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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small Amérique du Nord}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 2000~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill  4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du pourcentage de logiciels 
piratés en France de 1990 à 1998. On désigne par $x$ le rang de l'année
et par $y$ le pourcentage de logiciels piratés.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année				&1990	&1991	&1992	&1993	&1994	&1995 	&1996	&1997 	&1998\\ \hline
Rang $x_{i}$		&0		&1		&2		&3		&4		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline
Pourcentage $y_{i}$	&85		&78		&73		&66		&57		&51 	&47		&44 	&43\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série
statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal tel que :
 
\setlength\parindent{12mm}
$\bullet~~$ 1 cm représente un an sur l'axe des abscisses

$\bullet~~$ 1 cm représente 5\,\% sur l'axe des ordonnées.
\setlength\parindent{0mm}
\item Dans cette question les résultats seront obtenus à
l'aide d'une calculatrice et arrondis au millième. Aucun détail des calculs statistiques n'est demandé.
	\begin{enumerate}
		\item Donner le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.

Un ajustement affine est-il justifié ?

		\item Écrire une équation de la droite de régression $(D)$ de $y$ en $x$ par  la méthode des moindres carrés.

Représenter $(D)$ dans le repère précédent. %40
		\item En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation du 
pourcentage de logiciels piratés en 2004.
	\end{enumerate}
\item L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement
exponentiel.

On pose $z = \ln (y)$.
 
À l'aide d'une calculatrice, on a obtenu les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$, où 
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$, est 

$r' = - 0,991$. 
\item  Une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est $z = 0,093 x + 4,444$ (1). 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

En utilisant la relation (1), donner une estimation du pourcentage de 
logiciels piratés en 2004. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill   5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un industriel fabrique des tablettes de chocolat. Pour promouvoir la 
vente de ces tablettes, il décide d'offrir des places de cinéma dans la 
moitié des tablettes mises en vente. Parmi les tablettes gagnantes, 
60\,\% permettent de gagner exactement une place de cinéma et 40\,\%  exactement deux places de cinéma.

La notation $p$(A/B) désigne la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé.
 
\begin{enumerate}
\item Un client achète une tablette de chocolat. On
considère les évènements suivants :

$G$ : \og Le client achète une tablette gagnante \fg{} ;

$U$ : \og Le client gagne exactement une place de cinéma \fg{} ;

$D$ : \og Le client gagne exactement deux places de cinéma \fg.

	\begin{enumerate}
		\item Donner $p(G)$, $p(U/G)$ et $p(D/G)$.
		\item Montrer que la probabilité de gagner exactement une place de cinéma est égale à 0,3.
		\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de places de cinéma gagnées par le client.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.

Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item Un client achète deux jours de suite une tablette
de chocolat. Les deux achats sont indépendants.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité qu'il ne gagne aucune place de cinéma.		
		\item Déterminer la probabilité qu'il gagne au moins une place de cinéma.
		\item Montrer que la probabilité qu'il gagne exactement deux places de cinéma est égale à 0,29 (on pourra s'aider d'un arbre).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill   5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les résultats de cet exercice seront donnés sous forme décimale 
arrondie au centième.

Un camp d'adolescents propose des stages d'activités nautiques pour 
débutants avec, au choix : planche à voile, plongée ou ski nautique.

Lors d'un stage donné, ce camp accueille vingt jeunes dont sept 
seront initiés à la planche à voile, huit à la plongée et cinq au ski 
nautique. Chaque stagiaire ne pratique qu'une seule des trois 
activités.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On forme un groupe de trois stagiaires choisis au
hasard parmi les vingt.
	\begin{enumerate}
		\item Combien de groupes est-il possible de former ?		
		\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements $A, B$ et $C$ suivants :
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ \og Les trois stagiaires pratiquent des activités différentes \fg{} ;
\item $B$ \og Les trois stagiaires pratiquent la même activité \fg{} ;

\item $C$ \og Au moins l'un des trois stagiaires pratique le ski nautique \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate}
\item Parmi les vingt stagiaires, un seul se prénomme Christian. 
Chaque jour, on choisit au hasard un groupe de trois stagiaires chargé du
service au repas de midi. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité que Christian soit choisi un jour donné pour le service de midi est égale à 0,15.
		\item La durée du stage est de cinq jours.

$\bullet~$ Quelle est la probabilité de ne jamais choisir Christian pour le service de midi pendant tout le séjour ? 

$\bullet~$ Quelle est la probabilité de le choisir exactement une fois ?

$\bullet~$ En déduire que la probabilité de choisir Christian au moins deux  fois est inférieure à 0,2.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill   11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle 
$\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par :

\[f(x) = - x + 7  +6 \ln (2x + 1) - 6 \ln (2x + 2).\]

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est définie sur l'intervalle	
$\left]-\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$.

\item Déterminer la limite de $f$ en $-\dfrac{1}{2}$.

En déduire que la courbe $(\mathcal{C})$ admet pour asymptote une droite $(D)$ dont on précisera une équation.
\item En remarquant que, pour tout $x$ de l'intervalle 
$\left]-\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$

\[6 \ln(2x + 1) - 6 \ln (2x + 2) = 6 \ln \left( \dfrac{2x+ 1}{2x+ 
2}\right).\]

déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Soit $(\Delta)$ la droite d'équation : $y = -  x + 7$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la limite de $\left[f(x) - (- x + 7)\right]$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$

En donner une interprétation graphique.
		\item Étudier la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite $(\Delta)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle 
$\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$ 

\[f'(x) = \dfrac{- 2x^2 - 3x + 5}{(2x+ 1)(x+ 1)}\]

où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		\item Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de $f$.		
	\end{enumerate}
\item Soit $(T)$ la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au
point M d'abscisse 0.

Déterminer une équation de la droite $(T)$.

\item Tracer les droites $(D), (\Delta), (T)$ et la courbe
$(\mathcal{C})$ dans le repère \Oij, unité 
graphique 2~cm. On placera l'axe des ordonnées à 2~cm du bord gauche de la
feuille de papier millimétré.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle 
$\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$ par : 

\[H(x) = (2x + 1) \ln (2x + 1) - (2x + 2) \ln (2x+ 2).\]

Montrer que la fonction $H$ est une primitive sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$ de la fonction $h$ définie sur cet intervalle par : $h(x) = 2 \ln \left(\dfrac{2x+ 1}{2x+ 2}\right).$
\item On note $(E)$ la partie du plan comprise entre la courbe
$(\mathcal{C})$, la droite $(\Delta)$ et les droites d'équations respectives
$x = 2$ et $x = 5$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer $(E)$ sur la figure.		
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire de $(E)$ en unités d'aire.		
		\item Calculer l'aire de $(E)$ en cm$^2$ (on rappelle que l'unité graphique est 2~cm). On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}