; 50] par 

\[f(x) = 0,5x+0,08~;~g(x) = 2,6\text{e}^{0,056x}~;~h(x) = g(x) - f(x).\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'inéquation $g(x) > 35$. En déduire
l'année et le mois à partir desquels il y aura, d'après le second modèle, plus de 35 millions d'utilisateurs de téléphone portable en France.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $h'$ la fonction dérivée de la
fonction $h$. 

Montrer que $h'(x) = 0,1456\text{e}^{0,056x} - 0,5$.
		\item Résoudre l'équation $h'(x) = 0$. On donnera la valeur exacte,
puis l'arrondi entier, de la solution $x_{0}$ de cette équation.
		\item Justifier le signe de $h'(x)$, puis établir le tableau de variation de $h$ sur l'intervalle [0 ; 50]. On donnera les valeurs arrondies à $10^{- 2}$ près de $h(0),~ h(x_{0})$,
		
$h(50)$. Pour calculer $h(x_0)$, on remplacera $x_{0}$
par son arrondi entier.
		\item En remarquant que $h'(x) = g'(x)-f'(x)$, montrer que 
$g'(x_{0}) = 0,5$.
		\item Soit (T) la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 
$x_{0}$. Que dire des droites (T) et (D) ? Tracer la droite (T).
		\item Que représente la valeur $x_{0}$ lorsqu'on compare les fonctions
$f$ et $g$ considérées dans chacun des deux ajustements ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant les variations de $h$, démontrer que la fonction $h$ s'annule pour deux valeurs $x_{1}$ et $x_{2}$ de l'intervalle [0~;~50].
		\item Encadrer $x_{1}$ par deux entiers successifs. Faire de même pour $x_{2}$.
		\item Placer les valeurs $x_{1}$ et $x_{2}$ sur le graphique. Que
représentent ces valeurs lorsqu'on compare les fonctions considérées dans
les deux ajustements ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}