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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{3 juin 2010}}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 3 juin 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :

\hfill$\text{A}(1~;~- 2~;~4) \quad  \text{B}(-2~;~-6~;~5)\quad  \text{C}(- 4~;~0~;~-3)$.\hfill{}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}(1~;~-1~;~-1)$ est un vecteur normal au plan (ABC).
		\item Déterminer une équation du plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC).
		\item Déterminer les coordonnées du point O$'$ projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur La droite (BC).

Soit $t$ le réel tel que $\vect{\text{BH}} = t \vect{\text{BC}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $t = \dfrac{\vect{\text{BO}} \cdot \vect{\text{BC}}}{\left\|\vect{\text{BC}}\right\|^2}$.
		\item En déduire le réel $t$ et les coordonnées du point H.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une urne contient des boules indiscernables au toucher.

20\,\% des boules portent le numéro 1 et sont rouges.

Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10\,\% sont rouges et les autres sont vertes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ?
\item On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge.

Montrer que la probabilité qu'elle porte le numéro 2 est égale à $\dfrac{2}{7}$. 
\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On effectue $n$ tirages successifs d'une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l'urne).
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $n$ la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des $n$ tirages.
		\item Déterminer l'entier $n$ à partir duquel la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des $n$ tirages est supérieure ou égale à $0,99$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.
 
On considère les points A d'affixe i, B d'affixe $-2\text{i}$ et D d'affixe 1.
 
On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.
 
Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ $(z \neq \text{i})$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = \dfrac{2 z - \text{i}}{\text{i}z + 1}.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point E a pour affixe $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + \text{i})$.
\item Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point D$'$ associé au point D par l'application $f$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $\text{i},$
		$\left(z'+ 2\text{i}\right) (z - \text{i}) = 1$.
		\item En déduire que pour tout point $M$ d'affixe $z (z \neq  \text{i})$ :

\[\begin{array}{l}
		\text{B}M' \times \text{A}M = 1\\
		\text{et}~ \left(\vect{u},~ \vect{\text{B}M'}\right) = - \left(\vect{u},~ \vect{\text{A}M}\right) + k \times 2\pi~ \text{où}~k~\text{est un entier relatif.}
		\end{array}\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon $\sqrt{2}$.
		\item En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E$'$ associé au point E par l'application $f$. On laissera apparents les traits de construction.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle BD$'$ E$'$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On cherche l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x,~y)$ solutions de l'équation 

\[(\text{E}) :\quad  16x - 3y = 4.\]

\begin{enumerate}
\item Vérifier que le couple (1,~4) est une solution particulière de (E).
\item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On considère la transformation $f$ du plan, qui à tout point $M$ d' affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par

\hfill $z' = \sqrt{2}\text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{8}}z$.\hfill{}

\smallskip

On définit une suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la manière suivante :

le point $M_{0}$ a pour affixe $z_{0} = \text{i}$ et pour tout entier naturel $n$, $M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$.

On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$

Les points $M_{0}$, $M_{1}$,  $M_{2}$ et $M_{3}$ sont placés sur la figure donnée en annexe page 6.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$.
\item On note $g$ la transformation $f \circ f \circ f \circ f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, O$M_{n+4} =4 \text{O}M_{n}$ et que 

$\left(\vect{\text{O}M_{n}},~\vect{\text{O}M_{n+4}}\right) = - \dfrac{\pi}{2} + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif.
		\item Compléter la figure en construisant les points $M_{4}$, $M_{5}$ et $M_{6}$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $z_{n} = \left(\sqrt{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{3n\pi}{8} \right)}$.
\item Soient deux entiers naturels $n$ et $p$ tels que $p \leqslant n$.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer en fonction de $n$ et $p$ une mesure de $\left(\vect{\text{O}M_{p}},~\vect{\text{O}M_{n}}\right)$.
		\item Démontrer que les points O, $M_{p}$ et $M_{n}$ sont alignés si et seulement si $n - p$ est un multiple de $8$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que le point $M_{n}$ appartienne à la demi-droite [O$x$). On pourra utiliser la partie A.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

À tout entier naturel $n$ non nul, on associe la fonction $f_{n}$ définie sur $\R$ par

\[f_{n}(x) = \dfrac{4\text{e}^{nx}}{\text{e}^{nx} + 7}.\]

On désigne par $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$ dans un repère orthonormal \Oij.

Les courbes $\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont données en annexe.

\medskip

\textbf{Partie A :} Étude de la fonction $f_{1}$ définie sur $\R$  par $f_{1} (x) = \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 7}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que pour tout réel $x,~f_{1}(x) = \dfrac{4}{1 + 7\text{e}^{-x}}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ admet deux asymptotes dont on précisera des équations.
		\item Démontrer que la fonction $f_{1}$ est strictement croissante sur $\R$. 
		\item Démontrer que pour tout réel $x,~ 0 < f_{1}(x) < 4$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point I$_{1}$ de coordonnées $(\ln 7~;~2)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_{1}$.
		\item Déterminer une équation de la tangente $\left(T_{1}\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ au point I$_{1}$.
		\item Tracer la droite $\left(T_{1}\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\R$.
		\item Calculer la valeur moyenne de $f_{1}$ sur l'intervalle $[0~;~\ln 7]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :} Étude de certaines propriétés de la fonction $f_{n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul le point A$\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{n}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul la courbe $\mathcal{C}_{n}$ et la droite d'équation $y = 2$ ont un unique point d'intersection dont on précisera l' abscisse.

On note $I_{n}$ ce point d'intersection.
		\item Déterminer une équation de la tangente $\left(T_{n}\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_{n}$ au point $I_{n}$.
		\item Tracer les droites $\left(T_{2}\right)$ et $\left(T_{3}\right)$. 
	\end{enumerate}
\item  Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par 

\[u_{n} = \dfrac{n}{\ln 7}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\ln 7}{n}} f_{n}(x)\:\text{d}x.\]

Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve}
\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 3 (enseignement de spécialité)}
\end{flushleft}

\medskip

\psset{unit=0.7cm,arrowsize =2pt 3}
\begin{pspicture}(-8,-6)(9,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-8,-6)(9,7)
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\uput[u](-1.307,0.541){$M_{1}$}\uput[l](-1.439,-1.413){$M_{2}$}\uput[r](1.067,-2.643){$M_{3}$}
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\uput[d](9,0){$x$}\uput[l](0,7){$y$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0,1){$M_{0}$}
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\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 4}
\end{flushleft}

\medskip

\psset{unit=1cm,arrowsize =2pt 3}
\begin{pspicture}(-4,-2)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4,-2)(6,5)
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}