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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\text{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1998}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~ Baccalauréat S Amérique du Nord juin 1998~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Afin de créer une loterie, on met dans une urne $n$ billets différents
 ($n$ supérieur ou égal à 3), dont deux et deux seulement sont gagnants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit au hasard et simultanément deux billes dans l'urne.
	\begin{enumerate}
		\item On suppose ici $n = 10.\: X$ désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis.
		
Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item On revient au cas général avec $n$ supérieur ou égal à 3.
		
Calculer la probabilité notée $p_{n}$, d'avoir exactement un billet gagnant parmi des  deux choisis.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit au hasard deux billets
 dans cette urne en remettant le premier billet tiré avant de tirer le 
 second.
	\begin{enumerate} 
		\item On suppose ici $n = 10.\: Y$ désigne la variable aléatoire qui donne le 
nombre de billets gagnants parmi les deux choisis.
Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
		\item On revient au cas général avec $n$ supérieur ou égal à 3.
Calculer la probabilité, notée $q_n$ d avoir exactement un billet gagnant 
parmi les deux choisis.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que pour tout $n$ supérieur ou égal à 
3, on a :

\[p_n - q_n = \dfrac{4(n - 2)}{n^2(n - 1)}.\]

		\item En remarquant que pour tout entier $n,\:n - 2$ est inférieur à $n - 1$, 
déterminer un entier naturel $n_0$ tel que pour tout $n$ supérieur ou égal 
à $n_0$, on ait $p_n - q_n < 10^{-~3}$.
		\item Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de 
cette loterie, est-il préférable de les tirer simultanément ou de les 
tirer l'un après l'autre en remettant le premier billet tiré ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct 
\Ouv, (unité graphique : 4 cm), on donne les points A et 
B d'affixes respectives 1 et $\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Pour chaque point $M$ du plan, d'affixe $z,~ M_1$ d'affixe $z_1$, désigne l'image
 de $M$ par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ , puis $M'$
 d'affixe $z'$ l'image de $M_1$ par la translation de vecteur  $-~\vect{u}$.

Enfin, on note $T$ la transformation qui à chaque point $M$ associe le 
point $M'$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer : $z'= \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}z - 1$.
		\item Déterminer l'image du point B.
		\item Montrer que $T$ admet un unique point invariant dont on précisera 
l'affixe.
	\end{enumerate}
\item On pose $z = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ 
réels.
	\begin{enumerate} 
		\item Pour $z$ non nul, calculer la partie réelle du quotient $\dfrac{z'}{z}$ en
 fonction de $x$ et de $y$.
		\item Démontrer que l'ensemble (E), des points $M$ du plan tels que le triangle
O$MM'$ soit rectangle en O, est un cercle (C), dont on précisera le centre et
le rayon, privé de deux points.

Tracer (E).
	\end{enumerate}
\item Dans cette question on pose $z = 1 +$ i.
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $M$ appartient à (E). Placer $M$ et $M'$ sur la figure.
		\item Calculer le module de $z'$.
		\item Calculer l'aire, en cm$^2$, du triangle O$MM'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan orienté, on donne un carré ABCD de sens direct tel que
AB $= 1$ (sur la figure, on prendra 9 cm comme unité graphique) et les
points A$_1$ et B$_1$ définis par : 
\begin{center}$\vect{\text{AA}_1} = \dfrac{1}{3} \vect{\text{AB}}$\quad et \quad 
$\vect{\text{BB}_1} = \dfrac{2}{9} \vect{\text{BC}}$.\end{center}

On rapporte le plan au repère orthonormal direct $\left(\text{A} ~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right)$.

On désigne par $S$ la similitude plane directe qui, à tout point $M$ d'affixe
$z$, associe le point $M_1$ d'affixe $z_1$ définie par :

\[z_1 = \dfrac{6+ 2\text{i}}{9}z + \dfrac{1} {3}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'affixe du centre $\Omega$ de la similitude $S$. On ne demande
pas de calculer le rapport ni l'angle $\theta$ de la similitude.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les images des points A et B par la similitude $S$.
		\item Calculer l'affixe du point D$_1$ image de D par $S$.
		\item Montrer que le point D$_1$ appartient au segment $\left[\text{DA}_1\right]$. 
		\item Placer D$_1$ puis C$_1$ image de C par $S$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que : $\left(\vect{\text{DA}},~ \vect{\text{DA}_1}\right) = \left(\vect{\text{A}_1\text{B}},~ \vect{\text{A}_1\text{B}_1}\right) = \theta\quad  (\text{modulo}\: 2\pi)$.
		\item En déduire une construction géométrique de $\Omega$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème\hfill 10 points}

\medskip

On désigne par $n$ un entier supérieur ou égal à 2 et on considère les
 fonctions, notées $f_n$, qui sont définies pour $x$ appartenant à l'intervalle
 $]0~;~+~\infty[$ par :
 
\[f(x) = \dfrac{1 + n \ln x}{x^2}.\]

\textbf{ Partie A}

{I. Étude des fonctions $f_n$}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'_n(x)$ et montrer que l'on peut écrire le résultat sous la forme
 d'un quotient dont le numérateur est $n - 2 - 2n \ln x$.
\item Résoudre l'équation $f'_n(x) = 0$. Étudier le signe de $f'_n(x)$.
\item Déterminer la limite de $f_n$ en $+ \infty$.
\item Établir le tableau de variations de la fonction  $f_n$ et calculer sa valeur maximale en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\medskip

{II. Représentation graphique de quelques fonctions $f_n$.}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij, (unité graphique : 5~cm).

On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans ce
 repère.
 
\medskip

\begin{enumerate} 
\item Tracer $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f_{n+1}(x) - f_n(x)$ . Cette différence
 est-elle dépendante de l'entier $n$ ?
		\item Expliquer comment il est possible de construire point par point la courbe
$\mathcal{C}_4$ à partir de $\mathcal{C}_2$ et tracer $\mathcal{C}_3$.

Tracer $\mathcal{C}_4$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Calculs d'aires}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer en intégrant par parties, l'intégrale
I = $\displaystyle\int_1^{\text{e}} \ln x\:\text{d}x$.
\item En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine plan
 limité par les courbes $\mathcal{C}_n$,  $\mathcal{C}_{n+1}$ et les droites
 d'équation $x= 1$ et $x= \text{e}$.
\item On note $\mathcal{A}_n$ l'aire, en unités d'aire, du
 domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}_n$, et les droites d'équation
 $y = 0,~ x = 1$ et $x = \text{e}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}_{2}$.
		\item Déterminer la nature de la suite $\mathcal{A}_n$ en précisant l'interprétation
 graphique de la raison.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ Partie C : Étude sur l'intervalle \boldmath$]1~;~+ 
\infty[$\unboldmath~ de l'équation \boldmath $f_n(x) = 1$ \unboldmath}

\medskip

Dans toute la suite, on prendra $n \geqslant 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout $n,~ \text{e}^{\frac{n - 2}{ 2n}} > 1$ et	
$f_n\left(\text{e}^{\frac{n - 2}{ 2n}}\right) > 1$.
		\item Vérifier que l'équation $f_n(x) = 1$ n'a pas de solution sur l'intervalle
$\left]1~;~\text{e}^{\frac{n - 2}{ 2n}}\right[$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f_n(x) = 1$ admet sur l'intervalle $\left[\text{e}^{\frac{n - 2}{ 2n}}~;~+\infty\right[$ exactement une solution notée $\alpha_n$.
\item On se propose de déterminer la limite de la suite $\alpha_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f\left(\sqrt{n}\right)$ et montrer que pour tout $n > 
\text{e}^2$, on a $f_n\left(\sqrt{n}\right) \geqslant 1$.
		\item En déduire que, pour $n \geqslant 8$, on a $\alpha_n \geqslant \sqrt{n}$ et donner la limite de la suite  $(\alpha_n)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}