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%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat S}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016~\decofourright\\}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ données en annexe 1 
 sont les représentations graphiques, dans
un repère orthonormé \Oij, de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0~;~+ \infty[$.
 
On considère les points A(0,5~;~1) et B$(0~;~-1)$ dans le repère \Oij.
 
On sait que O appartient à $\mathcal{C}_f$ et que la droite (OA) est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point O.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que la fonction $f$ s'écrit sous la forme $f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x^2}$ où $a$ et $b$ sont des réels. Déterminer les valeurs exactes des réels $a$ et $b$, en détaillant la démarche.
\end{enumerate}

\textbf{Désormais, on considère que \boldmath$f(x) = 2x\text{e}^{- x^2}$ pour tout $x$ appartenant à  $[0~;~+ \infty[$\unboldmath}

\begin{enumerate}[resume]
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On admettra que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x}\times  \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}$.

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item La fonction $g$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ passe par le point B$(0~;~-1)$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de $g(x)$.
		\item Soit $m$ un réel strictement positif.
		
Calculer $I_m = \displaystyle\int_0^{m} f(t)\:\text{d}t$ en fonction de $m$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{m \to + \infty} I_m$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $f$ est une fonction densité de probabilité sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Soit $X$ une variable aléatoire continue qui admet la fonction $f$ comme densité de probabilité. Justifier que, pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$,\: 
		
$P(X \leqslant x) = g(x) + 1$.
		\item En déduire la valeur exacte du réel $\alpha$ tel que $P(X \leqslant  \alpha) = 0,5$.
		\item Sans utiliser une valeur approchée de $\alpha$, construire dans le repère de l'annexe 1 le point de coordonnées $(\alpha~;~0)$ en laissant apparents les traits de construction.
		
Hachurer ensuite la région du plan correspondant à $P(X \leqslant \alpha)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.

Il est attribué \textbf{un point par réponse exacte correctement justifiée}. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

\smallskip

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv.

\medskip

\textbf{Proposition 1}

\smallskip

L'ensemble des points du plan d'affixe $z$ tels que $|z - 4| = |z + 2\text{i}|$ est une droite qui passe par le point A d'affixe 3i.

\medskip

\textbf{Proposition 2}

\smallskip

Soit $(E)$ l'équation $(z -1)\left(z^2 - 8z + 25\right) = 0$ où $z$ appartient à l'ensemble $\C$ des nombres complexes.

Les points du plan dont les affixes sont les solutions dans $\C$ de l'équation $(E)$ sont les
sommets d'un triangle rectangle.

\medskip

\textbf{Proposition 3}

\smallskip

$\dfrac{\pi}{3}$ est un argument du nombre complexe $\left(- \sqrt{3} + \text{i}\right)^8$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La suite $\left(u_n\right)$ est définie par :

\[ u_0 = 0 \quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n, \:u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_n}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du calcul des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$, conjecturer la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$. Démontrer cette conjecture.
		\item En déduire la valeur de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Compléter, dans l'annexe 2, l'algorithme permettant de déterminer la valeur
du plus petit entier $n$ tel que $\left|u_{n+1} - u_n\right| \leqslant  10^{-3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : un calcul de volume sans repère}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{On considère une pyramide équilatère
SABCD (pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles
équilatéraux) représentée ci-contre.

Les diagonales du carré ABCD mesurent 24~cm. On note O le centre du carré
ABCD.

On admettra que OS = OA.}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(8,6)
\pspolygon(0.5,1.2)(3.5,0.5)(7.5,1.2)(4,5)%ABCSA
\psline(3.5,0.5)(4,5)%BS
\psline[linestyle=dashed](4,1.2)(4,5)(4.5,1.9)%OSD
\psline[linestyle=dashed](3.5,0.5)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%BDS
\pspolygon[linestyle=dashed](0.5,1.2)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%ADC
\uput[l](0.5,1.2){A}\uput[d](3.5,0.5){B}\uput[dr](7.5,1.2){C}
\uput[dr](4,1.2){O}\uput[ur](4.5,1.9){D}\uput[u](4,5){S}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sans utiliser de repère, démontrer
que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC).
\item En déduire le volume, en cm$^3$, de la pyramide SABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : dans un repère}

On considère le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}}, ~\vect{\text{OS}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note P et Q les milieux respectifs des segments [AS] et [BS].
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\vect{n}(1~;~1~;~- 3)$ est un vecteur normal au plan (PQC).
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (PQC).
	\end{enumerate}
\item  Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC).
	\begin{enumerate}
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite (SH).
		\item Calculer les coordonnées du point H.
		\item Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur, est $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}$.
	\end{enumerate}
\item On admettra que l'aire du quadrilatère PQCD, en unité d'aire, est égale à $\dfrac{3\sqrt{11}}{8}$

Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : partage équitable}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{Pour l'anniversaire de ses deux jumelles Anne et
Fanny, Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme de pyramide équilatère dont les
diagonales du carré de base mesurent 24~cm.

Elle s'apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son couteau sur le sommet. C'est alors qu'Anne arrête son geste et lui propose une découpe plus originale :

\og Place la lame sur le milieu d'une arête, parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le côté opposé \fg.} \hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(8,6)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.4,3.2)(4,5)(7.5,1.2)(4.5,1.9)
\pspolygon(0.5,1.2)(3.5,0.5)(7.5,1.2)(4,5)%ABCSA
\psline(3.5,0.5)(4,5)%BS
\psline(2.4,3.2)(3.8,3)(7.5,1.2)
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.2)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2.4,3.2)(4.5,1.9)

\end{pspicture}}

\medskip

Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables.

Est-ce le cas ? Justifier la réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à } \boldmath $10^{-4}$ \unboldmath

\medskip

On étudie un modèle de climatiseur d'automobile composé d'un module mécanique et d'un
module électronique.

Si un module subit une panne, il est changé.

\medskip

\textbf{Partie A : Étude des pannes du module mécanique}

\medskip

Une enseigne d'entretien automobile a constaté, au moyen d'une étude statistique, que la
durée de fonctionnement (en mois) du module mécanique peut être modélisée par une variable
aléatoire $D$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'arrondi à $10^{-4}$  de $\sigma$ sachant que le service statistique indique que $P(D \geqslant 48) = \np{0,7977}$.
\end{enumerate}

\textbf{Pour la suite de cet exercice, on prendra }\boldmath$\sigma = 2,4$ \unboldmath.

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module mécanique soit
comprise entre $45$ et $52$ mois.
\item Déterminer la probabilité que le module mécanique d'un climatiseur ayant fonctionné
depuis $48$ mois fonctionne encore au moins $6$ mois.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude des pannes d'origine électronique}

\medskip

Sur le même modèle de climatiseur, l'enseigne d'entretien automobile a constaté que la durée
de fonctionnement (en mois) du module électronique peut être modélisée par une variable
aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de $\lambda$, sachant que le service statistique indique que $P(0 \leqslant  T \leqslant 24) = 0,03$.
\end{enumerate}

\textbf{Pour la suite de cet exercice, on prendra } \boldmath $\lambda = \np{0,00127}$\unboldmath.

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module électronique soit
comprise entre $24$ et $48$ mois.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tous réels $t$ et $h$ positifs, on a : 
		
$P_{T \geqslant t}(T \geqslant  t + h) = P(T \geqslant h)$, c'est-à-dire que la variable aléatoire $T$ est sans vieillissement.
		\item Le module électronique du climatiseur fonctionne depuis $36$ mois. Déterminer la probabilité qu'il fonctionne encore les $12$ mois suivants.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Pannes d'origine mécanique et électronique}

\medskip

On admet que les évènements $(D \geqslant 48)$ et $(T \geqslant 48)$ sont indépendants.

Déterminer la probabilité que le climatiseur ne subisse aucune panne avant $48$ mois.

\bigskip

\textbf{Partie D : Cas particulier d'un garage de l'enseigne}

\medskip

Un garage de l'enseigne a étudié les fiches d'entretien de $300$ climatiseurs de plus de $4$~ans. Il constate que $246$ d'entre eux ont leur module mécanique en état de fonctionnement depuis $4$ ans.

Ce bilan doit-il remettre en cause le résultat donné par le service statistique de l'enseigne, à savoir que $P(D \geqslant 48) = \np{0,7977}$ ? Justifier la réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les entiers naturels 1, 11, 111, \np{1111}, \ldots sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s'écrivant qu'avec des 1.

Pour tout entier naturel $p$ non nul, on note $N_p$ le rep-unit s'écrivant avec $p$ fois le chiffre~1~:
\renewcommand\arraystretch{0.7}
\[N_p = \underbrace{11 \ldots 1}_{\begin{tabular}{c}\tiny $p${} \text{répétitions} \\ \tiny \text{du chiffre }1
\end{tabular}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k.\]
\renewcommand\arraystretch{1}
\vspace{-0.3cm}

Dans tout l'exercice, $p$ désigne un entier naturel non nul.

L'objet de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des rep-units.

\bigskip

\textbf{Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $N_p$ n'est divisible ni par 2 ni par 5.
\item Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par 3.
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que, pour tout entier naturel $j$,\: $10^j \equiv  1 \:\:\text{mod } 3$.
		\item En déduire que $N_p \equiv  p \:\:\text{mod } 3$.
		\item Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit $N_p$ soit divisible par 3.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $7$.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où $a$ est l'unique
entier relatif appartenant à $\{-3~;~-2~;~- 1~;~0~;~1~;~2~;~3\}$ tel que $10^m \equiv a \:\:\text{mod}\: \:7$.
		
\emph{On ne demande pas de justification.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$m$	&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
$a$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
		
Montrer que $10^p \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.
		
\emph{On pourra utiliser la division euclidienne de $p$ par $6$.}
		\item Justifier  que, pour tout entier nature $p$ non nul, $N_p = \dfrac{10^p - 1}{9}$.
		\item Démontrer que \og  7 divise $N_p$ \fg{} est équivalent à \og  7 divise $9N_p$ \fg.
		\item En déduire que $N_p$ est divisible par 7 si et seulement si $p$ est un multiple de 6.
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.

On suppose que l'écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre 1, c'est-à-dire
$n^2 \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 10$.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n \equiv \ldots \ \ [10]$&  0 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
\rule[-2mm]{0mm}{7mm}$n^2 \equiv \ldots \ \ [10]$&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}	
\end{center}

		\item En déduire qu'il existe un entier naturel $m$ tel que: $n = 10m + 1$ ou 
		
$n = 10m - 1$.
		\item Conclure que $n^2 \equiv  1 \:\: \text{mod}\: 20$.
	\end{enumerate}
\item Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.
	
Quel est le reste de la division euclidienne de $N_p$ par 20 ?
\item En déduire que, pour $p$ entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit $N_p$ n'est pas le carré d'un entier.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXES (à compléter et à remettre avec la copie)}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Annexe 1 (Exercice 1) :}

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.2)(2.6,1.2)
\multido{\nb=-1.0+0.5}{5}{
\multido{\n=-0.50+0.04,\na=-0.48+0.04}{80}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,\nb)(\na,\nb)}}
\multido{\nb=-0.5+0.5}{7}{
\multido{\n=-1.00+0.04,\na=-0.98+0.04}{55}{\psline[linewidth=0.25pt](\nb,\n)(\nb,\na)}}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-0.5,-1)(2.6,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ul](0,0){O}\uput[d](0.55,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.55){$\vect{\jmath}$}
\uput[ul](0.5,1){A}\uput[ul](0,-1){B}\uput[u](2.2,0.05){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[d](2.2,-0.03){\red $\mathcal{C}_g$}
\psplot{-0.6}{0.6}{x 2 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.6}{2 x mul 2.71828 x dup mul exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{2.6}{1 2.71828 x dup mul exp div neg}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{Annexe 2 (Exercice 3) :}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :}		&$n, a$ et $b$ sont des nombres.\\
\textbf{Initialisation :}	& $n$ prend la valeur $0$\\
							&$a$ prend la valeur $0$\\
							&$b$ prend la valeur $0,5$.\\
\textbf{Traitement :}		& Tant que $|b - a|$\:\:\ldots \ldots.\\
							&\hspace{0.8cm}$n$ prend la valeur\:\: \ldots \ldots.\\
							&\hspace{0.8cm}$a$ prend la valeur\:\: \ldots \ldots.\\
							&\hspace{0.8cm}$b$ prend la valeur\:\: \ldots \ldots.\\
							&Fin Tant que.\\
\textbf{Sortie :}			&Afficher\:\: \ldots \ldots.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}