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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small mai 2004} 
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans le plan affine, on considère ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du segment [AB] et J le centre de gravité de ABC.

Pour tout réel $m$, différent de $- \dfrac{1}{3}$, on note $G_m$ le barycentre du système de points pondérés

\[S_m = \left\{(\text{A},~1),~(\text{B},~m),~(\text{C},~2m)\right\}.\]

Pour tout point $M$ du plan on note $\vect{V_{M}} = 
3\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} - 
2\vect{M\text{C}}.$

Pour chacune des six affirmations suivantes, dite si elle est vraie (V) ou fausse (F).
 
\emph{Chaque bonne réponse donne} 0,5 \emph{point, chaque réponse fausse ou illisible enlève} 0,25 \emph{point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Un éventuel total négatif serait ramené à} 0.\\
Répondre aux affirmations sur la page annexe.

\begin{center}\renewcommand{\arraystretch}{2.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| l |>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\multicolumn{1}{| c |}{\textbf{Affirmation}}& ~\textbf{V ou F}~\\ \hline
G$_{1}$ est le milieu du segment [CI].& \\ \hline
$_{\rule[0mm]{0mm}{5mm}}$ G$_{1}$ est barycentre de $\left\{(\text{J},~ 2),~\left(\text{C},~\dfrac{2}{3}\right)\right\}$& \\ \hline
Pour tout point $M~, ~\vect{V_{M}} = 
\vect{\text{AB}} + 2\vect{\text{AC}}$.&\\ \hline 
Pour tout $m$, distinct de $- \dfrac{1}{3},~ \vect{\text{A}G_{m}}$ est colinéaire à 
$\vect{\text{AG}_{-1}}$.&\\ \hline
IBG$_{-\frac{1}{2}}$ est un triangle rectangle.&\\ \hline
Pour tout point $P$ de (AG$_{-1}$), il existe un réel $m$ tel que 
$P = G_{m}$.&\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

\begin{enumerate} 
\item On veut résoudre dans $\C$ l'équation 

\[(\text{E}) \quad  : z^3 + 4z^2 + 2z - 28 = 0.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que l'équation (E) 
s'écrive : 

\[(z - 2)\left(z^2 + az + b\right) = 0.\]

		\item Résoudre (E)
	\end{enumerate}
\item On note (H) l'ensemble des points $M$ du plan complexe d'affixe $z$ vérifiant :

\[z^2 - 4 = 4 - \overline{z}^2.\]

	\begin{enumerate} 
		\item On note $x$ et $y$ les parties réelle et imaginaire de l'affixe  $z$ d'un point $M$.
 
Montrer que : $M$ appartient à (H) si et seulement si

\[x^2 -y^2 = 4.\]
		\item Soient A, B et C les points d'affixes respectives $2$,\: $-3 - 
\text{i}\sqrt{5}$ et $-3 + \text{i}\sqrt{5}$. 

Vérifier que A, B et C appartiennent à (H). 
	\end{enumerate}
\item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les affixes de A$'$, B$'$ et C$'$, images respectives de A, B et C par la rotation $r$ (on donnera ces affixes sous la forme algébrique).
		\item On note $M'$ l'image par $r$ du point $M$ d'affixe $z$. On note $z'$ l'affixe de $M'$.  Les parties réelle et imaginaire de $z$ sont 
notées $x$ et $y$, celles de $z'$ sont notées $x'$ et $y'$. On note (H$'$) 
l'ensemble des points du plan dont l'antécédent par $r$ est un point de (H).

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item  Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$.
\item  En utilisant la question \textbf{2. a.} prouver que : $M'$ appartient à (H$'$) si et seulement si

\[x'y' = -2.\]

\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
	\end{enumerate}
\item Faire une figure sur laquelle on placera les points A, B, C, A$'$, B$'$, C$'$, la courbe (H$'$), puis la courbe (H).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

Soient les points A, A$'$, B et B$'$ d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 1 - 2\text{i},~ z_{\text{A}'} =-2 + 
4\text{i},~z_{\text{B}} =3 - \text{i},~z_{\text{B}'} = 5\text{i}.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Placer les points A, A$'$, B et B$'$ dans le plan complexe. Monter que ABB$'$A$'$ est un rectangle.
		\item Soit $s$ la réflexion telle que $s$(A)=A$'$ et $s$(B)=B$'$. On note ($\Delta$) son axe.

Donner une équation de la droite ($\Delta$) et la tracer dans le plan complexe.
		\item On note $z'$ l'affixe du point $M'$ image par $s$ du point $M$ d'affixe $z$.

Montrer que

\[z'= \left(\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}\text{i}\right)\overline{z} + 
2\text{i}-1.\]

	\end{enumerate}
\item Soit $g$ l'application du plan dans lui même qui à tout point $M$ 
d'affixe $z$ associe le point $P$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)\overline{z} + 5 - \text{i}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item On note $C$ et $D$ les images respectives de A et B par $g$ ; déterminer les  affixes de $C$ et $D$ et placer ces points dans le plan complexe.
		\item Soit $\Omega$ le point d'affixe $1 + \text{i}$ et soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $- 2$.

Montrer que $C$ et $D$ sont les images respectives de A$'$ et B$'$ 
par $h$.
		\item Soit $M_{1}$ d'affixe $z_{1}$ l'image par $h$ de $M$, d'affixe $z$. Donner les éléments caractéristiques de $h^{-1}$ et exprimer $z$ en fonction de $z_{1}$.
	\end{enumerate}
\item On pose $f = h ^{-1} \circ g$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'expression complexe de $f$.
		\item Reconnaître $f$. En déduire une construction du point $P$, image par $g$ d'un point $M$ quelconque donné du plan.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\emph{Un jeu de hasard est formé d'un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme suivante} :

\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{15}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
B&B&B&B&B&B&B&B&B&J&J&J&V&V&R\\ \hline
R&V&V&J&J&J&B&B&B&B&B&B&B&B&B\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}
    
\emph{La fléchette atteint toujours une case et une seule.}

\emph{Les trente cases, blanches} (B), \emph{jaunes} (J), \emph{vertes} 
(V) \emph{ou rouges} (R), \emph{ont toutes la même probabilité d'être 
atteintes.}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros.
\item Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 euros.
\item Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.
\item Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd $a$ euros,  la lettre $a$ désigne un nombre réel positif.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate} 
\item On note $X$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté négativement quand il perd).
	\begin{enumerate} 
		\item Donner la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer $a$ pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que l'espérance E($X$) soit nulle. 
	\end{enumerate} 
\item Un joueur est considéré comme gagnant s'il a obtenu un gain strictement positif.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité $p$ qu'un joueur gagne ?
		\item Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes. Quelle est la probabilité qu'il gagne exactement 2 fois ? exactement 5 fois ?
		\item Quel est le nombre moyen de parties gagnantes dans la situation décrite en \textbf{2. b.} ?
 	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center} \textbf{Partie I} \end{center}
    
On donne un entier naturel $n$ strictement positif, et on considère l'équation différentielle :

\[(\text{E}_{n})\qquad 	y'+y = \dfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate} 
\item On fait l'hypothèse que deux fonctions $g$ et $h$, définies et 
dérivables sur $\R$, vérifient, pour tout $x$ réel :
\[g(x) = h(x)\text{e}^{-x}.\]
	
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $g$ est solution de (E$_{n}$) si et seulement si, pour tout $x$ réel,
		
\[h'(x) = \dfrac{x^n}{n!}.\]

	\item En déduire la fonction $h$ associée à une solution $g$ de (E$_{n}$), sachant que $h(0)= 0$.
 
Quelle est alors la fonction $g$ ?
	\end{enumerate}
\item Soit $\varphi$ une fonction dérivable sur $\R$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\varphi$ est solution de (E$_{n}$) si et seulement si $\varphi - g$ est solution de l'équation :
		
\[(\text{F})\qquad 	y' + y = 0.\]

		\item Résoudre (F). 
		\item Déterminer la solution générale $\varphi$ de l'équation (E$_{n}$). 
		\item Déterminer la solution $f$ de l'équation (E$_{n}$) vérifiant $f(0) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie II} \end{center}
    
Le but de cette partie est de montrer que

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!} = 
\text{e} \quad  (\text{on rappelle que par convention} \quad 0! = 1).\]

\begin{enumerate} 
\item On pose, pour tout $x$ réel,

\[f_{0}(x) = \text{e}^{-x},~f_{1}(x) = x\text{e}^{-x}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $f_{1}$ est solution de l'équation différentielle : $y' + y = f_{0}$.
		\item Pour tout entier strictement positif $n$, on définit la fonction $f_{n}$ comme la solution de l'équation différentielle $y' + y =  f_{n-1}$ vérifiant $f_{n}(0) = 0$.
 
En utilisant la \textbf{Partie I}, montrer par récurrence que, pour tout $x$ réel et tout entier $n \geqslant  1$ :

\[f_{n}(x) = \dfrac{x^{n}}{n!}\text{e}^{-x}.\]

	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose :

\[I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 f_{n}(x)\:\text{d}x. \quad \text{(on 
ne cherchera pas à calculer}~ I_{n})\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer, pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x$ élément de l'intervalle  [0~;~1], l'encadrement :

\[0 \leqslant f_{n}(x) \leqslant \dfrac{x^{n}}{n!}.\]

En déduire que $0 \leqslant I_{n} \leqslant \dfrac{1}{(n+1)!}$,~ puis déterminer la limite de la suite $\left(I_{n}\right)$.
		\item Montrer, pour tout entier naturel $k$ non nul, l'égalité : $I_{k} - I_{k-1} = - \dfrac{1}{k!}\text{e}^{-1}.$
		\item Calculer I$_{0}$ et déduire de ce qui précède que :

\[I_{n} = 1 - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{\text{e}^{-1}}{k!}\]

		\item En déduire finalement :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} = 
\text{e}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}