%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small mai 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2004~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans le plan affine, on considère ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du segment [AB] et J le centre de gravité de ABC. Pour tout réel $m$, différent de $- \dfrac{1}{3}$, on note $G_m$ le barycentre du système de points pondérés \[S_m = \left\{(\text{A},~1),~(\text{B},~m),~(\text{C},~2m)\right\}.\] Pour tout point $M$ du plan on note $\vect{V_{M}} = 3\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} - 2\vect{M\text{C}}.$ Pour chacune des six affirmations suivantes, dite si elle est vraie (V) ou fausse (F). \emph{Chaque bonne réponse donne} 0,5 \emph{point, chaque réponse fausse ou illisible enlève} 0,25 \emph{point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Un éventuel total négatif serait ramené à} 0. Répondre aux affirmations sur la page annexe. \begin{center}\renewcommand{\arraystretch}{2.4} \begin{tabularx}{\linewidth}{| l |>{\centering \arraybackslash}X|}\hline \multicolumn{1}{| c |}{\textbf{Affirmation}}& ~\textbf{V ou F}~\\ \hline G$_{1}$ est le milieu du segment [CI].& \\ \hline $_{\rule[0mm]{0mm}{5mm}}$ G$_{1}$ est barycentre de $\left\{(\text{J},~ 2),~\left(\text{C},~\dfrac{2}{3}\right)\right\}$& \\ \hline Pour tout point $M~, ~\vect{V_{M}} = \vect{\text{AB}} + 2\vect{\text{AC}}$.&\\ \hline Pour tout $m$, distinct de $- \dfrac{1}{3},~ \vect{\text{A}G_{m}}$ est colinéaire à $\vect{\text{AG}_{-1}}$.&\\ \hline IBG$_{-\frac{1}{2}}$ est un triangle rectangle.&\\ \hline Pour tout point $P$ de (AG$_{-1}$), il existe un réel $m$ tel que $P = G_{m}$.&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item On veut résoudre dans $\C$ l'équation \[(\text{E}) :\quad z^3 + 4z^2 + 2z - 28 = 0.\] \begin{enumerate} \item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que l'équation (E) s'écrive : \[(z - 2)\left(z^2 + az + b\right) = 0.\] \item Résoudre (E) \end{enumerate} \item On note (H) l'ensemble des points $M$ du plan complexe d'affixe $z$ vérifiant : \[z^2 - 4 = 4 - \overline{z}^2.\] \begin{enumerate} \item On note $x$ et $y$ les parties réelle et imaginaire de l'affixe $z$ d'un point $M$. Montrer que : $M$ appartient à (H) si et seulement si \[x^2 -y^2 = 4.\] \item Soient A, B et C les points d'affixes respectives $2$,\: $-3 - \text{i}\sqrt{5}$ et $-3 + \text{i}\sqrt{5}$. Vérifier que A, B et C appartiennent à (H). \end{enumerate} \item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes de A$'$, B$'$ et C$'$, images respectives de A, B et C par la rotation $r$ (on donnera ces affixes sous la forme algébrique). \item On note $M'$ l'image par $r$ du point $M$ d'affixe $z$. On note $z'$ l'affixe de $M'$. Les parties réelle et imaginaire de $z$ sont notées $x$ et $y$, celles de $z'$ sont notées $x'$ et $y'$. On note (H$'$) l'ensemble des points du plan dont l'antécédent par $r$ est un point de (H). \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$. \item En utilisant la question \textbf{2. a.} prouver que : $M'$ appartient à (H$'$) si et seulement si \[x'y' = -2.\] \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \item Faire une figure sur laquelle on placera les points A, B, C, A$'$, B$'$, C$'$, la courbe (H$'$), puis la courbe (H). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. Soient les points A, A$'$, B et B$'$ d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 1 - 2\text{i},~ z_{\text{A}'} =-2 + 4\text{i},~z_{\text{B}} =3 - \text{i},~z_{\text{B}'} = 5\text{i}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer les points A, A$'$, B et B$'$ dans le plan complexe. Monter que ABB$'$A$'$ est un rectangle. \item Soit $s$ la réflexion telle que $s$(A)=A$'$ et $s$(B)=B$'$. On note ($\Delta$) son axe. Donner une équation de la droite ($\Delta$) et la tracer dans le plan complexe. \item On note $z'$ l'affixe du point $M'$ image par $s$ du point $M$ d'affixe $z$. Montrer que \[z'= \left(\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}\text{i}\right)\overline{z} + 2\text{i}-1.\] \end{enumerate} \item Soit $g$ l'application du plan dans lui même qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $P$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)\overline{z} + 5 - \text{i}.\] \begin{enumerate} \item On note $C$ et $D$ les images respectives de A et B par $g$ ; déterminer les affixes de $C$ et $D$ et placer ces points dans le plan complexe. \item Soit $\Omega$ le point d'affixe $1 + \text{i}$ et soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $- 2$. Montrer que $C$ et $D$ sont les images respectives de A$'$ et B$'$ par $h$. \item Soit $M_{1}$ d'affixe $z_{1}$ l'image par $h$ de $M$, d'affixe $z$. Donner les éléments caractéristiques de $h^{-1}$ et exprimer $z$ en fonction de $z_{1}$. \end{enumerate} \item On pose $f = h^{-1} \circ g$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression complexe de $f$. \item Reconnaître $f$. En déduire une construction du point $P$, image par $g$ d'un point $M$ quelconque donné du plan. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Un jeu de hasard est formé d'un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme suivante} : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{15}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline B&B&B&B&B&B&B&B&B&J&J&J&V&V&R\\ \hline R&V&V&J&J&J&B&B&B&B&B&B&B&B&B\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \emph{La fléchette atteint toujours une case et une seule.} \emph{Les trente cases, blanches} (B), \emph{jaunes} (J), \emph{vertes} (V) \emph{ou rouges} (R), \emph{ont toutes la même probabilité d'être atteintes.} \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros. \item Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 euros. \item Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien. \item Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd $a$ euros, la lettre $a$ désigne un nombre réel positif. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté négativement quand il perd). \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $X$. \item Calculer $a$ pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que l'espérance E($X$) soit nulle. \end{enumerate} \item Un joueur est considéré comme gagnant s'il a obtenu un gain strictement positif. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $p$ qu'un joueur gagne ? \item Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes. Quelle est la probabilité qu'il gagne exactement 2 fois ? exactement 5 fois ? \item Quel est le nombre moyen de parties gagnantes dans la situation décrite en \textbf{2. b.} ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \begin{center} \textbf{Partie I} \end{center} On donne un entier naturel $n$ strictement positif, et on considère l'équation différentielle : \[(\text{E}_{n})\qquad y'+y = \dfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item On fait l'hypothèse que deux fonctions $g$ et $h$, définies et dérivables sur $\R$, vérifient, pour tout $x$ réel : \[g(x) = h(x)\text{e}^{-x}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Montrer que $g$ est solution de (E$_{n}$) si et seulement si, pour tout $x$ réel, \[h'(x) = \dfrac{x^n}{n!}.\] \item En déduire la fonction $h$ associée à une solution $g$ de (E$_{n}$), sachant que $h(0)= 0$. Quelle est alors la fonction $g$ ? \end{enumerate} \item Soit $\varphi$ une fonction dérivable sur $\R$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est solution de (E$_{n}$) si et seulement si $\varphi - g$ est solution de l'équation : \[(\text{F})\qquad y' + y = 0.\] \item Résoudre (F). \item Déterminer la solution générale $\varphi$ de l'équation (E$_{n}$). \item Déterminer la solution $f$ de l'équation (E$_{n}$) vérifiant $f(0) = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie II} \end{center} Le but de cette partie est de montrer que \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!} = \text{e} \quad (\text{on rappelle que par convention} \quad 0! = 1).\] \smallskip \begin{enumerate} \item On pose, pour tout $x$ réel, \[f_{0}(x) = \text{e}^{-x},~f_{1}(x) = x\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $f_{1}$ est solution de l'équation différentielle : $y' + y = f_{0}$. \item Pour tout entier strictement positif $n$, on définit la fonction $f_{n}$ comme la solution de l'équation différentielle $y'+y = f_{n-1}$ vérifiant $f_{n}(0) = 0$. En utilisant la \textbf{Partie I}, montrer par récurrence que, pour tout $x$ réel et tout entier $n \geqslant 1$ : \[f_{n}(x) = \dfrac{x^{n}}{n!}\text{e}^{-x}.\] \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose : \[I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 f_{n}(x)\:\text{d}x. \quad \text{(on ne cherchera pas à calculer}~ I_{n})\] \begin{enumerate} \item Montrer, pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x$ élément de l'intervalle [0~;~1], l'encadrement : \[0 \leqslant f_{n}(x) \leqslant \dfrac{x^{n}}{n!}.\] En déduire que $0 \leqslant I_{n} \leqslant \dfrac{1}{(n+1)!}$,~ puis déterminer la limite de la suite $\left(I_{n}\right)$. \item Montrer, pour tout entier naturel $k$ non nul, l'égalité : $I_{k} - I_{k-1} = - \dfrac{1}{k!}\text{e}^{-1}.$ \item Calculer I$_{0}$ et déduire de ce qui précède que : \[I_{n} = 1 - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{\text{e}^{-1}}{k!}\] \item En déduire finalement : \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} = \text{e}.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}