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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES Amérique du Sud  novembre 2002~\decofourright }} 
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty [$  par

\[g(x) = \ln (x + 1) - \ln (x).\]
 
Montrer que, pour tout $x > 0\: :\: g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$.

Étudier le signe de $g(x)$.

Déterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+ \infty$.

Démontrer que la fonction $G$, définie sur $]0~;~+ \infty[$  par 

\[G(x) = (x + 1) \ln(x + 1) - x \ln(x),\]
est une primitive de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$  
par 

\[f(x) = x + 2 + \ln(x + 1) - \ln(x),\]

et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal  \Oij{} du plan (unité graphique : 1~cm). On ne demande pas de tracer $(\mathcal{C})$.
 
En utilisant les résultats  du \textbf{1.}, justifier les affirmations suivantes : 
	\begin{enumerate}
		\item l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ ;
		\item la droite (D) d'équation $y = x + 2$ est asymptote à  $(\mathcal{C})$ en $+ \infty$;
		\item la courbe $(\mathcal{C})$ est au-dessus de la droite (D).
\vspace{0,3cm}
 	\end{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\int_1^3 \left[f(x) - (x + 2)\right]\:\text{d}x$.

Quelle interprétation géométrique peut-on faire de cette intégrale ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}

\medskip

Pour compléter le financement d'un voyage scolaire, une association de parents d'élèves décide d'organiser une loterie. Pour cela, il faut une roue partagée en quatre secteurs de même dimension (voir figure ci-dessous) et deux urnes A et B.

L'urne A contient une boule jaune et trois boules noires et l'urne B contient trois boules jaunes et une boule noire.

\medskip

\parbox[c]{0.8\textwidth}{Le jeu se déroule de la manière suivante : le candidat fait tourner la roue qui, étant lancée, s'arrête de façon aléatoire, la flèche ne pouvant indiquer qu'un seul secteur (tous les secteurs ont donc la même chance de \og sortir \fg{}).

\begin{itemize}
\item  si le candidat obtient la lettre P, il a perdu et le jeu est fini ;
\item  s'il obtient la lettre A, il tire une boule dans l'urne A ;
\item  s'il obtient la lettre B, il tire une boule dans l'urne B
\end{itemize}
On note $P$, $A$, $B$,  $J$ et $N$ les évènements suivants : 

$P$ : \og à l'issue du lancer de la roue, on a obtenu la lettre P \fg{} ;

$A$ : \og à l'issue du lancer de la roue, on a obtenu la lettre A \fg{} ;

$B$ : \og à l'issue du lancer de la roue, on a obtenu la lettre B \fg{} ;

$J$ : \og on a tiré une boule jaune \fg{} ;

$N$ : \og on a tiré une boule noire \fg.} \hfill 
\parbox[c]{0.18\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,4)
\pscircle(1,1){1} \psline(0.293,0.293)(1.707,1.707) 
\psline(0.293,1.707)(1.707,0.293) 
\rput(1,0.5){P} \rput(1,1.5){B} \rput(0.5,1){A} \rput(1.5,1){A}
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(1,3)(1,2) 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\emph{Dans cet exercice les probabilités seront donnée sous forme de fractions
 irréductibles.}

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité des évènements $A$, $B$ et $P$.
\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Sachant que lors du lancer de la roue on a obtenu la lettre A, quelle est la probabilité de tirer une boule jaune ?
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $A ~\cap~ J$.
	\end{enumerate}
\item Un joueur fait une partie.
 
Quelle est la probabilité qu'à l'issue du lancer de la roue il obtienne la lettre B et qu'il tire une boule jaune ?

Déduire des questions précédentes que la probabilité que le joueur tire une boule jaune est $\dfrac{5}{16}$.
\item Un joueur fait deux parties consécutivement, les deux parties étant indépendantes l'une de l'autre. Quelle est la probabilité que ce joueur tire exactement deux boules jaunes ?
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.}

\medskip

On dispose d'une pièce de monnaie parfaitement équilibrée et de deux urnes, l'une marquée de la lettre F et l'autre marquée de la lettre P.

 \vspace{0,3cm}

\begin{enumerate}
 \item Chacune des deux urnes contient 6 boules. L'urne marquée F contient 5 boules blanches et 1 boule noire alors que l'urne marquée P contient 2 boules blanches et 4 boules noires.

On lance la pièce de monnaie :

\begin{itemize}
\item  si on obtient \og face \fg{}, on tire une boule dans l'urne marquée F.
\item  si on obtient \og pile \fg{}, on tire une boule dans l'urne marquée P.
\end{itemize}

On note $P$, $F$, $B$ et $N$ les évènements suivants :

$P$ : \og on a obtenu pile au lancer de la pièce \fg{} ;

$F$ : \og on a obtenu face au lancer de la pièce \fg{} ;

$B$ : \og on a tiré une boule blanche \fg{} ;

$N$ : \og on a tiré une boule noire \fg.

Déterminer la probabilité de tirer une boule blanche sachant qu'on a obtenu \og face \fg{} au lancer de la pièce.

En déduire la probabilité d'obtenir \og face \fg{} au lancer de la pièce et de tirer une boule  blanche.

Calculer la probabilité de l'évènement $B \cap P$.

Déduire des questions précédentes que la probabilité de tirer une  boule blanche est $\dfrac{7}{12}$.
\item On effectue la même expérience aléatoire, les deux urnes contenant à présent $2n$ boules,~ $n$ étant un entier naturel non nul. L'urne marquée P contient  $(2n - 1)$ boules blanches et 1 boule noire alors que l'urne marquée P contient $(n - 1)$ boules blanches et $(n + 1)$ boules noires.

Montrer que la probabilité de tirer une boule blanche est : $\dfrac{3n - 2}{4n}$.
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par : $u_n = \dfrac{3n - 2}{4n}$ pour tout $n$ entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer la limite, quand $n$ tend vers plus l'infini, de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1~:~u_{n+1} - u_n = \dfrac{2}{4n(n + 1)}$.

		Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Un négociant en vins a fait mener une étude visant à déterminer à quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter une bouteille de vin. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| l | *{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix maximal $x_i$ en euros de la bouteille & 5 &10 &15 &20 &25 &30\\[3pt] \hline
Pourcentage $y_i$ d'acheteurs potentiels 	&84 &58 &30 &19 &7 &4 \\[3pt] \hline
\end{tabularx}  \end{center}

On voit dans ce tableau, par exemple, que 58\:\% des clients de ce négociant sont prêts à payer $10$~euros une bouteille de vin.
 
\bigskip

\textbf{Partie A (Ajustement affine)}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal du plan (unités : 1 cm pour 2 euros sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 5\:\% sur l'axe des ordonnées).
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.
	\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item Donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur arrondie à $10^{-2}$ près du coefficient de corrélation linéaire de la série  statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$. Un ajustement affine est-il judicieux ?
		\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, par la méthode des moindres carrés, les coefficients étant calculés à l'aide de la calculatrice  et arrondis à $10^{-2}$ près.
 
Représenter la droite sur la figure du  \textbf{1.}, en précisant les coordonnées de deux points de cette droite.
 	\end{enumerate}
\item Chez ce négociant, le prix moyen d'une bouteille est de $13$~euros. En utilisant l'ajustement précédent, calculer le pourcentage des clients prêts à acheter une bouteille à ce prix. On arrondira le résultat à l'entier le plus proche.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B (Autre ajustement)}

\medskip 

On envisage un ajustement du nuage de points de la \textbf{partie A} par la courbe représentative d'une fonction. Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~ + \infty[$ par 

\[f(x) = \left(x^2 + 20x + 100\right)\text{e}^{- 0,2x}\]

et $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le repère de la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(x^2 + 
20x + 100\right)\text{e}^{- 0,2x} = 0$. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat ?
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item $f'$ étant la dérivée de la fonction $f$ , montrer que pour tout $x \in [0~;~+ \infty[$:

\[f'(x) = \left(- 0,2x^2 - 2x\right)\text{e}^{-0,2x}.\]

		\item Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x \in  [0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera les valeurs arrondies à $10^{-1}$ près)
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{8}{>{\centering \arraybackslash}X|} }\hline
$x$ 	&0 	&5 		&10 &15 &20 &25 &30\\[3pt] \hline
$f(x)$  & 	&82,8 	& 	& 	& 	& 	&\\[3pt]  \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère de la \textbf{partie A}.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'équation $f(x) = 50$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à l'intervalle [10~;~15].
		\item Donner, en justifiant la réponse, un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
		\item Que représente $\alpha$ pour le négociant, si on admet que la fonction $f$ représente un bon ajustement du nuage de points ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}