%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Amérique du Nord mai 2006}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Nord }} \rfoot{\small{mai 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2006~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des $3$ questions, une seule des trois propositions est exacte.\\ Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève} $0,5$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ \emph{point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.} \bigskip Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes : 4 sont marqués \og oui \fg, 3 sont marqués \og non \fg{} et 3 sont marqués \og blanc \fg. Lors d'un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d'euro. Il tire ensuite un bulletin de l'urne et l'y remet après l'avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué \og~oui~\fg, le joueur reçoit 60 centimes d'euro, s'il est marqué \og non \fg, il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué \og blanc \fg, il reçoit 20 centimes d'euro. \medskip \textbf{Question 1} Le jeu est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{A :~~} favorable au joueur &\textbf{B :~~} défavorable au joueur&\textbf{C :~~} équitable \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 2} Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu'il tire au moins une fois un bulletin marqué \og oui \fg{} est égale à \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{A :~~}$\dfrac{216}{625}$&\textbf{B :~~} $\dfrac{544}{625}$&\textbf{C :~~} $\dfrac{2}{5}$ \end{tabularx} \medskip Lors d'un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l'urne. \textbf{Question 3} : la probabilité qu'il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{A :~~} $\dfrac{4}{15}$&\textbf{B :~~} $\dfrac{11}{30}$&\textbf{C :~~} $\dfrac{11}{15}$ \end{tabularx} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 2~cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2,~ z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$ puis de $z_{\text{C}}$. \item Placer les points A, B et C. \end{enumerate} \item Déterminer la nature du quadrilatère OBAC. \item Déterminer et construire l'ensemble $\mathcal{D}$ des points $M$ du plan tels que $|z| = |z - 2|$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip À tout point $M$ d'affixe $z$ tel que $z\neq z_{\text{A}}$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ défini par \[ z' = \dfrac{- 4}{z - 2}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z = \dfrac{-4}{z - 2}$. \item En déduire les points associés aux points B et C. \item Déterminer et placer le point G$'$ associé au centre de gravité G du triangle OAB. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \textbf{Question de cours :} \emph{Prérequis : le module d'un nombre complexe $z$ quelconque, noté $|z|$, vérifie $|z|^2 =z\overline{z}$ où $\overline{z}$ est le conjugué de $z$.} Démontrer que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$, ~ $| z_{1} \times z_{2}| =| z_{1}| \times | z_{2}|$. \item[$\bullet~$] pour tout nombre complexe $z$ non nul, $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ distinct de 2, \[\left|z' - 2\right| = \dfrac{2 |z|}{|z-2|}.\] \item On suppose dans cette question que $M$ est un point quelconque de $\mathcal{D}$, où $\mathcal{D}$ est l'ensemble défini à la question 3. de la partie A. Démontrer que le point $M'$ associé à $M$ appartient à un cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer $\Gamma$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Exercice de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 4~cm). Soit $\Omega$ le point d'affixe 2. On appelle $r$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item On pose $\sigma = h \circ r$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la transformation $\sigma$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. \item Montrer que l'écriture complexe de $\sigma$ est : $z \longmapsto \dfrac{1 + \text{i}}{2}z + 1 - \text{i}$. \item Soit $M$ un point quelconque du plan d'affixe $z$. On désigne par $M'$ son image par $\sigma$ et on note $z'$ l'affixe de $M'$. Montrer que $z - z' = \text{i}\left(2 - z'\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \textbf{Question de cours} $\bullet~$ \emph{Prérequis : définitions géométriques du module d'un nombre complexe et d'un argument d'un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments.} \medskip Démontrer que : si $A$ est un point donné d'affixe $a$, alors l'image du point $P$ d'affixe $p$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est le point $Q$ d'affixe $q$ telle que $q - a = \text{i}(p - a)$. \item Déduire des questions précédentes la nature du triangle $\Omega M M'$, pour $M$ distinct de $\Omega$. \end{enumerate} \item Soit A$_{0}$ le point d'affixe $2 + \text{i}$. On considère la suite $\left(A_{n}\right)$ de points du plan définis par : \[ \text{pour tout entier naturel} \quad n,~ A_{n+1} = \sigma \left(A_{n}\right).\] \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, l'affixe $a_{n}$ de $A_{n}$ est donnée par : \[a_{n} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\frac{(n+2)\pi}{4}}+ 2.\] \item Déterminer l'affixe de $A_{5}$. \end{enumerate} \item Déterminer le plus petit entier $n_{0}$ tel que l'on ait : pour $n \geqslant n_{0}$, le point $A_{n}$ est dans le disque de centre $\Omega$ et de rayon 0,01. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par \[g(x) = \ln x - \dfrac{2}{x}\] On donne ci-dessous le tableau de variations de $g$. \begin{center} \begin{tabular}{|c|lp{2cm}rclp{2cm}r|} \hline $x$ & $0$ & & $2,3$ & $x_0$ & $2,4$ & & $+\infty$\\ \hline & & & & & & & \rnode{C}{$+\infty$}\\ $g(x)$ & & & & \rnode{B}{$0$} & & & \\ & \rnode{A}{$-\infty$} & & & & & & \\ \hline \end{tabular} \psset{nodesep=2pt} \ncline{->}{A}{B}\ncline{->}{B}{C} \end{center} Démontrer toutes les propriétés de la fonction $g$ regroupées dans ce tableau. \medskip \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{5 \ln x}{x}\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f\left(x_{0}\right) = \dfrac{10}{x_{0}^2}$ où $x_{0}$ est le réel apparaissant dans le tableau ci-dessus. \item Soit $a$ un réel. Pour $a > 1$, exprimer $\displaystyle\int_{1}^a f(t)\:\text{d}t$ en fonction de $a$. \end{enumerate} \item On a tracé dans le repère orthonormal \Oij{} ci-dessous les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ notées respectivement $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$. On appelle I le point de coordonnées (1 ; 0), $P_{0}$ le point d'intersection de $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ et de l'axe des abscisses, $M_{0}$ le point de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ayant même abscisse que $P_{0}$ et $H_{0}$ le projeté orthogonal de $M_{0}$ sur l'axe des ordonnées. On nomme $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ le domaine du plan délimité par la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et les segments [I$P_{0}$] et [$P_{0}M_{0}$]. On nomme $\left(\mathcal{D}_{2}\right)$ le domaine du plan délimité par le rectangle construit à partir de [OI] et [O$H_{0}$]. Démontrer que les deux domaines $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ et $\left(\mathcal{D}_{2}\right)$ ont même aire, puis donner un encadrement d'amplitude 0,2 de cette aire. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=1.3cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-3)(7,3) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.665}{7}{x ln 5 mul x div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.743}{7}{x ln 2 x div sub} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.3455}{x ln 5 mul x div} \psline(2.3455,0)(1,0) } \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1,1.8173) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0,1.8173){$H_{0}$} \uput[u](2.3455,1.8173){$M_{0}$} \uput[dr](1,0){I} \uput[dr](2.345,0){$P_{0}$} \uput[u](4,1.733){\blue $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$} \uput[d](4,0.886){$\left(\mathcal{C}_{g}\right)$} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-3)(7,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \end{pspicture*} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. \medskip On s'intéresse aux fonctions $f$ dérivables sur $[0~;~ + \infty[$ vérifiant les conditions \[\left\{\begin{array}{l c l} (1)& :&f'(x) = 4 -\left[f(x)\right]^2 \:\text{ pour tout réel }\: x\:\text{ appartenant à }\: [0~;~+ \infty[\\ (2)& :& f(0) = 0\\ \end{array}\right.\] On admet qu'il existe une unique fonction $f$ vérifiant simultanément (1) et (2). Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante. L'annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve. \medskip \textbf{Partie A. Étude d'une suite} \medskip Afin d'obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction $f$ on utilise la méthode itérative d'Euler avec un pas égal à $0,2$. On obtient ainsi une suite de points notés $\left(M_{n}\right)$, d'abscisse $x_{n}$ et d'ordonnée $y_{n}$ telles que : \[\left\{\begin{array}{l l l} x_{0} = 0& \text{et pour tout entier naturel}&~ n,~ x_{n+1} = x_{n} + 0,2\\ y_{0} = 0& \text{et pour tout entier naturel}& n,~ y_{n+1} = - 0,2y_{n}^2 +y_{n} + 0,8\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau de l'annexe. Compléter ce tableau. On donnera les résultats à $10^{-4}$ près. \item Placer, sur le graphique donné en annexe, les points $M_{n}$ pour $n$ entier naturel inférieur ou égal à 7. \item D'après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite $\left(y_{n}\right)$ et sur sa convergence ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour $x$ réel, on pose $p(x) = - 0,2x^2 + x + 0,8$. Montrer que si $x \in [0~;~2]$ alors $p(x) \in [0~;~2]$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant y_{n} \leqslant 2$. \item Étudier le sens de variation de la suite $\left(y_{n}\right)$. \item La suite $\left(y_{n}\right)$ est-elle convergente ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B. Étude d'une fonction} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = 2\left(\dfrac{\text{e}^{4x} - 1}{\text{e}^{4x} + 1}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ sa courbe représentative. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $g$ vérifie les conditions (1) et (2). \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation. \item Étudier les variations de $g$ sur $[0~;~ + \infty[$. \end{enumerate} \item Déterminer l'abscisse $\alpha$ du point d'intersection de $\Delta$ et de la tangente à $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ à l'origine. \item Tracer, dans le repère de l'annexe, la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ et les éléments mis en évidence dans les questions précédentes de cette partie B. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie avant la fin de l'épreuve} \medskip \textbf{Exercice 4 : Annexe} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline $x_{n}$ &0 &0,2 &0,4 & & & & &\\ \hline $y_{n}$ &0 &\np{0,8000}&\np{1,4720} & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \vspace{1.5cm} \textbf{Partie B} \bigskip \psset{unit=4.5cm} \begin{pspicture}(2.4,2.4) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(2.4,2.4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(2.4,2.4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \end{pspicture}Ò® \end{center} \end{document}