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%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 17 novembre 2014}
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\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L Amérique du Sud~\decofourright\\
17 novembre 2014} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
Une bibliothèque municipale dispose pour ses usagers de deux types de livres: les livres à support numérique et les livres à support papier. 

\medskip

Le service des prêts observe que 85\,\% des livres empruntés sont à support papier. 

Un livre est rendu dans les délais s'il est rendu dans les quinze jours suivant son emprunt. 

Une étude statistique montre que 62\,\% des livres à support numérique sont rendus dans les délais et que 32\,\% des livres à support papier sont rendus dans les délais. 

\medskip

Un lecteur, choisi au hasard, emprunte un livre de cette bibliothèque. On note : 

$\bullet~~$$N$ l'évènement : \og le livre a un support numérique \fg{} ; 

$\bullet~~$$D$ l'évènement : \og le livre est rendu dans les délais \fg. 

\medskip

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité de $D$ sachant $N$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,62 &\textbf{b.~~}0,32&\textbf{c.~~} 0,578&\textbf{d.~~} 0,15
\end{tabularx}
\medskip 

\item $P\left(\overline{N} \cap \overline{D}\right)$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,907&\textbf{b.~~}  0,272&\textbf{c.~~}  0,578 &\textbf{d.~~} 0,057 
\end{tabularx}
\medskip 

\item La probabilité de l'évènement $D$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,272&\textbf{b.~~}  0,365&\textbf{c.~~} 0,585 &\textbf{d.~~}0,94 
\end{tabularx}
\medskip 

\item On appelle $X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 

$n = 5$ et $p = 0,62$. 

\hspace{0.3cm}\textbf{4.1} La probabilité à $10^{-3}$ près d'avoir $X \geqslant 1$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,8& \textbf{b.~~} 0,908&\textbf{c.~~} 0,092&\textbf{d.~~} 0,992 
\end{tabularx}
\medskip 

\hspace{0.3cm}\textbf{4.2} L'espérance de $X$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}3,1& \textbf{b.~~}5&\textbf{c.~~} 2,356 &\textbf{d.~~}6,515 
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip   

On considère la fonction $f$  définie sur l'intervalle [0~;~4] par 

\[f(x) = (3 x - 4) \text{e}^{-x} + 2.\] 

\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 

Montrer que l'on a, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~4], 

$f'(x) = (7 - 3 x)\text{e}^{-x}$. 
\item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~4] puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
		\item Donner à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près. 
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par 

\[F(x) = (1 - 3 x) \text{e}^{-x} + 2 x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur [0~;~4]. 
		\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur [0~;~4] 
	\end{enumerate}
\item On admet que la dérivée seconde de la fonction $f$ est la fonction $f''$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par $f''(x) = (3 x - 10)\text{e}^{-x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. 
		\item Montrer que la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L }

\medskip 

Une agence de presse a la charge de la publication d'un journal hebdomadaire traitant des informations d'une communauté de communes dans le but de mieux faire connaître les différents évènements qui s'y déroulent. 

\medskip

Un sondage prévoit un accueil favorable de ce journal dans la population. 

Une étude de marché estime à \np{1200} le nombre de journaux vendus lors du lancement du journal avec une progression des ventes de 2\,\% chaque semaine pour les éditions suivantes. 

L'agence souhaite dépasser les \np{4000} journaux vendus par semaine. 

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de journaux vendus $n$ semaines après le début de l'opération. On a donc $u_0 = \np{1200}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre $u_1$ de journaux vendus une semaine après le début de l'opération. 
\item Écrire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer à partir de combien de semaines le nombre de journaux vendus sera supérieur à \np{1500}. 
\item Voici un algorithme : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline
VARIABLES :		& $U$ est un réel\\
				&$N$ est un entier naturel\\ 
INITIALISATION :& $U$ prend la valeur \np{1200}\\
				&$N$ prend la valeur $0$\\ 
TRAITEMENT :	&Tant que $U < \np{4000}$\\
				&\hspace{0.4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
				&\hspace{0.4cm}$U$ prend la valeur $1,02 \times U$\\
				&Fin du Tant que \\
SORTIE :		&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $N$ affichée par cet algorithme. 
		\item Interpréter le résultat précédent. 
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier $n$, on a : 
		
		\[1 + 1,02 + 1,02^2 + \cdots + 1,02^n = 50 \times \left(1,02^{n+1} - 1\right).\] 

		\item On pose, pour tout entier $n, \:\: S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. 

À l'aide de la question précédente, montrer que l'on a : 

$S_n = \np{60000} \times \left(1,02^{n+1} - 1\right)$. 
		\item Déduire de la question précédente le nombre total de journaux vendus au bout de 52 semaines. Le résultat sera arrondi à l'unité. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip


La première semaine de l'année, le responsable de la communication d'une grande entreprise propose aux employés de se déterminer sur un nouveau logo, le choix devant être fait par un vote en fin d'année. 

Deux logos, désignés respectivement par A et B, sont soumis au choix. 

Lors de la présentation qui se déroule la première semaine de l'année, 24\,\% des employés sont favorables au logo A et tous les autres employés sont favorables au logo~B. 

Les discussions entre employés font évoluer cette répartition tout au long de l'année. 

Ainsi 9\,\% des employés favorables au logo A changent d'avis la semaine suivante et 16\,\% des employés favorables au logo B changent d'avis la semaine suivante. 

\medskip

Pour tout $n,\: n \geqslant 1$, on note : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité qu'un employé soit favorable au logo A la semaine $n$ ; 
\item[$\bullet~~$] $b_n$ la probabilité qu'un employé soit favorable au logo B la semaine $n$ ; 
\item[$\bullet~~$] $P_n$ la matrice $\left(a_n \quad b_n\right)$ traduisant l'état probabiliste la semaine $n$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On a donc, pour tout $n \geqslant 1,\:\: a_n + b_n = 1$ et $P_1 = (0,24 \quad 0,76)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 
\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe, en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la relation $P_{n+1} = P_n \times  M$, exprimer, pour tout $n \geqslant 1,\: a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et de $b_n$. 
		\item En déduire que l'on a, pour tout $n \geqslant 1,\: a_{n+1} = 0,75 a_n + 0,16$. 
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, donner, sans justifier, la probabilité à $0,001$ près qu'un employé soit favorable au logo A la semaine 4. 
\item On note $P = (a \quad b)$ l'état stable de la répartition des employés. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un système de deux équations que doivent vérifier $a$ et $b$. 
		\item Résoudre le système obtenu dans la question précédente. 
		\item On admet que l'état stable est $P = (0,64\quad 0,36)$. Interpréter le résultat. 
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
VARIABLES :		&$A$ est un réel\\
				&$N$ est un entier naturel\\
INITIALISATION :&$A$ prend la valeur $0,24$\\
				&$N$ prend la valeur $0$\\
TRAITEMENT :	&Tant que $A < 0,639$\\ 
				&\hspace{0,4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
				&\hspace{0,4cm}$A$ prend la valeur $0,75 \times A + 0,16$\\
				&Fin du Tant que\\ 
SORTIE :		&Afficher $N$\\ \hline 
\end{tabular}
\end{center}

Préciser ce que cet algorithme permet d'obtenir (on ne demande pas de donner la valeur de $N$ affichée). 
\end{enumerate}
 
%%%%%%%%%%%%%%% 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux parties $1$ et $2$  sont  indépendantes.}

\medskip

\emph{Les probabilités et les  fréquences demandées seront données à $0,001$ près.}

\medskip
 
Dans un atelier de confiserie,  une machine remplit des boîtes de berlingots après avoir mélangé différents arômes.

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip 

On admet que la variable aléatoire $X$ qui, à chaque boîte prélevée au hasard, associe sa masse (en gramme) est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi normale de paramètres $\mu = 500$ et $\sigma = 9$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité que la masse $X$ soit comprise entre 485~g et 515~g. 
		\item L'atelier proposera à la vente les boîtes dont la masse est comprise entre 485~g et 515~g. 

Déterminer le nombre moyen de boîtes qui seront proposées à la vente dans un échantillon de 500 boîtes prélevées au hasard. 

\emph{La production est suffisamment importante pour assimiler cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.} 
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité que la masse $X$ soit supérieure ou égale à 490~g. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer à l'unité près l'entier $m$ tel que 
		
		$p(X \leqslant m) = 0,01$. 
		\item Interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip  

La machine est conçue pour que le mélange de berlingots comporte 25\,\% de berlingots parfumés à l'anis. 

On prélève 400~berlingots au hasard dans le mélange et on constate que 84 sont parfumés à l'anis. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des berlingots parfumés à l'anis dans un échantillon de 400~berlingots. 
\item Calculer la fréquence $f$ des berlingots parfumés à l'anis dans l'échantillon prélevé. 
\item Déterminer si, au seuil de confiance de 95\,\%, la machine est correctement programmée. 
\end{enumerate}
\end{document}