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%Tapuscrit : Jean-Paul GOUALARD
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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.\\
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

Soit (P) le plan  dont une équation est : $2x + y - 3z + 1 = 0$.

Soit A le point de coordonnées (1~;~11~;~7).

\textbf{Proposition 1 :}

\og Le point H, projeté orthogonal de A sur (P), a pour coordonnées (0~;~2~;~1) \fg.
\item On considère l'équation différentielle (E) : $y' = 2 - 2 y$.

On appelle $u$ la solution de (E) sur $\mathbb{R}$ vérifiant $u(0) =0$.

\textbf{Proposition 2 :} \og On a $u\left(\dfrac{\ln 2}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$\fg.
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =\sqrt{7u_{n}}$.

\textbf{Proposition 3 :} \og Pour tout entier naturel $n$, on a $0\leqslant u_{n}\leqslant 7$\fg.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 4~cm).
 
Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \mathrm{i}$ et B le point d'affixe $z_{\text{B}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. On appelle C l'image de B par $r$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une écriture complexe de $r$.
		\item Montrer que l'affixe de C est $z_{\text{C}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$.
		\item Écrire $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique.
		\item Placer les points A, B et C.
\end{enumerate}
		\item Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 2, $- 1$ et 2.
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que l'affixe de D est $z_{\text{D}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}$. Placer le point D.
			\item Montrer que A, B, C et D sont sur un même cercle.
		\end{enumerate}
	\item Soit $h$ l'homothétie de centre A et de rapport 2. On appelle E l'image de D par $h$.
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer une écriture complexe de $h$.
			\item Montrer que l'affixe de E est $z_{\text{E}}=\sqrt{3}$. Placer le point E.
		\end{enumerate}
	\item 
		\begin{enumerate}
			\item Calculer le rapport $\dfrac{z_{\text{D}}-z_{\text{C}}}{z_{\text{E}}-z_{\text{C}}}$. On écrira le résultat sous forme exponentielle.
			\item En déduire la nature du triangle CDE.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  choisi la spécialité mathématiques}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv (unité graphique : 1~cm).

On fera une figure que l'on complétera tout au long de cet exercice.

\medskip

Soient A, B et C les points d'affixes respectives $a = 3 + 5\mathrm{i}$, $b = - 4 + 2 \text{i}$ et $c = 1 + 4 \text{i}$.

Soit $f$ la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par 

\[z’ = (2 - 2\text{i})z + 1.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point B$'$ image du point B par $f$.
		\item Montrer que les droites (CB$'$) et (CA) sont orthogonales.
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ le point d'affixe $z = x + \text{i}y$ , où on suppose que $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

Soit $M'$ l' image de $M$ par $f$.

Montrer que les vecteurs $\vect{\text{C}M'}$ et $\vect{\text{CA}}$ sont orthogonaux si et seulement si 

$x + 3y = 2$.

\item On considère l'équation (E) : $x + 3y = 2$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le couple $(- 4~;~2)$ est une solution de (E).
		\item Résoudre l'équation (E).
		\item En déduire l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l'intervalle $[-5~;~5]$ et tels que les vecteurs $\vect{\text{C}M'}$ et $\vect{\text{CA}}$ soient orthogonaux.
		
Placer ces points sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Un joueur débute un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties.

La probabilité que le joueur perde la première partie est de 0,2.

Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] s'il gagne une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05 ;
\item[$\bullet$] s'il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1.
\end{enumerate}

On appelle :

$E_{1}$ l'évènement \og le joueur perd la première partie\fg ;

$E_{2}$ l'évènement \og le joueur perd la deuxième partie\fg ;

$E_{3}$ l'évènement \og le joueur perd la troisième partie \fg.

\medskip

On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties.

On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $(X = 2)$ est égale à $0,031$ et que celle de l'évènement $(X = 3)$ est égale à $0,002$.
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer l'espérance de $X$.
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $E_{n}$ l'évènement : \og le joueur perd la $n$-ième partie \fg, $\overline{E_{n}}$ l'évènement contraire, et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, les probabilités des évènements $E_{n}\cap E_{n+1}$ et $\overline{E_{n}}\cap E_{n+1}$ en fonction de $p_{n}$.
		\item En déduire que $p_{n+1} = 0,05p_{n} + 0,05$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
	\end{enumerate}

\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : 

$u_{n}=p_{n}-\dfrac{1}{19}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer la limite de $p_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances.}

L'objet de cette question est de démontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.

On supposera connus les résultats suivants :
	\begin{enumerate}
		\item[$\bullet$]  la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et est égale à sa fonction dérivée ;
		\item[$\bullet$] $\mathrm{e}^{0} = 1$ ;
		\item[$\bullet$]  pour tout réel $x$, on a $\mathrm{e}^x > x$.
		\item[$\bullet$] Soient deux fonctions $\varphi$ et $\psi$ définies sur l'intervalle $[A~;~+\infty[$ où $A$ est un réel positif.

Si pour tout x de $[A~;~+\infty[$,  $\psi(x)\leqslant \varphi(x)$ et si $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\psi(x)=+\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\varphi(x)=+\infty$.
	\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.

Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, $g(x)\geqslant 0$.
		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$
	\end{enumerate}
\item On appelle $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) =\dfrac{1}{4}x\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$.

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.

La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ est positive sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. En déduire une conséquence graphique pour $\mathcal{C}$.
		\item Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(x)= \displaystyle\int_{0}^x f(t)\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une fonction strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Montrer que $F(x)=1-\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}-\dfrac{x}{2}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$.
		\item Calculer la limite de $F$ en $+\infty$ et dresser le tableau de variations de $F$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Justifier l'existence d'un unique réel positif $\alpha$ tel que $F(\alpha) = 0,5$.
		
À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à 10$^{-2}$ près par excès.
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $A_{n}$ l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre l'axe des abscisses, la courbe de $f$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x =n$.

Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $A_{n}\geqslant  0,5$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 4}

\vspace{2cm}
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\uput[d](8.2,0){$x$}\uput[l](0,1.25){$y$}
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\end{center}
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