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%Sujet aimablement communiqué par Johann Dolivet et Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat S}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S Amérique du Sud~12 novembre 2018~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A},  {\rm B} et  {\rm C} peuvent être traitées de façon indépendante.}

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un commerçant reçoit les résultats d'une étude de marché sur les habitudes des consommateurs en France.

Selon cette étude :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 54\:\% des consommateurs privilégient les produits de fabrication française;
\item[$\bullet~~$] 65\:\% des consommateurs achètent régulièrement des produits issus de l'agriculture
biologique, et parmi eux 72\:\% privilégient les produits de fabrication française.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit un consommateur au hasard. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $B$ : \og un consommateur achète régulièrement des produits issus de l'agriculture biologique\fg ;
\item[$\bullet~~$] $F$ : \og un consommateur privilégie les produits de fabrication française \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $P(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $P_C(A)$ la probabilité de $A$ sachant $C$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $P\left(\overline{B} \cap F\right) = 0,072$.
\item Calculer $P_F\left(\overline{B}\right)$.
\item On choisit un consommateur n'achetant pas régulièrement des produits issus de l'agriculture biologique.

Quelle est la probabilité qu'il privilégie les produits de fabrication française ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le commerçant s'intéresse à la quantité en kilogramme de farine biologique vendue chaque mois au détail dans son magasin. Cette quantité est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui
suit la loi normale d'espérance $\mu = 90$ et d'écart type $\sigma = 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Au début de chaque mois, le commerçant s'assure d'avoir $95$~kg dans son stock.

Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas répondre à la demande des clients durant le mois ?
\item Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que $P(X < a) = 0,02$.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette étude de marché, il est précisé que 46,8\:\% des consommateurs en France privilégient des produits locaux. Le commerçant constate que parmi ses \np{2500}~clients, \np{1025}
achètent régulièrement des produits locaux.

Sa clientèle est-elle représentative des consommateurs en France ?

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Lorsque la queue d'un lézard des murailles casse, elle repousse toute seule en une soixantaine de jours.

Lors de la repousse, on modélise la longueur en centimètre de la queue du lézard en fonction du nombre de jours.

Cette longueur est modélisée par la fonction $f$ définie sur 
$[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 10\text{e}^{u(x)}\]

où $u$ est la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :
 
\[u(x) = - \text{e}^{2 - \frac{x}{10}}.\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout $x$ positif on a $f'(x) = - u(x)\text{e}^{u(x)}$.

En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(20)$.
		
En déduire une estimation, arrondie au millimètre, de la longueur de la queue du lézard après vingt jours de repousse.
		\item Selon cette modélisation, la queue du lézard peut-elle mesurer $11$ cm ?
	\end{enumerate}
\item  On souhaite déterminer au bout de combien de jours la vitesse de croissance est maximale.

On admet que la vitesse de croissance au bout de $x$ jours est donnée par $f'(x)$.

On admet que la fonction dérivée $f'$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, on note $f''$ la fonction dérivée de $f'$ et on admet que :

\[f''(x) = \dfrac{1}{10}u(x)\text{e}^{u(x)}(1 + u(x)).\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les variations de $f'$ sur  $[0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire au bout de combien de jours la vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Deux espèces de tortues endémiques d'une petite île de l'océan pacifique, les tortues vertes et les tortues imbriquées, se retrouvent lors de différents épisodes reproducteurs sur deux des plages de l'île pour pondre. Cette île, étant le point de convergence de nombreuses tortues, des spécialistes ont décidé d'en profiter pour recueillir différentes données sur celles-ci.

\smallskip

Ils ont dans un premier temps constaté que les couloirs empruntés dans l'océan par chacune des deux espèces pour arriver sur l'île pouvaient être assimilés à des trajectoires rectilignes.

Dans la suite, l'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk{} d'unité $100$ mètres.

Le plan \Oij{} représente le niveau de l'eau et on admet qu'un point $M(x~;~y~;~z)$ avec $z < 0$ se situe dans l'océan.

La modélisation des spécialistes établit que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la trajectoire empruntée dans l'océan par les tortues vertes a pour support la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x	&=&3+t\\
y 	&=&6t\\
z	&=&- 3t
\end{array}\right.\:\text{avec } \:t\: \text{réel}\: ;\]

\item[$\bullet~~$] la trajectoire empruntée dans l'océan par les tortues imbriquées a pour support la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&10k\\
y&=&2 + 6k\\ 
z&=&- 4k
\end{array}\right.\:\text{avec } \:k\: \text{réel}\: ;\]
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les deux espèces ne sont jamais amenées à se croiser avant d'arriver sur l'île.
\item  L'objectif de cette question est d'estimer la distance minimale séparant ces deux
trajectoires.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}3\\13\\27\end{pmatrix}$ est normal aux droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$.
		\item On admet que la distance minimale entre les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ est la distance HH$'$ où $\vect{\text{HH}'}$ est un vecteur colinéaire à $\vect{n}$ avec H appartenant à la droite $\mathcal{D}_1$ et H$'$
appartenant à la droite $\mathcal{D}_2$.

Déterminer une valeur arrondie en mètre de cette distance minimale.

On pourra utiliser les résultats ci-après fournis par un logiciel de calcul formel

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\triangleright$ Calcul formel}\\ \hline
1	&Résoudre$(\{10*k-3-t=3*l,2 + 6*k - 6*t = 13*l,- 4*k + 3*t= 27*l\},\{k,~l,~t\})$\\ 
	&$\to \left\{\left\{k = \dfrac{675}{\np{1814}},\:\ell = \dfrac{17}{907}, \: t =\dfrac{603}{907}\right\}\right\}$\\ \hline
\end{tabularx}

	\end{enumerate}
\item  Les scientifiques décident d'installer une balise en mer.

Elle est repérée par le point B de coordonnées (2~;~4~;~0).
	\begin{enumerate}
		\item Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}_1$.
		
Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que la distance B$M$ soit minimale.
		\item En déduire la distance minimale, arrondie au mètre, entre la balise et les tortues vertes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

On considère les points A, B, C et D distincts d'affixes respectives $z_{\text{A}}$,  $z_{\text{B}}$,  $z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ tels que :

\[\left\{
\begin{array}{l c r}
z_{\text{A}} + \phantom{\text{i}}z_{\text{C}} 		&=& z_{\text{B}} + \phantom{\text{i}}z_{\text{D}}\\
z_{\text{A}} + \text{i} z_{\text{B}}&=& z_{\text{C}} + \text{i} z_{\text{D}}
\end{array}\right.\]

Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soit $k$ un réel strictement positif.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$,\: $u_1 = k$ et, pour tout entier naturel $n$ par :

\[u_{n+2} = \dfrac{u^2_{n+1}}{k u_n}.\]

\smallskip

On admet que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ existent et sont strictement positifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_2$,\: $u_3$ et $u_4$ en fonction de $k$.
\item À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes de la suite 
$\left(u_n\right)$ pour deux valeurs de $k$. 

La valeur du réel $k$ est entrée dans la cellule E2.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|c|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 &A		&B				&C	&D		&E	&	&A		&B&C&D&E\\ \hline
1& $n$	& $u(n)$&		&	&		&1 	&$n$&$u(n)$	&	&&\\ \hline
2& 0 	&1				&	&$k=$	&\scriptsize\np{2,7182818}&2& 0& 1&	&$k=$ &0,9\\ \hline
3& 1 	&\np{2,7182818}	&	&		&	&3 	&1 		&0,9			&&&\\ \hline
4& 2 	&\np{2,7182818}	&	&		&	&4	&2		& 0,9			&&&\\ \hline
5& 3 	&1 				&	&		&	&5	&3 		&1				&&&\\ \hline
6& 4 	&\np{0,1353353}	&	&		&	&6 	&4 		&\np{1,2345679}	&&&\\ \hline
7& 5 	&\np{0,0067319}	&	&		&	&7	&5 		&\np{1,6935088}	&&&\\ \hline
8& 6 	&\np{0,0001234}	&	&		&	&8 	&6 		&\np{2,5811748}	&&&\\ \hline
9& 7 	&8,315E$-07$	&	&		&	&9	&7		& \np{4,3712422}&&&\\ \hline
10& 8 	&2,061E$-09$	&	&		&	&10 &8 		&\np{8,2252633}	&&&\\ \hline
11& 9 	&1,88E$-12$		&	&		&	&11	&9		&\np{17,196982}	&&&\\ \hline
12& 10	&6,305E$-16$	&	&		&	&12	&10		&\np{39,949576}	&&&\\ \hline
13& 11	&7,781E$-20$	&	&		&	&13	&11		&\np{103,11684}	&&&\\ \hline
14& 12	&3,533E$-24$ 	&	&		&	&14 &12 	&\np{295,7362}	&&&\\ \hline
15&13 	&5,9E$-29$		&	&		&	&15	&13		&\np{942,40349}	&&&\\ \hline
16&14 	&3,625E$-34$	&	&		&	&16	&14 	&\np{3336,7738}	&&&\\ \hline
\end{tabularx}\]

	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule, saisie dans la cellule B4, permet par recopie vers le bas de calculer tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
		\item Conjecturer, dans chaque cas, la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\medskip

\textbf{Dans la suite, on suppose que \boldmath $k = \:$\unboldmath e.}

\textbf{On a donc \boldmath $u_0 = 1,\: u_1 = \text{e }$ \unboldmath\: et, pour tout entier naturel}\boldmath $n \::\: u_{n+2} = \dfrac{u^2_{n+1}}{{\rm e}u_n}$\unboldmath.

\begin{enumerate}[resume]
\item  On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n = \ln \left(u_{n+1}\right) - \ln \left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $- 1$ et de premier terme $v_0 = 1$.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item  On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul la suite $\left(S_n\right)$ par $S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_{n-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $S_n = \dfrac{n(3 - n)}{2}$.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $S_n = \ln \left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item Trouver la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < 10^{-50}$ par la méthode de votre choix (écriture d'un algorithme, résolution d'inéquation, etc.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\setlength\parindent{0mm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ , on note $F_n$ le $n$-ième nombre de Fermat. Il est défini par

\[F_n = 2^{2^n} + 1.\]

\smallskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Pierre de Fermat, leur inventeur, a conjecturé que :
\begin{center}
\og Tous les nombres de Fermat sont premiers \fg,\end{center}

L'objectif est de tester cette conjecture.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $F_0$, $F_1$, $F_2$ et $F_3$.
		\item Peut-on en déduire que tous les nombres de Fermat sont premiers ?
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme ci-dessous:

\parbox{0.48\linewidth}{
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|}\hline	
$F \gets  2^{2^5} + 1$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\
$N \gets 2$\\
Tant que $F\%N \ne 0$\\
\hspace{0,5cm}$N \gets N + 1$\\
Fin Tant que\\
Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2)
\psframe[linestyle=dashed,linewidth=1pt](0.25,0.25)(6,1.35)
\rput(3,1){$F\%N$ désigne le reste de la division}
\rput(3,0.5){euclidienne de $F$ par $N$.}
\end{pspicture}
%\begin{tabular}{c}\hdashline
%$F\%N$ désigne le reste de la division\\
%euclidienne de $F$ par $N$.\\ \hdashline
%\end{tabular}
}

La valeur affichée à la fin de l'exécution est 641.

Que peut-on en déduire ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

L'objectif est de prouver que deux nombres de Fermat distincts sont toujours premiers entre eux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $F_n = \left(F_{n-1}  - 1\right)^2  + 1$.
\item Pour tout entier naturel $n$ on note :

\[\displaystyle\prod_{i=0}^n F_i = F_0 \times F_1 \times F_2 \times \ldots \times F_{n-1} \times F_n.\]

On a donc $\displaystyle\prod_{i=0}^{n} F_i = \left(\prod_{i=0}^{n-1} F_i\right) \times F_n$.

Montrer par récurrence et en utilisant le résultat de la question précédente que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :

\[\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1} F_i = F_n - 2.\]

\item Justifier que, pour tous entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n > m$, il existe un entier naturel $q$ tel que $F_n -qF_m = 2$.
\item En déduire que deux nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.
\end{enumerate}
\end{document}