%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{enumerate} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \everymath{\displaystyle} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{3 juin 2010}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \cfoot{\thepage} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 3 juin 2010~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives : \hfill$\text{A}(1~;~- 2~;~4) \quad \text{B}(-2~;~-6~;~5)\quad \text{C}(- 4~;~0~;~-3)$.\hfill{} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}(1~;~-1~;~-1)$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item Déterminer une équation du plan (ABC). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC). \item Déterminer les coordonnées du point O$'$ projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). \end{enumerate} \item On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur La droite (BC). Soit $t$ le réel tel que $\vect{\text{BH}} = t \vect{\text{BC}}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $t = \dfrac{\vect{\text{BO}} \cdot \vect{\text{BC}}}{\left\|\vect{\text{BC}}\right\|^2}$. \item En déduire le réel $t$ et les coordonnées du point H. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 20\,\% des boules portent le numéro 1 et sont rouges. Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10\,\% sont rouges et les autres sont vertes. \medskip \begin{enumerate} \item On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ? \item On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge. Montrer que la probabilité qu'elle porte le numéro 2 est égale à $\dfrac{2}{7}$. \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On effectue $n$ tirages successifs d'une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l'urne). \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $n$ la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des $n$ tirages. \item Déterminer l'entier $n$ à partir duquel la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des $n$ tirages est supérieure ou égale à $0,99$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice. On considère les points A d'affixe i, B d'affixe $-2\text{i}$ et D d'affixe 1. On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct. Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ $(z \neq \text{i})$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = \dfrac{2 z - \text{i}}{\text{i}z + 1}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que le point E a pour affixe $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + \text{i})$. \item Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point D$'$ associé au point D par l'application $f$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $\text{i},$ $\left(z'+ 2\text{i}\right) (z - \text{i}) = 1$. \item En déduire que pour tout point $M$ d'affixe $z (z \neq \text{i})$ : \[\begin{array}{l} \text{B}M' \times \text{A}M = 1\\ \text{et}~ \left(\vect{u},~ \vect{\text{B}M'}\right) = - \left(\vect{u},~ \vect{\text{A}M}\right) + k \times 2\pi~ \text{où}~k~\text{est un entier relatif.} \end{array}\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon $\sqrt{2}$. \item En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E$'$ associé au point E par l'application $f$. On laissera apparents les traits de construction. \end{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle BD$'$ E$'$ ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On cherche l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x,~y)$ solutions de l'équation \[(\text{E}) :\quad 16x - 3y = 4.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple (1,~4) est une solution particulière de (E). \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère la transformation $f$ du plan, qui à tout point $M$ d' affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \hfill $z' = \sqrt{2}\text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{8}}z$.\hfill{} \smallskip On définit une suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la manière suivante : le point $M_{0}$ a pour affixe $z_{0} = \text{i}$ et pour tout entier naturel $n$, $M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$ Les points $M_{0}$, $M_{1}$, $M_{2}$ et $M_{3}$ sont placés sur la figure donnée en annexe page 6. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$. \item On note $g$ la transformation $f \circ f \circ f \circ f$. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, O$M_{n+4} =4 \text{O}M_{n}$ et que $\left(\vect{\text{O}M_{n}},~\vect{\text{O}M_{n+4}}\right) = - \dfrac{\pi}{2} + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif. \item Compléter la figure en construisant les points $M_{4}$, $M_{5}$ et $M_{6}$. \end{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $z_{n} = \left(\sqrt{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{3n\pi}{8} \right)}$. \item Soient deux entiers naturels $n$ et $p$ tels que $p \leqslant n$. \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $n$ et $p$ une mesure de $\left(\vect{\text{O}M_{p}},~\vect{\text{O}M_{n}}\right)$. \item Démontrer que les points O, $M_{p}$ et $M_{n}$ sont alignés si et seulement si $n - p$ est un multiple de $8$. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que le point $M_{n}$ appartienne à la demi-droite [O$x$). On pourra utiliser la partie A. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip À tout entier naturel $n$ non nul, on associe la fonction $f_{n}$ définie sur $\R$ par \[f_{n}(x) = \dfrac{4\text{e}^{nx}}{\text{e}^{nx} + 7}.\] On désigne par $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$ dans un repère orthonormal \Oij. Les courbes $\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont données en annexe. \medskip \textbf{Partie A :} Étude de la fonction $f_{1}$ définie sur $\R$ par $f_{1} (x) = \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 7}$ \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout réel $x,~f_{1}(x) = \dfrac{4}{1 + 7\text{e}^{-x}}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ admet deux asymptotes dont on précisera des équations. \item Démontrer que la fonction $f_{1}$ est strictement croissante sur $\R$. \item Démontrer que pour tout réel $x,~ 0 < f_{1}(x) < 4$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le point I$_{1}$ de coordonnées $(\ln 7~;~2)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_{1}$. \item Déterminer une équation de la tangente $\left(T_{1}\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ au point I$_{1}$. \item Tracer la droite $\left(T_{1}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\R$. \item Calculer la valeur moyenne de $f_{1}$ sur l'intervalle $[0~;~\ln 7]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} Étude de certaines propriétés de la fonction $f_{n}$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul le point A$\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{n}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul la courbe $\mathcal{C}_{n}$ et la droite d'équation $y = 2$ ont un unique point d'intersection dont on précisera l' abscisse. On note $I_{n}$ ce point d'intersection. \item Déterminer une équation de la tangente $\left(T_{n}\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_{n}$ au point $I_{n}$. \item Tracer les droites $\left(T_{2}\right)$ et $\left(T_{3}\right)$. \end{enumerate} \item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par \[u_{n} = \dfrac{n}{\ln 7}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\ln 7}{n}} f_{n}(x)\:\text{d}x.\] Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve} \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Exercice 3 (enseignement de spécialité)} \end{flushleft} \medskip \psset{unit=0.7cm,arrowsize =2pt 3} \begin{pspicture}(-8,-6)(9,7) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-8,-6)(9,7) \psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](0,0)(0,1)(-1.307,0.541)(-1.439,-1.413)(1.067,-2.643) \uput[u](-1.307,0.541){$M_{1}$}\uput[l](-1.439,-1.413){$M_{2}$}\uput[r](1.067,-2.643){$M_{3}$} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[d](9,0){$x$}\uput[l](0,7){$y$} \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0,1){$M_{0}$} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-8,-6)(9,7) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \end{pspicture} \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Exercice 4} \end{flushleft} \medskip \psset{unit=1cm,arrowsize =2pt 3} \begin{pspicture}(-4,-2)(6,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4,-2)(6,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-2)(6,5) \uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,5){$y$} \uput[dl](0,0){O} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-4}{6}{2.71828 x exp 4 mul 2.71828 x exp 7 add div} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-4}{6}{2.71828 2 x mul exp 4 mul 2.71828 2 x mul exp 7 add div} \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-4}{6}{2.71828 3 x mul exp 4 mul 2.71828 3 x mul exp 7 add div} \uput[dr](1.4,1.5){\blue $\mathcal{C}_{1}$} \uput[d](2.4,3.7){\red $\mathcal{C}_{2}$} \uput[u](2.5,3.95){$\mathcal{C}_{3}$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}