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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 1993}}
\rfoot{\small{Amérique du Nord}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Amérique du Nord
 juin 1993 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 1,5 point}

\[A = \dfrac{\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{4}}{1 + \dfrac{2}{5}}.\]

Calculer $A$.

Donner le résultat sous la forme d'une fraction aussi simple que possible.

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 1,5 point}

 \[B = \dfrac{12 \times  10^{-9} \times 5 \times \left(10^2\right)^3}{24 \times 10^{-2}}\]

Calculer $B$.

Donner le résultat sous la forme $a \cdot 10^p$ ,\,  $a$ et $p$ étant
entiers, $a$ aussi petit que possible.

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 1,5 point}

\[C = \sqrt{300} - 3\sqrt{12}  + 4 - 2\sqrt{3}.\]

Écrire $C$ sous la forme $a + b\sqrt{c}$, \, $a$, $b$ et $c$ étant trois nombres entiers positifs.

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 1,5 point}

Factoriser:

$D = (3x - 4)(x - 3) - (3x - 4)^2$

\bigskip

\textbf{Exercice 5 \hfill 2 points}

Développer : 

\[E=(2x + 3)^2- 2(x + 4)(x + 3)\]

\bigskip

\textbf{Exercice 6 \hfill 2 points}

Dans un rectangle donné, la largeur est égale au tiers de la longueur. 

Calculer les dimensions de ce rectangle sachant que son aire est égale
à 216,75 cm$^2$.

\bigskip

\textbf{Exercice 7 \hfill 2 points}

Un commerçant vend seulement $360$~F un blouson dont le prix marqué était $450$~F.

Calculer le pourcentage de la réduction par rapport au prix marqué.

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que AB $= 6$~cm, BC $= 5$~cm et
CA $= 7$~cm.

Construire le trapèze ABCD tel que (AB) soit parallèle à (CD) et
CD $= 8$~cm ; [AC] et [BD] se coupent en O.
\item Calculer $\dfrac{\text{OC}}{\text{OA}}$ puis OA.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\parbox{0.5\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Reproduire la figure ci-contre, sur une feuille de papier millimétré.
\item Construire le symétrique A$_1$B$_1$D$_1$E$_1$ de ABDE par rapport à la droite (AE).
\item Construire l'image A$_2$B$_2$D$_2$E$_2$ de A$_1$B$_1$D$_1$E$_1$ par la translation de vecteur $\vect{\text{B}_1\text{A}_1}$.
\item Construire l'image du triangle EDE$_2$ par la rotation de centre E, d'angle $90\degres$ dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}
}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(0,-0.5)(6.5,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.5pt,subgridwidth=0.1pt]
\pspolygon[linewidth=1.5pt](1,2.5)(3,0.5)(6,0.5)(3,3.5)(1,5.5)%ABCDE
\uput[l](1,2.5){A}\uput[dl](3,0.5){B}\uput[dr](6,0.5){C}\uput[ur](3,3.5){D}\uput[u](1,5.5){E}
\end{pspicture*}
}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 3 points}

\parbox{0.66\linewidth}{Le cône de révolution représenté a pour hauteur SO $= 9$~cm.

Le disque de base a pour rayon OA $= 3$~cm.

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de la mesure de la génératrice [SA].
\item Déterminer la mesure arrondie à $1\degres$ près de l'angle $\widehat{\text{ASO}}$.
\item Calculer le volume de ce cône. Le résultat sera arrondi à 1~cm$^3$ près.
\end{enumerate}

\emph{Rappel} : le volume $V$ d'un cône de hauteur $h$ et d'aire de base $B $ est :
\[V = \dfrac{B \times h}{3}.\]
}\hfill
\parbox{0.32\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1.25)(2.5,6)
%\psgrid
\psellipticarc(0,0)(2,1){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(2,1){0}{180}
\psline(2,0)(0,5.75)(-2,0)\psline(-1.075,-0.85)(0,5.75)
\psline[linestyle=dashed](0,5.75)(0,0)(-1.075,-0.85)
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(2,0)
\uput[dl](-1.075,-0.85){A}\uput[dr](0,0){O}\uput[r](0,5.75){S}
\psline[linestyle=dashed](0,0.375)(-0.3,0.1)(-0.3,-0.25)
\end{pspicture*}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

Une société de transport décide d'étudier à partir du mois de juin la rentabilité de chacun de ses autocars.

Il y a deux sortes de dépenses: des charges fixes mensuelles et des frais de carburant.

Les recettes sont constituées par la facturation à $7,50$~F le km de chaque voyage effectué par un autocar.

Voici le tableau de données pour un autocar :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{1}{c|}{~}&Charges fixes en F&Consommation en litres par 100 km&Distance parcourue en km&Prix du litre de carburant en F&Recette pour 1~km en F\\ \hline
Juin 	&\np{3300}&30&\np{2500}	&3 	&7,50\\ \hline
Juillet	&\np{3300}&30&$x$		&3	&7,50\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{A. Dépenses et recettes en juin}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en litres la quantité de carburant consommé en juin par cet autocar.
\item Calculer le montant des dépenses en juin (charges fixes augmentées des frais de carburant consommé en juin).
\item Calculer la recette en juin pour cet autocar.
\item Calculer pour cet autocar le bénéfice réalisé en juin (recette
mensuelle à laquelle on retire les dépenses).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Dépenses et recettes en juillet}

\medskip

Le nombre $x$ de kilomètres est inconnu, les autres données sont identiques à celles de juin.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $Q$ la quantité de carburant consommé en juillet. Exprimer $Q$ en fonction de $x$.
\item On appelle $y$ le montant des dépenses en juillet. Démontrer que $y = 0,9x + \np{3300}$.
\item On appelle $z$ la recette de juillet. Exprimer $z$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Graphiques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthogonal, construire les deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives :

\[y = 0,9x + \np{3300}\quad \text{et}\quad  y = 7,5x.\]

(Utiliser une feuille de papier millimétré. Prendre en abscisse $1$~cm pour $200$~km et en ordonnée $1$~cm pour \np{1000}~F.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer en utilisant les équations de $\left(D_1\right)$ et de 
		$\left(D_2\right)$ que les points A(\np{2500}~;~\np{5550}) et B(\np{2500}~;~\np{18750}) sont respectivement sur $\left(D_1\right)$ et sur $\left(D_2\right)$.
		\item En utilisant les parties A et B du problème, expliquer comment ce résultat peut être retrouvé.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en résolvant une équation, le nombre de km pour lequel les dépenses et les recettes s'équilibrent (sur un mois pour un autocar).
		\item À l'aide du résultat précédent et d'une lecture graphique, trouver le nombre de km que doit parcourir l'autocar pour être rentable.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{D.}

\medskip

On suppose que le prix du carburant subit une augmentation de 50\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer, dans les mêmes conditions, le montant y des dépenses mensuelles pour un parcours de $x$ kilomètres.
\item Les recettes étant inchangées, déterminer le nombre de km à partir duquel les recettes l'emportent sur les dépenses. (Ce nombre doit être entier).
\end{enumerate}
\end{document}