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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Olivier Noël et Denis Le Fur
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 16 novembre 2011}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud
~\decofourright\\[7pt]16 novembre 2011}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 1~;~ +\infty[$ par :

\[f(x) = 3 - \dfrac{4}{x + 1}.\]

On considère la suite définie pour tout $n \in \N$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}	&=&4\\
u_{n+1} &=&f\left(u_{n}\right)
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item On a tracé, en annexe 1, la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique en annexe 1, placer sur l'axe des abscisses, $u_{0},\:u_{1},\:u_{2}$ et $u_{3}$. Faire apparaître les traits de construction. 
		\item Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, nous allons démontrer les conjectures formulées à la question 1. b. 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer par un raisonnement par récurrence que $u_{n} \geqslant 1$ pour tout $n \in \N$. 
		\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} \leqslant u_{n}$.
		\item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d'entre eux sont verts et possèdent six faces numérotées de 1 à 6. Le troisième est rouge et possède deux faces numérotées 1 et quatre faces numérotées 6. 

On prend un dé au hasard dans l'urne et on le lance. On note :
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item $V$ l'évènement : \og le dé tiré est vert \fg
\item $R$ l'évènement : \og le dé tiré est rouge \fg
\item $S_{1}$ l'évènement : \og on obtient 6 au lancer du dé \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On tire au hasard un dé et on effectue un lancer de celui-ci.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.


\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1.75pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$V$}\taput{\ldots}}
	{ 
		  \TR{$S_{1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{S_{1}}$}\tbput{\ldots}
	}
	\pstree{\TR{$R$}\tbput{\ldots}}
	{
		  \TR{$S_{1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{S_{1}}$}\tbput{\ldots}
	}
	
}
\end{center} 

		\item Calculer la probabilité $P\left(S_{1}\right)$.
	\end{enumerate}
\item On tire au hasard un dé de l'urne. On lance ensuite ce dé $n$ fois de suite. On note $S_{n}$ l'évènement : \og on obtient 6 à chacun des $n$ lancers \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que:

\[P\left(S_{n}\right) =  \dfrac{2}{3} \times  \left(\dfrac{1}{6}\right)^n + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^n.\]

		\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_{n}$ la probabilité d'avoir tiré le dé rouge, sachant qu'on a obtenu le numéro 6 à chacun des $n$ lancers.

Démontrer que :

\[p_{n} = \dfrac{1}{2 \times \left(\frac{1}{4} \right)^n + 1}.\]

		\item Déterminer le plus petit entier $n_{0}$ tel que $p_{n} \geqslant  0,999$ pour tout $n \geqslant n_{0}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par

\[g(x) = x^2(1 - \ln x).\]

\textbf{Partie A Étude de la fonction}\: \boldmath  $g$ \unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. 
\item Déterminer la limite de $g$ en 0. 
\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
\item En utilisant les résultats précédents, étudier le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie  B Représentation graphique et aire sous la courbe}

\medskip

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal ayant pour unité graphique 5~cm et donné en annexe 2.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. La tracer sur le graphique.
\item Calculer l'aire en unités d'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$. 
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 3 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation 

\[z^2 - 2z + 5 = 0.\]

\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. 

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ où :

\[z_{\text{A}} = 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},\quad z_{\text{C}} = 1 + \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et B dans le repère \Ouv.

		\item Calculer 	$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}$	et donner le résultat sous forme algébrique.
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon.
\item Construire les points C et D dans le repère \Ouv. Expliquer la construction proposée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 5 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère le point A de coordonnées $(-1~;~-1~;~1)$ et les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ de représentations paramétriques :

\[\mathcal{D}\:\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{-}2t - 1 \\
y&=&-3t + 2\\
z&=&\phantom{-2}t
\end{array}\right.\: \text{où}\: t \in \R \qquad 
\mathcal{D}'\:\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&3t' \\
y&=&\phantom{3}t' + 2\\
z&=&3t' - 2
\end{array}\right.\: \text{où}\: t' \in \R\]
 
\textbf{Proposition 1 :} \og Le point A appartient à la droite $\mathcal{D}$ \fg.
 
\textbf{Proposition 2 :} \og Le plan perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$ passant par le point O a pour équation : $2x - 3y + z = 0$ \fg.
 
\textbf{Proposition 3 :} \og Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont orthogonales \fg. 

\textbf{Proposition 4 :} \og Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont coplanaires \fg. 

\textbf{Proposition 5 :} \og La distance du point A au plan d'équation $2x - 3y + z = 0$ est $\dfrac{\sqrt{14}}{7}$. 

\subsection*{Exercice 5 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] \textbf{Proposition 1 :} \og Le reste de la division euclidienne de $\np{2011}^{\np{2011}}$ par 7 est 2 \fg.

\medskip
 
\item[$\bullet~~$] Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs non nuls.
 
\textbf{Proposition 2 :} \og S'il existe un couple de nombres entiers relatifs $(u,~ v)$ tel que $ua + vb = 3$, alors PGCD$(a,~b) = 3$ \fg.

\medskip

\item[$\bullet~~$] Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $5$.

\textbf{Proposition 3 :}  \og L'entier $n^2 - 3n - 10$ n'est jamais un nombre premier \fg.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

\medskip

\item[$\bullet~~$] On considère le cône $\Gamma$ d'équation $x^2 + y^2 = 5z^2$.

Soit A le point de coordonnées $(-2~;~-1~;~\gamma)$.

\textbf{Proposition 4 :} \og Il existe un unique réel $\gamma$ tel que le point A appartient au cône $\Gamma$ \fg.

\medskip

\item[$\bullet~~$] On coupe le cône $\Gamma$ d'équation $x^2 + y^2 = 5z^2$ par le plan $\mathcal{P}_{a}$ d'équation $x = a$ où $a \in \R$.

\textbf{Proposition 5 :} \og Cette intersection peut être la réunion de deux droites \fg.
\end{itemize}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

(À rendre avec la copie)

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[ul](4.5,4.5){$\mathcal{D}$}\uput[d](5.5,2.4){\blue$\mathcal{C}$}
\psline(-1,-1)(5,5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{3 4 x 1 add div sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-1.5)(4.1,2)
\multido{\n=-0.2+0.1}{37}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-1.5)(\n,2)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](\n,-1.5)(\n,2)}
\multido{\n=-1.5+0.1}{36}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-0.2,\n)(3.4,\n)}
\multido{\n=-1+1}{4}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](-0.2,\n)(3.4,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,-1.5)(3.4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\rput{-90}(4,0.25){\textbf{\Large ANNEXE 2}}
\rput{-90}(3.8,0.25){\textbf{À rendre avec la copie}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}